Многофакторные прогнозные модели с настраиваемой структурой адаптивного механизма

Используемые в настоящее время адаптивные модели прогнозирования, как правило, имеют жесткую структуру механизма текущей корректировки коэффициентов. Это ограничивает область их практического применения, так как настроенный на высокую точность краткосрочных прогнозов жестко устроенный адаптивный механизм не позволяет с достаточной адекватностью отражать характер того многообразия изменений, которые происходят в экономических процессах за пределами краткосрочного периода. Поскольку в процессе автоматизации управленческой деятельности необходимо формировать, как краткосрочные, так и среднесрочные и долгосрочные прогнозы необходимо иметь модели с более тонким механизмом настройки их реакции, обеспечивающей адекватность вне зависимости от величины упреждающего интервала. при формировании прогноза. В данном разделе приводится возможность построения таких моделей на основе рекуррентной схемы МНК.

Основное отличие таких моделей заключается в том, что структура их адаптивного механизма заранее не фиксируется, а автоматически выбирается из некоторого множества вариантов в процессе настройки параметров адаптации по критерию минимизации прогнозных ошибок. Реализация такой возможности обеспечивает построение адаптивных моделей с оптимальной для рассматриваемого набора данных рекуррентной формулой пересчета их коэффициентов. Такие модели, обладая более тонким механизмом подгонки к конкретным данным, обеспечивают и более высокий уровень надежности прогнозных расчетов.

Расплатой за повышение надежности является более громоздкая процедура настройки параметров адаптации. Это связано с тем, что в адаптивном механизме рассматриваемых моделей используется не один, а несколько настраиваемых параметров сглаживания. Однако быстродействие современных компьютеров и необязательное в имитационных моделях предприятия проведения прогнозных расчетов в реальном времени, полностью снимают актуальность этой проблемы.

В качестве прогнозной модели будем рассматривать линейную регрессию с изменяющимися во времени коэффициентами (4.1). В разделе 4.1 было показано, что применение в МНК весовых коэффициентов, затухающих по экспоненте с увеличением возраста наблюдений, позволяет процедуру минимизации взвешенной суммы квадратов отклонений осуществить по рекуррентным формулам, которые предоставляют возможность заменить схему прогнозных расчетов по динамической модели (4.1) адаптивной моделью следующего вида (4.15), (4.16), (4.17), которую принимаем за базовую. Эта модель имеет и то достоинство, что используемый при построении этой модели один из вариантов МНК. (рекуррентный МНК) дает полное право опираться на тот арсенал средств и приемов, который накоплен в практике регрессионного анализа. В этом ее безусловное преимущество перед моделями, и которых для обновления коэффициентов применяются другие процедуры. Однако, демонстрируемая ниже (см. 4.3) возможность применения этих моделей в перспективном анализе не дает гарантий в том, что они обладают и самой высокой прогнозной точностью. Кроме того, если на протяжении длительного периода сохраняется высокий уровень реакции и на каждом шаге модель требует существенной корректировки, то адаптивный механизм такой модели явно настроен на высокую точность аппроксимации в ущерб ее прогностическим свойствам. Поэтому в тех случаях, когда в интересах повышения надежности прогнозных расчетов требуется адекватное снижение точности аппроксимации текущих значений yt, возникает задача определения такого адаптивного механизма, реакция которого на происходящие изменения будет иметь уровень, обеспечивающий устойчивость прогностических свойств модели. Соответственно возникает необходимость в снижении реакции до некоторого оптимального уровня, а не минимизация его исключают возможность использования суммы квадратов отклонений в качестве критерия при построении модели. Компромиссность, которой должно обладать решение, может быть достигнута применением комбинированного критерия, учитывающего необходимость достижения высокой точности аппроксимации текущих наблюдений при минимально возможном уровне реакции. Такой критерий можно получить, комбинируя взвешенную сумму квадратов отклонений расчетных значений от фактически наблюдаемых.

и взвешенную сумму квадратов отклонений расчетных значений от предсказанных.

. (4.19).

Применение комбинированного критерия приводит к следующей задаче нахождения оценок вектора коэффициентов адаптивной модели (3.1):

. (4.20).

где для компактности записи использовано обозначение B (t) = B (t,).

Первое слагаемое комбинированного критерия ориентирует на получение оценок, обеспечивающих максимально возможную точность аппроксимации, а второе выполняет роль стабилизирующего члена, минимизация которого приводит к текущим оценкам, мало отличающимся от предыдущих. Фактически второе слагаемое предназначено для снижения реакции в оптимальном решении до минимально возможного уровня. Вклад каждого слагаемого регулируется величиной параметра .

В отличие от задачи (3.4), приводящей к базовой модели, в (4.20) два настраиваемых параметра. Каждому из настраиваемых параметров и отводится своя роль. С помощью, путем сглаживания, осуществляется управление распределением степени влияния ретроспективных данных в зависимости от их «возраста» на предсказываемый уровень зависимой переменной. Параметр, определяя долю вклада стабилизирующего члена в общий критерий, позволяет регулировать уровень реакции адаптивной модели чем выше доля вклада стабилизирующего члена, тем меньше относительный уровень реакции.

Важно отметить, что экстремальная задача (3.19) построена таким образом, что задача (3.4), порождающая базовую модель, является ее частным случаем, так как при = 0 из (3.19) в точности получается (3.4). В силу этого параметрическое множество оптимальных решений задачи (3.19) {} включает, как некоторое подмножество, оптимальные решения задачи (3.4), т. е. выполняется цепочка очевидных включений. Из цепочки этих включений непосредственно следует, что решение задачи (4.20) при оптимально настроенных параметрах и будет заведомо обладать не худшим набором свойств, чем решение задачи (4.2).

Рекуррентный алгоритм вычисления оценок, являющихся одновременно решением экстремальной задачи (3.14), с точностью до настраиваемых параметров и задается следующей формулой:

(4.21).

в которой обратная матрица вычисляется как и в базовой модели. Подробный вывод рекуррентной формулы (4.21), из которого непосредственно следует, что оценки коэффициентов модели, вычисленные с ее помощью, действительно являются решением экстремальной задачи (4.20), приводится в приложении 1.

С учетом (4.21) адаптивная модель множественной регрессии может быть записана следующим образом:

; (4.22).

; (4.23).

(4.24).

Основное отличие полученной модели от базовой в том, что в ее адаптивном механизме появился дополнительный параметр. Оптимальная настройка этого параметра повышает корректирующие возможности адаптивного механизма, обеспечивая в случае необходимости более осторожную корректировку коэффициентов по вновь поступающим данным. Такая модификация значительно расширяет диапазон возможного варьирования уровнем реакции адаптивной модели, его границы не уже, чем у моделей адаптивной фильтрации.

В российской экономике постоянно возникают резкие скачки в рядах экономических данных (например, курсовой стоимости рубля при замене денег деноминации, в августе 1998 г, и т. д.). Это обстоятельство порождает трудности, связанные с наличием выбросных наблюдений в данных, используемых для построения модели и расчета прогнозных значений. Выбросные наблюдения резко отличаются от основной массы исходных данных, поэтому корректировка модели, ориентированная на аппроксимацию выбросного значения, искажает ее, снижая тем самым ее прогностические возможности. В схеме построения статических моделей предусмотрена процедура проверки исходных данных на однородность, исключающая резко выделяющиеся наблюдения. В адаптивном моделировании обработка данных осуществляется последовательно и подобная процедура не предусматривается. Поэтому важно, чтобы модель имела адаптивный механизм, в котором предусматривалась бы автоматическая защита от воздействия выбросных наблюдений.

Понятно что, корректировка коэффициентов адаптивной модели с ориентацией на аппроксимацию выбросного наблюдения приводит к существенному изменению их величины и, как следствие, — резкому повышению реакции модели. Зная это можно, используя принцип комбинирования, сконструировать критерий, предусматривающий построение адаптивного механизма, в котором ограничена величина непредвиденного резкого повышения уровня реакции.

В качестве обязательной составляющей такого критерия можно использовать взвешенную сумму квадратов отклонений друг от друга двух соседних по времени уровней реакции:

. (4.25).

В комбинации с (4.18) после приведения подобных членов полученное выражение позволяет записать экстремальную задачу для вычисления оценок коэффициентов модели (4.1) в следующем виде:

(4.26).

где .

Целевой функционал этой задачи имеет структуру, практически не отличающуюся от структуры функционала задачи (4.20). Однако стабилизирующая роль второго члена заключается в минимизации не самого уровня реакции, а отклонений между соседними по времени уровнями, что по должно привести к сглаживанию чрезмерных скачков реакции адаптивной модели в случае появления выбросных наблюдений.

Для параметрического множества решений {} этой задачи справедлива такая же цепочка вложений, как и для рассмотренной выше. Поэтому модель с коэффициентами, минимизирующими (4.25), должна обладать, по крайней мере при соответствующем подборе параметров и, не худшим набором свойств, чем базовая.

Процедура последовательного вычисления оценок, являющихся одновременно решением задачи (3.25), задается с точностью до настраиваемых параметров и рекуррентной формулой.

(4.27).

вывод которой идентичен выводу формулы (3.20).

Замена в (4.22) — (4.24) рекуррентного соотношения (4.23) на (4.27) позволяет записать адаптивную модель вида:

; (4.28).

; (4.29.

(4.30).

Как и в модели (4.22) — (4.24), с помощью сглаживающего параметра осуществляется управление распределением степени влияния ретроспективных данных на прогнозное значение. Параметр предназначен для управления реакцией модели, но свою роль выполняет несколько иначе, чем параметр. Основное отличие в том, что управление реакцией осуществляется не путем непосредственного снижения ее уровня, а применением процедуры сглаживания текущего вектора поправок. Процедура сглаживания предусматривает замену значения текущего вектора поправок на линейную комбинацию, в которую кроме текущего включается значение предшествующего вектора поправок, определяемого разностью .

Учитывая, что компоненты каждого предшествующего вектора поправок вычислялись с помощью (4.27) и поэтому также являются сглаженными величинами, запишем, используя ранее введенные обозначения, выражение для уровня реакции этой модели в момент t следующим образом:

. (4.31).

Выражение (4.31) показывает, что уровень реакции модели определяется экспоненциально взвешенной суммой поправок, в которой роль сглаживающего параметра играет .

Рассмотрение граничных значений параметра позволяет установить, что при = 1 вектор коэффициентов модели с течением времени изменяет свои значения на постоянную величину, равную разности начальных значений В (0) — В (-1). Другой граничный случай = 0 приводит к изменению структуры рекуррентной формулы (4.27), превращая ее в соответствующую формулу (4.16) базовой модели.

При 0 < < 1 свойства адаптивного механизма модели таковы, что обеспечивают ее эффективное применение даже в тех случаях, когда среди значений временного ряда встречаются «выбросы» или отдельные наблюдения с очень высоким уровнем случайной ошибки, влияние которой необходимо сгладить.

Таким образом, каждая из полученных модификаций обладает определенными преимуществами перед базовой моделью, так как в процессе настройки параметров, в зависимости от их оптимальной комбинации, может либо принимать форму базовой модели, либо приобретать дополнительные свойства, повышающие надежность прогнозных расчетов. Однако автоматический выбор варианта, наилучшим образом подогнанного к конкретным данным, может осуществляться только между одним из модифицированных вариантов и базовой моделью. Между собой модифицированные модели не сравниваются и, чтобы в конкретной ситуации отдать предпочтение одной из них, необходимо предварительное проведение дополнительных исследований некоторых характеристик обрабатываемого ряда либо эмпирическая проверка обоих вариантов. Это не очень удобно, так как приводит к дополнительным затратам времени, поэтому возникает естественное желание сконструировать модель, обобщающую свойства описанных выше модификаций. Особо остро вопрос о разработке модели с максимально широким диапазоном применения возникает при решении проблемы автоматизации прогнозных расчетов, когда требуется постоянно, по мере поступления данных, обновлять прогнозные расчеты без детального анализа временных рядов. Именно таким свойством должен обладать алгоритм предполагаемый к использованию в АССУД, поскольку его использование не должно обязывать пользователей к владению навыками математических расчетов, анализа данных и т. д.

Основной прием, который использовался для получения модификаций базовой модели, имеет смысл применить и в этом случае. Для получения модели, обобщающей свойства предыдущих, построим критерий, включив в него взвешенные специальным образом суммы квадратов (4.18), (4.19) и (4.25). Оптимизационная задача для вычисления оценок коэффициентов регрессии в этом случае записывается в следующем виде:

(4.32).

Возможные значения параметра, а в этом выражении остаются в прежних границах, а значения параметров и, определяющих долю участия каждого слагаемого в комбинированном критерии, удовлетворяют следующим неравенствам: .

Каждое из слагаемых оптимизируемого функционала в (4.32) играет такую же роль, что и в задачах предыдущих модификаций. Его структура устроена таким образом, что позволяет при соответствующем подборе параметров и трансформировать задачу (4.32) в любую из трех ранее рассмотренных. Так, при = 0 и = 0 получаем базовую модель, при и = 0 — задачу (4.20), а при = 0, задачу (4.26). Следовательно, решение задачи (4.32) при соответствующем подборе параметров адаптации может наделяться свойствами решений любой из ранее рассмотренных задач. Кроме того, случай и приводит к совершенно новой структуре адаптивного механизма.

Адаптивный алгоритм вычисления оценок, минимизирующих функционал задачи (4.32), с точностью до настраиваемых параметров адаптации, задастся рекуррентной формулой.

(4.33).

представляющей своеобразную комбинацию формул (3.21) и (4.27). Модель, в которой текущие значения коэффициентов вычисляются с помощью этой формулы, записываются следующим образом:

; (4.34).

; (4.35).

(4.36).

Определение начальных значений и процедура настройки параметров идентичны предыдущим моделям. Реакция модели.

(4.37).

представляет собой, как и сам адаптивный алгоритм, комбинацию реакций предыдущих моделей. В зависимости от оптимальной настройки параметров = *, =*, =* реакция может изменять не только свой уровень при одном и том же входном воздействии xt, но и сам принцип формирования этого уровня. Все возможные случаи нетрудно проследить, комбинируя различные сочетания граничных значений параметров и. Такая гибкость реакции обеспечивается многовариантной структурой самого адаптивного механизма.

Многообразие настраиваемых вариантов удобно представить в виде таблицы. Для этого достаточно рассмотреть только те случаи, когда один из настраиваемых параметров или одновременно оба (и, и) принимают свои граничные значения (нуль, единица) либо произвольное значение из интервала (0, 1). Общее число всевозможных случаев равно девяти. Однако реально можно рассматривать только шесть возможных вариантов адаптивного механизма, так как для трех не выполнено условие. Все варианты табл. 4.2.

Эта таблица наглядно показывает, что структура адаптивного механизма последней модели включает в свои состав варианты адаптивных механизмов всех ранее рассмотренных моделей и, следовательно, позволяет сконцентрировать в одной модели очень богатый набор свойств, что обеспечивает высокую надежность прогнозных расчетов в подавляющем большинстве ситуаций, возникающих на практике. Такое многообразие свойств адаптивной модели фактически сгенерировано вариантной структурой целевого функционала экстремальной задачи (4.32).

Таблица 4.2.

Варианты структуры адаптивного механизма.

Параметр	= 0.	0 < < 1.	= 1.
= 0.
0 < < 1.	;
= 1.	;	;

Полученные результаты подтверждают широкие возможности рассмотренного здесь подхода, заключающегося в целенаправленной модификации адаптивных алгоритмов за счет введения в функционал порождающей задачи стабилизирующих членов с определенными свойствами. Учитывая, что структура алгоритма, определяющего с помощью рекуррентных формул (4.35), (4.36) адаптивный механизм прогнозной модели, изменяется в зависимости от значении настраиваемых параметров и, будем его можно назвать адаптивным механизмом с настраиваемой структурой.

Основное отличие прогнозных моделей с настраиваемой структурой адаптивного механизма от моделей, имеющих неизменную его структуру, в том, что первые в процессе решения прогнозной задачи позволяют для каждого набора данных автоматически подбирать из некоторого множества алгоритмов наиболее приемлемый для корректировки коэффициентов. Модели с жесткой структурой такой возможности не имеют, так как алгоритм их адаптивного механизма определен заранее и не может изменять свою структуру в процессе подгонки модели к исходным данным.