Прогнозирование наработки до отказа объекта

Исходные данные

стьюдент квадратичный математический Статистические данные по износу направляющей суппорта станка во времени

Значения ПКГ изделия в начале и конце эксперимента, а также прочие данные, необходимые для расчетов

1. Определить оценки распределения функций плотности вероятности ПКГ в начале и конце эксперимента (при =1 и при =16) по методу уменьшения неопределенности (МУН)

Метод уменьшения неопределенностей (МУН) — это новая реализация МПВ (метода прямоугольных вкладов), которая возникла в процессе его развития. МУН основан на использовании нормированного равномерного распределения, заданного в интервале [] вместо прямоугольного вклада шириной, построенного около точки с координатой .

При этом для выражения функции распределения используют кусочно-линейную интерполяцию

(П.1)

где .

(П.2)

где — нижняя и верхняя границы интервала значения случайной величины ;

— объем выборки;

— число одинаковых реализаций .

оценивается аналогично .

Для нахождения функции плотности вероятности следует воспользоваться данными графика и выражением

(П.3)

где — приращение аргумента и соответствующее приращение функции .

По данным таблицы П. 2 для значений ПКГ в начале эксперимента составим вариационный ряд: {0,7500; 0,8900; 0,9500; 0,9800; 1,0100}.

Границы поля допуска :

, .

Статистические данные значений ПКГ разбивают поле допуска значений ПКГ на интервалы:

1 участок , .

Определяем оценку функции распределения (интегральный закон распределения)

.

Определяем оценку функции плотности распределения вероятности (дифференциальный закон распределения вероятности)

2 участок , .

3 участок ,

;

4 участок , .

5 участок , .

;

6 участок , .

Проверка осуществляется суммированием площадей фигур, находящихся под ломаной, т. е.

Графики и приведены на рис.П.1 и П.2

В начале эксперимента Рис. 1. График функции

Рис. 2. График функции

Математическое ожидание (в начале эксперимента) Математическое ожидание — это значение случайной величины, относительно которого группируются все заданные значения. Математическое ожидание (непрерывной случайной величины) есть интеграл вида

(П.4)

Находим математическое ожидание Дисперсия случайной величины (в начале эксперимента) Дисперсия — мера рассеяния случайной величины около своего математического ожидания.

Среднее квадратическое значение отклонения случайной величины относительно математического ожидания

.

По данным табл. П. 2 для значений ПКГ в конце эксперимента составим вариационный ряд: {15,6000; 15,9000; 15,9500; 16,1700; 16,3000}.

Границы поля допуска:

, .

Статические данные значений ПКГ разбивают поле допуска значений ПКГ на интервалы:

1 участок , .

Определяем оценку функции плотности распределения вероятности (дифференциальный закон распределения вероятности)

2 участок , .

3 участок ,

;

4 участок .

5 участок , .

;

6 участок , .

Проверка осуществляется суммированием площадей фигур, находящихся под ломаной, т. е.

Графики и приведены на рис.П.3 и П.4

В конце эксперимента Рис. 3. График функций

Рис. 4. График функций

Математическое ожидание (в конце эксперимента) Дисперсия случайной величины Среднее квадратическое значение отклонения случайной величины относительно математического ожидания

.

2. Определение среднего квадратического отклонения (СКО) для всех значений ПКГ

Таким образом, на основании проведенных расчетов было установлено, что

Следовательно, значение можно записать:

Таким образом получаем

3. Определение значения критерия Стьюдента:

Значение критерия Стьюдента соответствующее — процентному пределу ошибки (уровню значимости ошибки) и степеням свободы определим по таблице где — доверительная вероятность прогноза, ;

;

— объем выборки.

В соответствии с полученными значениями и =2,132

4. Определяем значения доверительных границ с учетом критерия Стьюдента

— верхняя доверительная граница ПКГ

— нижняя доверительная граница ПКГ

(П.5)

(П.6)

Подставляя в выражение (П.5) и (П.6) требуемые величины определяем значение верхней и нижней доверительных границ ПКГ соответственно. Полученные результаты сводим в табл. П.4

3. Обоснование выбора математической модели прогнозирования

В ходе исследования значения ПКГ снимаются через равные интервалы, поэтому для оценки порядка полинома математической модели прогнозирования воспользуемся аппаратом конечных разностей.

Имеем функцию и дискретные значения аргумента t образуют арифметическую прогрессию с разностью h, т. е.

Обозначим значения при соответствующих значениях аргумента так:

Величины Называют разностями первого порядка (первыми разностями).

Величины Аналогично определяются разности произвольного порядка m:

Конечные разности в более наглядной форме представляют в форме таблицы, которая называется диагональной. Каждый столбец таблицы составляется так, что разности записываются между составляющими значениями уменьшаемого и вычитаемого.

Разности третьего порядка мало отличаются от постоянных, поэтому в качестве математической модели может быть выбран полином третьей степени.

4. Определение параметров модели прогнозирования по методу наименьших квадратов

В основе метода наименьших квадратов лежит условие: коэффициенты моделей должны быть таковы, чтобы значение суммы квадратов невязок было минимальным, т. е.

где — модель прогнозирования.

Для этого необходимо выполнить условия минимума суммы S, т. е.

Составляем систему уравнений для нахождения коэффициентов a, b и с.

Таким образом, путем преобразования получим:

Сократив уравнения на 2, получим:

Введем обозначения:

Уравнения принимают вид:

Данная система уравнений решается по правилу Крамера: матричным способом решения систем линейных неоднородных уравнений.

Определение параметров модели прогнозирования для кривой .

Определитель системы находится так:

Определитель параметра a находится так:

Определитель параметра b находится так:

Определитель параметра с определяется так:

Далее

Полученная зависимость Ее график представлен на рис. П. 5.

Определение параметров модели прогнозирования верхней границы (для кривой по данным).

Полученная зависимость имеет вид:

Ее график представлен на рис. П. 5.

Определение параметров модели прогнозирования нижней границы (для кривой по данным).

Полученная зависимость имеет вид:

Ее график представлен на рис. 5.

Рис. 5. Графики моделей линии регрессии и ее доверительных границ

5. Определение наработки до отказа

Теперь, после того, как найдены параметры выбранной модели изменений ПКГ, производится экстраполяция ее статистических данных до предельного состояния исследуемого параметра, и находятся оценки нижних и верхних границ доверительного интервала средней наработки до отказа и из уравнений и — нижняя и верхняя границы доверительного интервала средней наработки до отказа, следовательно средняя наработка до отказа определяется как с доверительной вероятностью прогноза P=0,9.

Список литературы

1. Надежность технических систем и ее прогнозирование / В. В. Рыжаков. -Пенза: Изд-во Пенз. гос. технол. акад., 2011.-Ч.1.

2. Надежность технических систем и ее прогнозирование / В. В. Рыжаков. — Пенза: Изд-во Пенз. гос. технол. акад., 2011.-Ч.2.

3.Надежность технических систем и ее прогнозирование. Задания и аналитические материалы по выполнению домашних и курсовых работ./ В. В. Рыжаков.- Пенза: Изд-во Пенз. гос. технол. акад., 2011.