Поведение решений вырождающихся эллиптических систем в окрестности многообразий вырождения

Большую роль в теории функций комплексного переменного и в теории уравнений с частными производными играет система Коши-Римана их+ % -0 > у* - av =0 •.

К ней приводят многие плоские задачи гидрои газодинамики, теории упрутих оболочек и др.

Аналогом системы Коши-Римана в трехмерном пространстве служит система Мойсила-Теодореско.

Она может быть использована для введения в трехмерном пространстве аналогов голоморфных функций комплексного переменного. Эта система достаточно полно исследована А. В. Бицадзе [1−2]. Системы, обобщающие систему Мойсила-Теодореско, рассмотрены в [47−48]. В [48] приводится один из способов построения таких систем с помощью любого уравнения второго порядка с тремя независимыми переменными. Так, с помощью уравнения получена система аг %+ а5 сох + a<3Sv + t>3?>y+c5s%-uy+ Эта система является наиболее широким естественным обобщением системы Мойсила-Теодореско в трехмерном пространстве. Аналогичные системы рассматриваются в [48] и в четырехмерном пространстве.

При решении многих важных задач механики сплошных сред, теории бесконечно малых изгибаний поверхностей вращения, безмомент-ной теории оболочек и др. встречаются и более общие системы, которые могут менять тип и вырождаться. Особо значительную роль играют такие системы в гидрои газодинамике. Вырождение порядка или типа как у системы, так и у одного уравнения, может повлечь за собой нарушение корректности постановки классических краевых задач. В этом случае оказываются корректными краевые задачи в видоизмененной постановке, которая заключается иногда в задании условий с весами, иногда в освобождении части многообразия вырождения — носителя краевых условий — от задания. Это происходит потому, что вырождение, как правило, влечет изменение структуры решений, например, приводит к появлению особенностей у всех или у части решений в окрестности точек многообразия вырождения [39−43].

Первые работы в этой области посвящены изучению вырождающегося уравнения которое названо по имени одного из первых своих исследователей уравнением Трикоми. В настоящее время по вырождающимся уравнениям и системам с двумя независимыми переменными написано много работ. Например, вырождающиеся эллиптические системы и уравнения специального вида рассмотрены в книгах и статьях А. В. Бицадзе [1−3], М. Й. Вишика, [7], М. В. Келдыша [15], Л. Г. Михайлова [2l], З. Д. Усманова [36] и др. Систематическому изложению теории вырождающихся эллиптических и гиперболических уравнений с двумя независимыми переменными посвящена монография М. М. Смирнова [30].

Вырождающиеся системы и уравнения более чем с двумя независимыми переменными изучены уже меньше. Назовем несколько работ в этой области, результаты которых использованы в данной диссертации. В § I главы 2 применены теоремы существования и единственности решения задачи Коши для уравнения C (X, t) U= f (Z, t), (X-(Xi9X&9., Xlt,})9 с начальными данными на плоскости вырождения [14]. В этом же параграфе использована формула, полученная в [13] при решении в полупространстве t О задачи Коши для гиперболического уравнения параболически вырождающегося на начальной плоскости t-О. Систематически излагаются основные методы и принципы аналитической теории вырождающихся эллиптических уравнений второго порядка со многими независимыми переменными в монографии А. Янутааускаса [46]. В § I главы I диссертации из [4б] использована формула, аналитического в окрестности начала координат, исключая, быть может, точки гиперплоскости вырождения X = 0, решения уравнения.

U^+Z^AU^O, 4*0, в пространстве (Ht+i) -го независимого переменного.

Перейдем теперь к непосредственной характеристике содержания предлагаемой диссертации. В ней рассматриваются системы дифференциальных уравнений первого порядка с тремя независимыми переменными, близкие по структуре к системе Мойсила-Теодореско, но с переменными коэффициентами, допускающими вырождение. Первая система имеет вид.

I).

Ее характеристический определитель равен.

При Х>0 и любом вещественном р система (I) эллиптична. В полупространстве {X^oi эта система рассматривается лишь для таких вещественных р. , для которых среди значений выражения ex/i [ip4{ZK+i)] 7 К = 0-имеются вещественные. Пусть К 0 — наименьшее среди Я = 0-, для которых эта экспонента вещественна. Тогда полагаем Хр= IXIPCXp [(ZK0+ i) p$Li]. Приэтом, если р нечетно, то (I) является системой эллиптико-гиперболического типа и в каждой точке (Х01У0^%0) полупространства { X * о} имеет мнимые и вещественные характеристики ь I, г — I z.

У-У0) ('*о) * J. (i).

На плоскости Х = 0 система (I) вырождается в систему эллиптико-параболического типа.

По своей структуре похожа на систему (I) следующая система.

Щг % - * V0 > s*+^ W-o, с вещественным р и характеристическим определителем.

Вырождение этой системы происходит при Х = 0, а в остальных точках пространства она эллиптична.

Кроме (I) и (2), рассматривается также система.

2).

Un+Vy+tf^O,^-Uy + lxWfs^O, (3) при любом вещественном I. Характеристический определитель ее имеет вид.

Система. (3) эллиптична во всем пространстве за. исключением точек оси ОХ, в которых она вырождается в систему составного типа.

Структурные, свойства решений систем уравнений с частными производными наглядно выявляются через характер разрешимости задачи Коши или через свойства корректных для системы граничных задач. Поэтому именно такие вопросы исследуются в данной работе для указанных выше систем.

Диссертация состоит из трех-глав. В первой главе в комплексном пространстве С3= t X, У, ?} рассматривается задача Коши для систем (I) и (2) с начальными данными на плоскости вырождения Х-о. Классическая теорема Коши-Ковалевской дает существование и единственность аналитического решения задачи Коши в малом. За счет того, что системы рассматриваются в комплексном пространстве, удается построить решение этой задачи в более широкой области. Для первой системы доказывается существование области голоморфности G СО) из комплексного пространства С3, такой, что каковы бы ни были начальные данные, голоморфные в некоторой обыкновенной бицилиндрической области D из пространства {У, Z] и непрерывные в замкнутой области D, решение задачи Коши для системы (I) голоморфно в области Gift). Если начальные данные аналитически продолжимы из, то решение задачи Коши аналитически продолжим©из Gm ,.

Аналогичное утверждение имеет место и для системы (2). Все результаты первой главы являются распространением на системы методов исследования задачи Коши для одного уравнения Лапласа [45].

Во второй главе рассматриваются краевые задачи для систем (I) и (2). С помощью дифференцирования уравнений по соответствующим переменным из обеих систем удается получить по два новых уравнения, каждое из которых содержит только одну неизвестную функцию. Показывается корректность поставленных краевых задач для полученных уравнений. Функции, участвующие в этих уравнениях, считаются далее известными. Остальные неизвестные функции определяются через них из соответствующих систем и краевых условий. В большинстве рассматриваемых задач при этом применяютсярезультаты исследования задачи Римана-Гильберта [б].

В § I изучается первая система при нечетных р в односвяз-ной области D, лежащей в полупространстве {х<0} и ограниченной при Х=0 куском Р плоскости УОЪ, а при до<0 — поверхностью Ляпунова Н, расположенной внутри огибающей семейства характеристических каноидов (I) с основаниями, целиком лежащими в области Р. 'Причем требуется, чтобы И однозначно проецировалась на плоскость У ОХ и чтобы граница области й не содержала иррегулярных точек для задачи Дирихле. Доказывается существование регулярного в области 0 решения (il7S>fi^r уУ) системы (I), удовлетворяющего на р, г=рин, I ~ PflH условиям.

При этом функции^, у, А и задаются такими, что ^ и /I имеют непрерывные вторые производные, а! ь, С^ и удовлетворяют условию Гёльдера.

Во втором параграфе рассматривается та же система при р-88 £к+1, в полубесконечном цилиндре W, у которого основание So с границей t лежит в плоскости Х = 0, абоковая поверхность цилиндра при Х<0. Исследуется смешанная задача: найти решение системы (I), регулярное в цилиндре W= Z0X *(~оо<:х <0) и удовлетворяющее условиям si •? sxl = Ц sl =О, lx = 0 I 7 I Х = 0 1 '.

4) где f, L, У ш ty — заданные функции, из которых^, k и У непрерывно дифференцируемы до четвертого, третьего и второго порядков соответственно, a Pi, и ^ непрерывны по Гёльде-ру. Причем начальные функции выбираются такими, что^, У, ?, Afi, и обращаются в нуль на ребре? .

Следует заметить, что нулевые граничные условия в задаче (1),(4) взяты для простоты. В случае неоднородных граничных условий на заданные функции пришлось бы налагать дополнительные, еще более жесткие, требования.

Основным результатом этого параграфа является следующая теорема: задача (I), (4) при достаточно гладком контуре t всегда, имеет регулярное в цилиндре.

W решение (U, S, ifi), компоненты которого U и S определяются единственным образом, a V' и V^ - с точностью до произвольного постоянного слагаемого. Поясним конкретно, о какой гладкости контура t идет здесь речь. В ходе доказательства теоремы приводится обоснование метода. Фурье, применяемого при решении смешанной задачи для уравнения параболически вырождающегося на начальной плоскости Х=0. При этом требуется, чтобы собственные функции СОк (УуХ) однородной краевой задачи на собственные значения л, кык-о, w"/e = 0 были непрерывно дифференцируемы до второго порядка в замкнутой области Р. Для этого, согласно теореме 17 из [20], достаточно, чтобы функции Z = О (У), задающие уравнение границы I области Р, имели непрерывные производные до седьмого порядка. Требования гладкости, налагаемые на контур t, могут быть ослаблены. Так, например, Х. Л. Смолицкий в [32] доказано, что от функций ХО (У) в рассматриваемом случае достаточно потребовать существование производных второго порядка, удовлетворяющих условию Липшица.

В § 3 исследуется задача Дирихле для системы (2) при рт>0. Сначала доказывается существование в полупространстве {x>ol решения (U, SШ) этой системы, компоненты которого U и S соответственно совпадают на плоскости вырождения Х — О с наперед заданными непрерывными по Гёльдеру, непрерывно дифференцируемыми и стремящимися к нулю на бесконечности функциями f и ty. Это решение единственно в классе регулярных в полупространстве х< 0 } функций и непрерывно зависит от начальных данных. Затем рассматривается задача Дирихле в конечной односвязной области Я), ограниченной при ХО куском Р плоскости У ОХ, а при X >0 поверхностью Ляпунова Н. Как и в § I, требуется, чтобы И однозначно проецировалась на плоскость У ОХ и чтобы граница области Я) не содержала иррегулярных точек для задачи Дирихле. Доказывается, что в области Я) всегда существует регулярное решение (tlyS^^lfi) системы (2), удовлетворяющее на.

— 12 l'-РПИ И Г’рин условиям где Ц, / и ft — заданные непрерывные функции, среди которых /I и первые производные функций / и ^ по X удовлетворяют условию Гель дера. При этом функции U и S определяются единственным образом, at?" и — с точностью до произвольного постоянного слагаемого. Отметим, что если рассматривать системы (I) и (2) в полупространстве Х> О при любых вещественных р, то можно воспользоваться результатами, предлагаемыми Н. Раджабо-вым в [24].

Глава 3 посвящена исследованию задачи Дирихле для системы (3) в ограниченной области. От предыдущих паевых задач эта задача отличается, главным образом, тем, что вырождение системы происходит внутри области. Это влечет ряд дополнительных ограничений, накладываемых на функции, в классе которых ищется решение.

В § I берется цилиндр X): {Хг+ У2^ Я27 СК Х^ h-} с поверхностью Г и нижним ребром? и рассматривается следующая задача.: найти решение (U, S^l?, 1&) системы (3), регулярное всюду в 2) ¦, исключая, быть может, точки оси О X, ограниченное во всем цилиндре 50 и удовлетворяющее паевым условиям.

Чт9- sir=:f' (5) где f и — функции, заданные так, что и первые производные функций Q и f по X непрерывны по Гёльдеру, а? , кроме этого, имеет непрерывные вторые производные и обращается в нуль на. границах оснований цилиндра Т). Доказывается следующая теорема: всегда существует решение задачи Дирихле (3), (5), компоненты которого 3 и иУ определяются единственным образом, a U и V — с точностью до произвольного постоянного слагаемого. При этом функция V? регулярна во всем цилиндре ?), a U7& и ХУ ограничены в точках оси 0% и дважды непрерывно дифференцируемы в остальных точках области .

В доказательстве теоремы используются результаты следующего § 2 этой главы, в котором исследуется задача Дирихле для одного вырождающегося уравнения = 0. (6).

Решение этого уравнения также ограничено в точках (О, ОД) и дважды непрерывно дифференцируемо в остальных точках цилиндра ?). Гладкость в точках оси ОХ решения $ уравнения (6), а следовательно и компонент 11 и решения (UjS^fylfr) задачи (3), (5), которые выражаются через 3, определяется гладкостью функций.

Л+1.

Ч / К t+i у f).

Jo4(C4)f / и Jo (netl 1 ' где К-? J> - полярный радиус, a JIk — один из положительных нулей функции Бесселя первого рода У0 (Ь) .

В § 3 утверждения предыдущей теоремы распространяются с помощью альтернирующего метода Шварца на случай области D более общего вида.

1. Бицадзе А. В. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка. — М.: Наука., 1966. — 203 с.

2. Бицадзе А. В. Уравнения смешанного типа. М.: Изд-во АН СССР, 1959. — 164 с.

3. Бицадзе А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981. — 448 с.

4. Бицадзе А. В. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1976. — 296 с.

5. Ватсон Г. Н. Теория бесселевых функций. 4.1. М.: Изд-во иностр.лит., 1949. — 798 с.

6. Векуа И. Н. Обобщенные аналитические функции. М.: Физматгиз, 1959. — 628 с.

7. Вишик М. И. Краевые задачи для эллиптических дифференциальных уравнений, вырождающихся на границе области. Успехи мат. наук, 1954, т.9, № I, с. 138−143.

8. Годунов С. К. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1971. — 416 с.

9. Голубев В. В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. М.: Гостехиздат, 1950. — 436 с.

10. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциа-льным уравнениям. М.: Наука, 1971. — 576 с.

11. Камке Э. Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка. М.: Наука, 1966. — 260 с.

12. Канторович Л. В., Крылов В. И. Приближенные методы высшего анализа. М.: Физматгиз, 1962. — 708 с.

13. Капилевич М. Б. Об одном уравнении смешанного эллиптико-гиперболического типа. Шт.сб., 1952, т.30, вып.1, с.11−38.

14. Карапетян К. И. 0 задаче Коши для уравнения гиперболического типа, вырождающегося на начальной плоскости. Докл. АН СССР, 1956, т.106, № 6, с.963−966.7 7 7 ?

15. Келдыш М. В. 0 некоторых случаях вырождения уравнений эллиптического типа на границе области. Докл. АН СССР, 1951, т.77, № 2, с.181−183.

16. Келдыш М. В. 0 разрешимости и устойчивости задачи Дирихле.- Успехи мат. наук, 1941, т.8, с.171−292.

17. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1981. — 543 с.

18. Вурант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1965. 830 с.

19. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1965. — 716 с.

20. Ладыженская О. А. Смешанная задача для гиперболического уравнения. М.: Гостехиздат, 1953. — 279 с.

21. Михайлов Л. Г. Новый класс особых интегральных уравнений и его применение к дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами. Душанбе: Изд-во АН Тадж. ССР, 1963. — 200 с.

22. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Физматгиз, 1962. — 448 с.

23. Петровский И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными. М.: Физматгиз, 1961. — 400 с.

24. Раджабов Н. Интегральные представления и граничные задачи для некоторых дифференциальных уравнений с сингулярной линией или сингулярными поверхностями. 4.1−3. Душанбе: Изд-во Тадж. ун-та, 1982.

25. Сергиенко Л. С. К задаче Дирихле для вырождающихся эллиптических уравнений. Б кн.: Применение методов функционального анализа к задачам математической физики и вычислительной математики. Новосибирск, 1979, с.121−123.

26. Сергиенко Л. С. К задаче Дирихле для эллиптических систем первого порядка. Дифференц. уравнения, 1981, т. 17, В 9, с. I700-I70I.

27. Сергиенко Л. С. Об одной вырождающейся системе составного типа. Дифференц. уравнения, 1982, т.18, $ 2, с.349−351.

28. Сергиенко Л. С. Граничная задача для вырождающейся системы уравнений первого порядка. В кн.: Аналитические методы в теории эллиптических уравнений. Новосибирск, 1982, с.46−50.

29. Сергиенко Л. С. Задача Коши для вырождающейся составного типа системы уравнений первого порядка. Дифференц. уравнения, 1983, т.19, № I, с.119−126.

30. Смирнов М. М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. М.: Наука, 1966. — 292 с.

31. Смирнов В. И. Ifypc высшей математики. Т.4, ч.2. М.: Наука, 198I. — 550 с.

32. Смолицкий Х. Л. Оценки производных фундаментальных функций.- Докл. АН СССР, 1950, т.74, JS 2, с.415−421.

33. Соболев С. Л. Уравнения математической физики. М.: Гостех-издат, 1954. — 444 с.

34. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики.- М.: Наука, 1977. 735 с.

35. Уиттекер Э. Т., Ватсон Д. Н. Курс современного анализа. Т.2. М.: Наука, 1963. 515 с.

36. Усманов З. Д. К задаче сопряжения обобщенных аналитическихфункций с неподвижной особой точкой. Докл. АН Тадж.ССР, 1972, т.15, № 6, с.13−17.

37. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1−3. М.: Наука, 1969.38. фукс Б.А.

Введение

в теорию аналитических функций многих комплексных переменных. М.: Физматгиз, 1962. — 420 с.

38. Янушаускас А.И.О задаче Кош для одного класса эллиптических и вырождающихся уравнений. Сиб.мат.журн., 1967, т.8', !Ь 4, с.913−925.

39. Янушаускас А.й.О поведении в окрестности гиперповерхности вырождения решений эллиптического уравнения, порядок которого вырождается. Сиб.мат.журн., 1968, т.9, № 3, с.700−712.

40. Янушаускас А.и.К задаче Дирихле для вырождающихся эллиптических уравнений. Дифференц. уравнения, 1971, т.7, В I, с.166−174.

41. Янушаускас А.И.О полноте специальных семейств решений вырождающихся уравнений. Дифференц. уравнения, 1973, т.9, В 2, с.343−348.

42. Янушаускас А.И.К теории вырождающихся эллиптических уравнений. Сиб.мат.журн., 1974, т.15, J5 6, с.1394−1405.

43. Янушаускас А.И.

Введение

в аналитическую теорию вырождающихся эллиптических уравнений. Вильнюс: Изд-во Вильн. ун-та, 1974. 152 с.

44. Янушаускас А.и.К задаче Коши для уравнения Лапласа с тремя независимыми переменными. Сиб.мат.журн., 1975, т.16, JS 6, с.1352−1363.

45. Янушаускас А. И. Аналитическая теория эллиптических уравнений.- Новосибирск: Наука, 1979. 190 с.

46. Янушаускас А. И. О многомерном аналоге системы А. В. Бицадзе. Докл. АН СССР, 1978, т. 238, В 4, с. 816−819.

47. Янушаускас А. И. Некоторые обобщения голоморфного вектора. Дифференц. уравнения, 1982, т. I8. il 4, с. 699−705.