Расчет вероятности катастрофы и надежности системы энергоснабжения самолета
С другой стороны, катастрофа, связанная с отказом r = 3 двигателей (при работающих остальных) из четырех имеющихся у ЛА по условию задачи, есть следующее событие: Вероятность же того, что все три элемента безотказно отработают во время испытаний в заданном интервале (0; 5) является небольшой, а именно P (A4) = 0,0064? 0,006. Так как время безотказной работы элемента определяется его функцией… Читать ещё >
Расчет вероятности катастрофы и надежности системы энергоснабжения самолета (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Департамент по авиации Министерства транспорта и коммуникации Республики Беларусь Минский государственный высший авиационный колледж Кафедра ЕНД Контрольная работа по дисциплине: Теория вероятностей и математическая статистика Специальность: «Техническая эксплуатация авиационного оборудования (приборное и электросветотехническое оборудование)»
студента группы ЗПВ107
Рыжко Дмитрия Александровича
Минск-2012 г.
1. Сравнительный анализ вероятностей катастрофы летательного аппарата
1.1 Постановка задачи задания 1
1.2 Решение. Математическая часть
1.3 Расчетная часть
2. Определение надежности элементов системы энергоснабжения самолета
2.1 Постановка задачи задания 2
2.2 Решение. Математическая часть
2.3 Расчетная часть
вероятность катастрофа отказ система надежность Задание 1. Сравнительный анализ вероятностей катастрофы летательного аппарата
1.1 Задача
Летательный аппарат (ЛА) состоит из:
m двигателей с вероятностью отказа P1, P2, …, Pm ;
n дублирующих систем энергоснабжения с вероятностью отказа
P1э, P2э, …,;
N вспомогательных подсистем с вероятностью отказа PС
каждая.
Катастрофа наступает, если выходят из строя:
любые (r+1) и более двигателей;
все системы энергоснабжения;
хотя бы одна из N вспомогательных подсистем.
В случае отказа любого r из m двигателей катастрофа наступает с вероятностью PD .
Определить вероятность катастрофы ЛА и сравнить ее с вероятностью катастрофы ЛА без дублирующих систем (один двигатель с вероятностью катастрофы P1, одна система энергоснабжения с вероятностью отказа P1э и N вспомогательных подсистем с вероятностью отказа PС каждая), предполагая, что все упомянутые выше системы и подсистемы ЛА функционируют независимо друг от друга.
В обоих случаях сравнить вероятности катастроф, связанных с отказом:
двигателей;
систем энергоснабжения;
вспомогательных подсистем.
Дано
m | r | n | N | P1 | P2 | P3 | P4 | PD | P1э | P2э | P3э | PС | |
2•103 | 5•10−4 | 4· 10−4 | 6· 10−4 | 2•10−4 | 0,3 | 2•10−4 | 6· 10−3 | 4•10−4 | 4•10−9 | ||||
Решение:
Математическая часть Введем обозначения событий:
D1, D2, D3, D4 — отказ 1-го, 2-го, 3-го и 4-го двигателей соответственно;
B1, B2, B3 — отказ 1-й, 2-й и 3-й системы энергоснабжения соответственно;
Ci — отказ i-й вспомогательной подсистемы, i = ;
ЕК — катастрофа;
ЕKD, ЕKЭ, ЕKC — катастрофы, связанные с отказом двигателей, систем энергоснабжения и вспомогательных подсистем соответственно.
Вероятность катастрофы ЛА с дублирующими системами В этом случае
. (1.1)
Перейдем к противоположным событиям и будем иметь:
. (1.2)
Вследствие соотношения двойственности из равенства (1.2) получим:
. (1.3)
Тогда вероятность катастрофы будет определяться по формуле:
. (1.4)
Вследствие независимости событий из равенства (1.4) получим:
(1.5) | ||
Рассмотрим структуру событий ЕKD, ЕKЭ, ЕKC и найдем их вероятности катастроф, связанных с отказом:
двигателей ЕKD;
систем энергоснабжения ЕKЭ;
вспомогательных подсистем ЕKC .
Рассмотрим структуру событий ЕKD и найдем P (ЕKD) = PKD .
Так как событие ЕKD — это событие, состоящее в том, что катастрофа произошла из-за отказа двигателей, а по условию задачи катастрофа, связанная с отказом двигателей, наступает, если выходят из строя любые (r + 1) и более двигателей из m двигателей, а в случае отказа любого r из m двигателей катастрофа наступает с вероятностью PD .
Значит,
.
Так как в нашем случае число двигателей m = 4, а r = 3; то
r + 1 = 3 + 1 = 4.
Следовательно,
где ЕKD3 — событие, состоящее в том, что катастрофа произошла из-за отказа любого r = 3 из m = 4 двигателей;
ЕKD?4 — событие, состоящее в том, что катастрофа произошла в
связи с выходом из строя любых (r+1) = 4 и более двигателей, а в нашем случае ЕKD?4 = ЕKD4 — это событие, состоящее в том, что катастрофа произошла из-за отказа всех четырех двигателей. Из этого следует, что
. (1.6)
В свою очередь, катастрофа, связанная с отказом r = 3 двигателей (при работающих остальных), не обязательно влечет за собой катастрофу (а с вероятностью PD), значит,
(1.7)
тогда
.
Так как события ЕKD3 и ЕKD? 4 несовместны, то, а для нашего случая, учитывая выражение (1.6), получим:
С другой стороны, катастрофа, связанная с отказом r = 3 двигателей (при работающих остальных) из четырех имеющихся у ЛА по условию задачи, есть следующее событие:
(1.8)
то есть работает только 4-й, либо 3-й, либо 2-й, либо 1-й двигатель из четырех имеющихся у ЛА.
Доказать, что события EKD3 и ЕKD? 4 несовместны, можно следующим образом:
Согласно равенствам (1.7) и (1.6) имеем:
в соответствии с выражением (1.8) находим далее:
Используя тот факт, что и, получим:
Но если произведение двух событий равно невозможному событию (пустому множеству), то такие события являются несовместными.
______________________
Примечание — и — прерванное и продолженное преобразование текущего выражения.
По определению условной вероятности имеем:
а вследствие независимости событий далее находим:
Используя равенство (1.7) и несовместимость его слагаемых, получим:
Вследствие независимости всех событий и так как, будем далее иметь:
Так как P (Di) = Pi, i = 1,4 и P (EK / ED3) = PD, то
Если выполняется условие
(1.9)
для всех и учитывая, что значение вероятности случайного события меньше единицы, то
а также значит, что
.
Тогда имеем
(1.1(1.10)
Подставив значения, данные из условия задания, получим:
(1.11)
Рассмотрим структуру событий ЕКЭ и найдем Р (ЕКЭ) = РКЭ .
ЕКЭ? В1 · В2 · В3 — катастрофа, связанная с отказом всех трех систем энергоснабжения (n = 3 по условию задачи).
Так как все события В1, независимы, имеем:
1.12)
Подставив значения, данные из условия задания, получим
P (EKЭ)? P (B1 • B2 • B3) = P (B1) • P (B2) • P (B3) = P1Э • P2Э • P3Э = = 2 • 10−4 • 6 • 10−3 • 4 • 10−4 = 48 • 10−11 | (1.13) | |
Рассмотрим структуру событий ЕКС и найдем Р (ЕКС) = РКС. Событие ЕКС наступает, если отказывает хотя бы одна из вспомогательных подсистем. Значит, По закону двойственности Так как события независимы, получим:
Поскольку, получим:
Тогда
Если выполняется условие:
то
(1.14)
Подставив значения, данные из условия задания, получим:
(1.15)
Расчетная часть Переходим к числовым расчетам. Вычислим вероятность катастрофы по выведенной нами формуле (1.5). Так как в нашем случае выполняется условие (1.9), то Если выполняется условие и и, то будем далее иметь Видно, что PKD? PKЭ? PKC, так как ??.
Из этого следует, что вероятность катастрофы, связанной с отказом вспомогательных подсистем, является определяющей.
1.2 Вероятность катастрофы ЛА без дублирующих систем Вероятность катастрофы ЛА без дублирующих систем (один двигатель с вероятностью катастрофы, одна система энергоснабжения с вероятностью отказа и N вспомогательных подсистем с вероятностью отказа каждая) с учетом, что все упомянутые выше системы и подсистемы ЛА функционируют независимо друг от друга, будет определяться по формуле:
(1.16)
где — вероятность катастрофы ЛА без дублирующих систем;
— вероятность катастрофы, связанной с отказом двигателя, системы энергоснабжения соответственно в случае без дублирующих систем.
Исходя из исходных данных будем иметь:
P’KD = P1 = 5•10−4; P’KЭ = P'1Э = 2•10−4,
а как уже подсчитано ранее, PKC =, то, подставив эти значения в формулу (1.16), получим:
P'(EK)=P'KD+P'KЭ+PKC=P1+P1Э+NPc=5•10−4+2•10−4+8 •10−6=
10−4(5+2+8•10−2)=7,08•10−4
Так как
?,
то из этого следует, что вероятность катастрофы, связанной с отказом двигателя и систем энергоснабжения, является определяющей.
И, наконец, сравним вероятности и :
P'(EK)/P (EK)= 7,08•10−4/8.16•10−6=88(раз) Вывод Наиболее вероятной является катастрофа, связанная с отказом одной из вспомогательных подсистем, а отсутствие дублирующих систем увеличивает вероятность катастрофы в 88 раз, при этом определяющим фактором становится отказ двигателя или системы энергоснабжения.
2. Определение надежности элементов системы энергоснабжения самолета
2.1 Задача Испытываются m элементов системы энергоснабжения самолета, которые работают независимо один от другого. Длительность времени безотказной работы элементов распределена по показательному закону с функциями распределения для каждого из m элементов.
Определить вероятность того, что в интервале (0;) часов откажут:
только один элемент;
только два элемента;
все m элементов;
ни один из m элементов не откажет.
2.2 Типовой пример решения задачи
Дано:
Номер варианта | m | в | ||||
0,37 | 0,47 | 0,17 | ||||
Решение Математическая часть Введем обозначения:
— события, состоящие в том, что отказал только один элемент, только два, все три элемента, ни один элемент не отказал;
— вероятности отказа 1-го, 2-го, 3-го элемента в заданном интервале (0; 5) соответственно.
Тогда
— вероятности безотказной работы 1-го, 2-го, 3-го элемента в заданном интервале (0; 5) соответственно.
Так как время безотказной работы элемента определяется его функцией надежности, которая равна вероятность безотказной работы i-го элемента будет
Таким образом, вероятность безотказной работы 1-го элемента в заданном интервале (0; 5) будет
q1=e-0,37•5=e-1,85=0,1572
Вероятность отказа 1-го элемента в заданном интервале (0; 5) будет
p1=1-q1=1−0,1572=0,8428
_________________________
Примечание — Значения функции у = е-х взяты из приложения Б.
Вероятность безотказной работы 2-го элемента в заданном интервале (0; 5) будет
q2=e-0,47•5=0,9 537
Вероятность отказа 2-го элемента в заданном интервале (0; 5) будет
P2=1-q2=1−0,9 537=0,90 463
Вероятность безотказной работы 3-го элемента в заданном интервале (0; 5) будет
q3=e-0,17•5=e-0,85=0,4274
Вероятность отказа 3-го элемента в заданном интервале (0; 5) будет
P3=1-q3=1−0,4274= 0,5726
Расчетная часть Переходим к расчету искомых вероятностей, которые находятся следующим образом:
Вероятность отказа только одного элемента в заданном интервале (0; 5) будет
P (A1)=p1 • q2 • q3 + p2 • q1 • q3 + p3 • q1 • q2 = 0,8428 • 0,9 537 • 0,4274 + 0,90 463 • 0,1572 • 0,4274 + 0,5726 • 0,1572 • 0,9 537 = 0,103 717
вероятность отказа только двух элементов в заданном интервале (0; 5) будет
P (A2)= p1p2 q3 +p1p3q2 +p2p3q1 = 0,8428 • 0,90 463 • 0,4274 + 0,8428 • •0,5726 • 0,9 537 + 0,90 463 • 0,5726 • 0,1572 = 0,45 311
вероятность отказа всех трех элементов в заданном интервале (0; 5) будет
P (A3)=p1p2p3= 0,8428 • 0,90 463 • 0,5726 = 0,43 656
вероятность безотказной работы всех трех элементов во время испытаний в заданном интервале (0; 5) будет
P (A4)=q1•q2•q3 = 0,4274 • 0,9 537 • 0,1572 = 0,0064
Вывод При заданных данных во время испытаний в заданном интервале (0; 5) наиболее вероятным является отказ только двух элементов, а наименее вероятным — отказ всех трех элементов, так как
P (A1) = 0,103 717 < P (A3) = 0,43 656 < P (A2) = 0,45 311
Вероятность же того, что все три элемента безотказно отработают во время испытаний в заданном интервале (0; 5) является небольшой, а именно P (A4) = 0,0064? 0,006
Список используемой литературы Н. Нарольская «Методическое руководство по выполнению курсовой работы» «Минск-2010».
Л.С. Барковская «Теория вероятностей: практикум"/ Л. В. Станишевская, Ю. Н Черторицкий — Минск: БГЭУ, 2004.
А.П. Рябушко «Индивидуальные задания по высшей математике» Часть4 Минск «Высшая школа».