Математическая статистика
Выбор бракованного изделия из первой партии, А2 — выбор доброкачественного изделия из второй партии, выбор бракованного изделия из второй партии. Найти несмещенные статистические оценки математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения в генеральной совокупности. Несмещенной оценкой среднего квадратического отклонения в генеральной совокупности служит исправленное среднее… Читать ещё >
Математическая статистика (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
СОДЕРЖАНИЕ Задание 1
Задание 2
Задание 3
Задание 4
Задание 5
Задание 6
Задание 7
Задание 8
Задание 9
Задание 10
Задание 11
Задание 12
Задание 13
Задание 14
Задание 1. Исследовать сходимость рядов:
а)
Решение:
Воспользуемся признаком Даламбера Ряд сходится.
б)
Решение:
Для исследования этого ряда на сходимость удобнее применить радикальный признак Коши:
p ===
== =5
Так как показатель Коши ряда строго больше единицы, то по радикальному признаку Коши ряд расходится.
Задание 2. Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость:
Решение:
Рассмотрим ряд из модулей:
Сравним его с рядом
Мы сможем это сделать согласно признаку сравнения:
Ряд исследуем при помощи интегрального признака:
т.е. ряд расходится. Значит ряд из модулей тоже расходится, а наш знакопеременный ряд не обладает абсолютной сходимостью. Но он сходится условно согласно теореме Лейбница
|=
Задание 3. Найти область сходимости ряда:
Решение:
Найдем интервал сходимости, где R — радиус сходимости. Найдем радиус сходимости R :
Следовательно, интервал сходимости ряда. Исследуем сходимость ряда на концах интервала:
Полученный ряд является обобщенным гармоническим рядом, в котором
Следовательно, полученный ряд расходится.
Получили знакочередующийся ряд. Используем теорему Лейбница:
Значит, полученный ряд сходится.
Областью сходимости заданного ряда является промежуток .
Задание 4. Вычислить с точностью е = 0,001 .
Решение:
Так как 83 является ближайшим к числу 520 кубом целого числа, то целесообразно число 520 представить в виде суммы двух слагаемых:
520 = 83 + 8.
Тогда
= = 8 = 8(1+0,1 562)1/3 =
=8 =
= 8+ 0,0416−0,2 272+…
Третий член уже меньше чем 0,001, поэтому его следует отбрость и последующие за ним. Итак,
8 + 0,0416 8,0416
Задание 5. Найти три первых, отличных от нуля, члена разложения в степенной ряд интеграла дифференциального уравнения, удовлетворяющего следующему начальному условию:
Решение:
Воспользуемся разложением Так как по условию х = 0, то будем иметь Найдем коэффициенты при х:
;
.
Подставляя найденные значения в формулу, получим Задание 6. Среди 10 лотерейных билетов 6 выигрышных. Наудачу взяли 4 билета. Определить вероятность того, что среди них 2 выигрышных.
Решение:
Определимся с событием:
А — среди выбранных 4 билетов 2 выигрышных.
Вероятность этого события:
Число всех элементарных исходов п (число всех комбинаций выбора из 6 билетов по 2 билета) равно числу сочетаний:
Число элементарных исходов т, благоприятствующих событию, А :
Тогда, искомая вероятность равна:
Задание 7. В двух партиях 38% и 79% - процент доброкачественных изделий соответственно. Наудачу выбирают по одному изделию из каждой партии. Какова вероятность обнаружить среди них:
а) хотя бы одно бракованное;
б) два бракованных;
в) одно бракованное и одно доброкачественное?
Решение:
Определимся с событиями:
А1 — выбор доброкачественного изделия из первой партии,
выбор бракованного изделия из первой партии, А2 — выбор доброкачественного изделия из второй партии, выбор бракованного изделия из второй партии.
Тогда
.
а) А — хотя бы одно изделие бракованное.
б) В — оба изделия бракованные.
.
в) С — одно изделие доброкачественное и одно изделие бракованное.
.
Задание 9. Из 1000 ламп пi принадлежит i-ой партии, i = 1, 2, 3, В первой партии 6%, во второй 5%, в третьей 4% бракованных ламп. Наудачу выбирается одна лампа. Определить вероятность того, что выбранная лампа — бракованная.
Решение:
Так как, то
Определимся с событиями:
А — выбрана бракованная лампа;
выбрана лампа i-ой партии, i = 1,2,3.
Найдем вероятности событий Вi :
п = 90 + 690 + 220 = 1000 ,
Найдем вероятности события, А при условии, что события Bi (i = 1,2,3) наступили, т. е. найдем вероятности выбора бракованной лампы при условии, что лампы взяты из 1-ой, 2-ой, 3-ей партий :
По формуле полной вероятности найдем искомую вероятность:
Задание 9. В магазин поступают однотипные изделия с трех заводов, причем i-й завод поставляет тi % изделий (i = 1, 2, 3). Среди изделий i-го завода ni % первосортных. Куплено одно изделие. Оно оказалось первосортным. Определить вероятность того, что купленное изделие выпущено j-ым заводом.
.
Решение:
Определимся с событиями:
А — купленное изделие первосортное;
изделие выпущено i-ым заводом, .
Запишем вероятности событий Вi :
Запишем условные вероятности, т. е. вероятности того, что купленное изделие первосортное при условии, что оно выпущено i-ым заводом:
Вероятность того, что купленное первосортное изделие выпущено 1-ым заводом, вычислим по формуле Бейеса:
Задание 10. Вероятность наступления некоторого события в каждом из 100 независимых испытаний равна р = 0,8. Определить вероятность того, что число т наступлений события удовлетворяет следующему неравенству:
k1 = 75;
k2 = 90
Решение:
Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа :
где Ф (х) — функция Лапласа, Найдем х1 и х2 :
Учитывая, что функция Лапласа нечетная, т. е., получим
.
По таблице найдем :
Искомая вероятность Задание 12. Дискретная случайная величина Х принимает только два значения х1 и х2, причем. Известна вероятность р1 = 0,7 возможного значения х1, математическое ожидание М (Х) = 1,3 и дисперсия D (X) = 0,21. Найти закон распределения этой случайной величины.
Решение:
Сумма вероятностей всех возможных значений ДСВ равна 1. Отсюда вероятность того, что Х примет значение х2 равна
р2 = 1 — р1 = 1 — 0,7 = 0,3.
Запишем закон распределения ДСВ Х :
Х | х1 | х2 | |
р | 0,7 | 0,3 | |
Для нахождения значений х1 и х2 составим систему уравнений и решим ее:
или ;
или
7x12+ =19 (x 3)
70x12-182x1+112 = 0
По условию задачи. Следовательно, задаче удовлетворяет только решение, и искомый закон распределения будет иметь вид:
Х | |||
р | 0,7 | 0,3 | |
Задание 12. Непрерывная случайная величина задана функцией распределения. Требуется найти:
а) функцию плотности распределения ;
б) математическое ожидание ;
в) дисперсию ;
г) среднее квадратическое отклонение .
Построить графики функций и .
Решение:
а) Найдем функцию плотности распределения НСВ Х :
б) Найдем математическое ожидание НСВ Х :
в) Найдем дисперсию НСВ Х :
г) Найдем среднее квадратическое отклонение НСВ Х :
График функции распределения:
График функции плотности распределения:
Задание 13. Задано статистическое распределение выборки. Требуется:
а) найти распределение относительных частот;
б) построить полигон относительных частот;
в) найти эмпирическую функцию распределения и построить ее график;
г) найти несмещенные статистические оценки математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения в генеральной совокупности.
xi | ||||||
ni | ||||||
Решение:
а) Найдем объем выборки:
Относительные частоты определяем по формуле :
Запишем распределение относительных частот :
xi | ||||||
wi | 0,33 | 0,17 | 0,23 | 0,1 | 0,17 | |
Контроль:
б) Построим полигон относительных частот:
в) Эмпирическая функция где число вариант, меньших х ;
п — объем выборки, может быть представлена в виде:
Тогда, искомая эмпирическая функция будет иметь вид :
Строим график функции
г) Несмещенной оценкой математического ожидания в генеральной совокупности является выборочная средняя:
Найдем эту оценку:
xв = (1•20+3•10+4•14+6•6+7•10) = = 3,53;
Несмещенной оценкой дисперсии в генеральной совокупности является исправленная выборочная дисперсия:
где DB — выборочная дисперсия.
Найдем выборочную DВ :
=
= (400+300+784+216+700) — 12,46 = 27,54;
Найдем исправленную дисперсию, т. е несмещенную оценку генеральной дисперсии:
Несмещенной оценкой среднего квадратического отклонения в генеральной совокупности служит исправленное среднее квадратическое отклонение:
.
Найдем эту оценку:
.
Задание 14. Найти выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на Х по данным, приведенным в корреляционной таблице
Х Y | |||||||
; | ; | ; | ; | ||||
; | ; | ; | ; | ||||
; | ; | ; | |||||
; | ; | ; | |||||
; | ; | ; | |||||
Решение:
? Определим частоты, т. е. суммы частот появления значений у в каждой строке таблицы. Аналогично, найдем частоты. Очевидно, что, т. е. суммы частот равны объему выборки. В результате получим таблицу:
Х Y | ny | |||||||
; | ; | ; | ; | |||||
; | ; | ; | ; | |||||
; | ; | ; | ||||||
; | ; | ; | ||||||
; | ; | ; | ||||||
nx | n=100 | |||||||
Уравнение линейной регрессии Y на Х имеет вид:
где выборочный коэффициент корреляции.
Найдем значения параметров выборочного уравнения линии регрессии:
;
;
;
;
;
;
;
.
Подставляем полученные значения параметров в выборочное уравнение регрессии:
.
Тогда выборочное уравнение регрессии примет окончательный вид:
.
1. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т.2. — М.: Наука, 1985. — 506с.
2. Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.2. — М.: Высшая школа, 1986. — 415с.
3. Доценко А. Д., Нагулин Н. И. Методические указания к практическим занятиям по курсу «Высшая математика» (Ряды). Харьков: ХИРЭ, 1992. — 38с.
4. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. — М.: Высшая школа, 2000. — 400с.
5. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. — М.: Высшая школа, 2000. — 400с.