Расчет вероятности событий

Контрольная работа

по курсу Теория вероятностей

Задача 1

Вероятность появления поломок на каждой из соединительных линий равна. Какова вероятность того, что хотя бы две линии исправны?

Решение: В данном случае имеется последовательность испытаний по схеме Бернулли, т.к. испытания независимы, и вероятность успеха (соединительная линия будет исправна) р=1−0,25=0,75 одинакова во всех испытаниях. Тогда по формуле Бернулли при n=4, р=0,75, q=1-p=1−0,75=0,25 найдем вероятности того, что исправны две, три и четыре линии:

P₄(4) = pⁿ = 0.75⁴ = 0.3164

По условию задачи

=

Тогда найдем вероятность того, что исправных линий будет не меньше двух (хотя бы две), по формуле:

Задача 2

вероятность гипергеометрический дискретный величина В одной урне белых шаров и черных шара, а в другой — белых и черных. Из первой урны случайным образом вынимают шара и опускают во вторую урну. После этого из второй урны также случайно вынимают шара. Найти вероятность того, что все шары, вынутые из второй урны, белые.

Решение:

Введем следующие обозначения для событий:

из первой урны переложили два белых шара из первой урны переложили один белый шар и один черный из первой урны переложили два черных шара Так как других вариантов вытащить из первой урны два шара нет, эти события составляют полную группу событий, и они несовместны. Найдем вероятности этих событий по формуле гипергеометрической вероятности:

Введем событие, А — после перекладывания из второй урны вытащили 2 белых шара. Вероятность этого события зависит от того, что во вторую урну переложили из первой. Найдем условные вероятности:

Теперь найдем вероятность события, А по формуле полной вероятности:

Задача 3

В типографии имеется печатных машин. Для каждой машины вероятность того, что она работает в данный момент, равна. Построить ряд распределения числа работающих машин, построить функцию распределения этой случайной величины, найти математическое ожидание, дисперсию, а также вероятность того, что число работающих машин будет не больше .

Решение:

В этой задаче x — дискретная случайная величина, принимающая значения 0,1,2,3,4,5. Чтобы построить ряд распределения х, требуется найти вероятности, с которыми она принимает эти значения. В данном случае имеется последовательность испытаний по схеме Бернулли, т.к. испытания независимы, и вероятность успеха р=0,2 одинакова во всех испытаниях (успех — печатная машина работающая). Тогда по формуле Бернулли при n=5, р=0,2, q=1-p=1−0.2=0.8:

P₅(0) = (1-p)ⁿ = (1−0.2)⁵ = 0.3277

P₅(1) = np (1-p)^n-1 = 5(1−0.2)⁵⁻¹ = 0.4096

P₅(5) = pⁿ = 0.2⁵ = 0.32

Теперь построим ряд распределения:

Найдем математическое ожидание по формуле:

Найдем дисперсию:

Выпишем в аналитическом виде функцию распределения:

Найдем вероятность того, что число работающих машин будет не больше 3:

Задача 4

Непрерывная случайная величина задана ее функцией распределения:

.

Найти параметр С, функцию распределения, математическое ожидание, дисперсию, а также вероятность попадания случайной величины в интервал и квантиль порядка

Решение:

Найдем параметр С из уравнения. Так как плотность на разных интервалах задана разными функциями, разбиваем область интегрирования на соответствующее количество интервалов.

тогда

Найдем функцию распределения по формуле:. Так как плотность распределения задается разными выражениями в зависимости от интервала, функция распределения так же будет задаваться разными выражениями на этих интервалах:

если

если

если .

Таким образом, можно записать

Найдем математическое ожидание по формуле:

.

Опять разбиваем область интегрирования на три интервала:

Дисперсию находим по формуле:

Вероятность попадания случайной величины в интервал найдем по формуле

.

В нашем случае Найдем квантиль порядка 0,6: это решение уравнения: этот корень не попадает в интервал, где функция распределения принимает значения от 0 до 1. Квантиль один:

Задача 5

Суточное потребление электроэнергии исправной печью является случайной величиной, распределенной по нормальному закону со средним 1000 кВт/ч и СКО. Если суточное потребление превысит 1100 кВт, то по инструкции печь отключают и ремонтируют. Найти вероятность ремонта печи. Каким должно быть превышение по инструкции, чтобы вероятность ремонта печи была равна 0,02?

Решение:

Пусть — суточное потребление электроэнергии исправной печью. По условию задачи надо найти .

Сначала найдем вероятность того, что суточное потребление не превысит 1100 кВт. Вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу, найдем по формуле

.

Тогда т.к. функция Ф — нечетная Тогда вероятность того, что суточное потребление превысит 1100 кВт, и печь отключат, и будут ремонтировать, равна

Для решения второй части задачи обозначим переменной t величину превышения суточного потребления электроэнергии по инструкции, чтобы вероятность ремонта печи была равна 0,02.

Тогда вероятность того, что суточное потребление электроэнергии не превысит величину (1000+t) равна 1- 0,02=0,98.

Для нахождения t нам надо решить уравнения вида:

т.к. функция Ф (х) — нечетная найдя значение функции Лапласа в таблице, имеем:

Таким образом, чтобы вероятность ремонта печи была равна 0,02, суточное потребление должно превысить 1092,7 кВт.