Метод барона Мюнхгаузена

Гомельская научно-практическая конференция Учащихся по естественно-научным направлениям

«Поиск»

ГУО «Средняя общеобразовательная школа № 40 г. Гомеля»

«Метод барона Мюнхгаузена»

Учащейся 10 класса Государственного учреждения образования

«Средняя общеобразовательная школа № 40 г. Гомеля»

Чижовой Ксении Викторовны Научный руководительучитель математики Ткач Светлана Валерьевна Гомель, 2010

1 «Метод барона Мюнхгаузена»

2 Применение «метода барона Мюнхгаузена» в алгебре

2.1 Нахождение значений выражений с бесконечным числом элементов

2.2 Нахождение значений выражений и решение уравнений с использованием формулы куба суммы и разности

2.3 Нахождение значений

2.4 Числовые последовательности и конечные суммы

3 Решение уравнений с бесконечным числом элементов

4 «Метод барона Мюнхгаузена» и золотое сечение

5 «Метод барона Мюнхгаузена» и фракталы

6 Метод самоподобия в искусстве Заключение Список использованной литературы

— Вы утверждаете, что человек может поднять себя за волосы?

— Обязательно! Каждый здравомыслящий человек, просто обязан, время от времени это делать!

(из к/ф «Тот самый Мюнхгаузен»)

Идея этой работы пришла после изучения методов преобразования выражений с бесконечным числом элементов, где некоторые элементы выражений заменялись через исходные. Поэтому возник вопрос: где можно еще применить этот прием? Оказалось, спектр его применения широк. Тем более, многие задания содержатся в сборниках по подготовке к ЦТ. Поэтому данная тема для меня актуальна.

Цель и задачи работы: рассмотреть решения различных заданий с помощью идеи «выразить через себя». Самостоятельно изучить методы решения иррациональных и тригонометрических уравнений. Предложить изученный метод для учащихся на факультативных занятиях и для самоподготовки. Провести аналогию с другими областями знаний.

Методы исследования: анализ и синтез различных источников информации, самостоятельное решение задач.

1 «Метод барона Мюнхгаузена»

Уж кто только не глумился над историями барона Мюнхгаузена. Имя барона давно стало именем нарицательным, а сам он воспринимается как сказочный персонаж. Богатая фантазия Мюнхгаузена вступала в противоречия со всеми законами естественных наук, особенно физики и биологии. Но математика — другое дело. Красивая идея в математике всегда находила применение. И, как ни странно, в математике давно известны и плодотворно применяются идеи, схожие с теми, которыми барон развлекал соседей. Достаточно вспомнить историю о том, как он сам себя вытащил из болота. Привлекательность идеи «вытащить самого себя» нашла применение в математике. А сам метод решения условно назовем «методом барона Мюнхгаузена».

2 Применение «метода барона Мюнхгаузена» в алгебре

2.1 Нахождение значений выражений с бесконечным числом элементов

Пример 1. Рассмотрим выражение .

Найдем значение этого выражения. Обозначим это выражение через А:

А= (1)

Возведем равенство (1) в квадрат. Получим, что А2= (2)

Теперь в правой части содержится точно такое же выражение, как и то, которое мы обозначали через А. Равенство (2) запишем в виде А2=, откуда А=4 или А=-3.

Так как квадратный корень не может быть отрицательным, то

.

Ответ: 4.

В рассмотренном примере мы смогли найти ответ благодаря тому, что нам после некоторых преобразований удалось выразить искомое выражение через него же самого.

Вот еще одно выражение, значение которого мы найдем с помощью обозначенного метода.

Пример 2.

.

Пусть А=. Возведем обе части в куб и получим А3=6+А.

Откуда (А-2)(А2+2А+3) =0. Значит, А-2=0 или А2+2А+3=0. Последнее квадратное уравнение не имеет действительных корней, поэтому, А=2.

Ответ: 2.

Пример 3.

Найти значение выражения .

Обозначив это выражение через А (А>0) и возведя его в квадрат получим, что А2= 5А. Откуда, А=0(не подходит) или А=5.

Ответ: 5.

Пример 4.

Вычислить .

Обозначив это выражение через, А (А>0) и возведя его в квадрат получим А2=. Возведем обе части равенства в квадрат.

А4=4•3А, А (А3−12)=0,

А=0 или А=.

Ответ: .

2.2 Нахождение значений выражений и решение уравнений с использованием формулы куба суммы и разности

Одна из элементарных алгебраических формул как будто создана для использования в «методе барона Мюнхгаузена»: (а±в)3=а3±в3±3ав (а±в).

Обозначив А=а±в, эту формулу можно записать в виде: А3=а3±в3±3авА.

Рассмотрим примеры.

Пример 1.

Вычислим значение выражения .

Возведем это выражение в куб, используя вышеуказанную формулу.

Имеем ,

А3= 14−3•А, А3=14 — 3А, А3 +3А-14=0. Подбором находим А=2.

(А-2)(А2+2А+7)=0.

Второй множитель А2+2А+7?0(D<0).

Единственным действительным корнем является А=2.

Ответ: 2.

Еще интереснее применение этой формулы при решении уравнений.

Пример 2.

Решить уравнение .

Возведем обе части уравнения в куб, имеем

.

В скобках получилась левая часть исходного уравнения, которую можно заменить на правую. После упрощения уравнение имеет вид

Возведем еще раз в куб и получим

. Корни этого уравнения =-109 и =80.

Проверка показывает, что найденные числа являются корнями исходного уравнения.

Ответ: -109; 80.

Пример 3.

Решить уравнение .

Возведем обе части уравнения в куб, имеем В скобках получилась левая часть исходного уравнения, которую можно заменить на правую. После упрощения уравнение имеет вид

.

Возведем еще раз в куб и получим

. Корни этого уравнения =1 и =-6.

Проверка показывает, что =-6 не является корнем исходного уравнения.

Ответ: 1.

Откуда же берутся эти посторонние корни? Они появляются в результате подстановки правой части уравнения вместо левой его части, которая не равна ей тождественно.

2.3 Нахождение значений

Применение домножения и деления исходного выражения на 2, формул двойного угла, приведения и тройного угла дает нам следующую цепочку равенств

=

= .

Обозначим, А =, получим А= 0,5 — 2А2, 4А2+2А-1=0.

Корни этого уравнения А=. Так как, то А==.

2.4 Числовые последовательности и конечные суммы

Нахождение значений бесконечных периодических дробей Пример 1.

Представим периодическую дробь 0, (317) в виде обыкновенной. Обозначим А=0,317 317 317… Домножим обе части этого равенства на 1000. Получим, что 1000А= 317,317 317 317… То есть, 1000А=317+А, откуда А=.

Ответ:.

Пример 2.

Представим периодическую дробь 1,3 (17) в виде обыкновенной. Обозначим А=1,317 171 717…Домножим обе части равенства на 100.

Равенство примет вид 100А=131,7 171 717… или 100А=130,4+1,3 171 717… или 100А=130,4+А, откуда А=.

Ответ:.

Сделаем вывод: чтобы перевести периодическую дробь в обыкновенную, нужно домножить ее на разрядную единицу, содержащую столько нулей, сколько знаков в периоде. Затем представить полученную дробь в виде суммы, одним слагаемым которой является исходная дробь. Выразив ее, находим нужное представление.

Геометрическая прогрессия Перевести периодическую дробь в обыкновенную можно, представив эту дробь как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, используя формулу. Для вывода этой формулы можно использовать «метод барона Мюнхгаузена». Это доказательство отличается от доказательства из школьного учебника.

Пусть b1+b2+b3+…=S — сумма членов убывающей геометрической прогрессии. Используя выражение каждого члена прогрессии через первый член и знаменатель, получим

b1+b1q+ b1q2+ b1q3+…=S.

Домножим обе части на q: b1q+ b1q2+ b1q3+ b1q4…=Sq.

В левой части прибавим и вычтем b1.

— b1+(b1+ b1q+ b1q2+ b1q3+ b1q4…)=Sq,

— b1+S=Sq, откуда, .

Аналогично выводится формула суммы n членов геометрической прогрессии Sn=.

b1+b1q+ b1q2+ b1q3+…+b1qn-1=Sn,

b1q+b1q2+ b1q3+ b1q4+…+b1qn=Snq,

— b1+(b1+ b1q+b1q2+ b1q3+ b1q4+…+b1qn-1)+ b1qn=Snq,

Выражение в скобках равно Sn. Выразим его:

SnqSn= b1(qn-1), откуда, Sn=.

Вычисление конечных сумм

Нахождение полезного способа выражения величины через себя может потребовать и более значительных усилий.

Пример 1.Найти сумму Sn=1+2a+3a2+…+nan-1, a?1.

Заметим, что 1=1, 2=1+1, 3=2+1, 4=3+1,…, nan-1=(n-1)an-1+ an-1.

Тогда Sn=1+a+a+2a2+ a2+…+(n-1)an-1+ an-1,

Sn=(1+a +a2+…+ an-1)+(a +2a2 +…+(n-1)an-1).

Сумма слагаемых первой скобки — сумма n членов геометрической прогрессии, которая равна. Сумма слагаемых второй скобки дает нам aSnnan.

Получаем Sn=. Откуда Sn=.

Ответ:

Пример 2. Найти сумму Sn=1+3+6+10+…+.

Можно заметить, что каждое слагаемое в этой сумме — это сумма некоторой арифметической прогрессии. Имеем:

1=1;

3=1+2;

6=1+2+3;

10=1+2+3+4;

…

=1+2+3+4+…+n.

Сложив по столбцам, находим:

Sn=1•n+2(n-1)+3(n-2)+4(n-3)+…+n (n-(n-1))=

= n+2n+3n+…+n•n-2(1+3+6+ …+) =

=n (1+2+3+…+n)-2(1+3+6+… +)=

=n-2(Sn-).

Следовательно, 3Sn==.

Отсюда получим: Sn= .

Ответ:

2.5 Решение уравнений с бесконечным числом элементов

Решить уравнение

Разделим обе части уравнения на ().

2+

Заметим, что, …

Тогда уравнение примет вид

2+ ,

2+.

Сумма слагаемых первой скобки дает нам левую часть исходного уравнения, которую можно заменить на 8. Сумма слагаемых второй скобки — сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии (b1=, q=), которая равна. Имеем

2+8+ =,

9, откуда

= =.

Первое уравнение не имеет решений, из второго находим х=

Ответ:.

3 «Метод барона Мюнхгаузена» и золотое сечение

Напомним понятие золотого сечения — это деление отрезка на две неравные части так, что длина большей части относится к длине меньшей части, как относится длина всего отрезка к длине своей большей части. Если обозначить длину большей части через a, а длину меньшей части — b, то золотая пропорция запишется так:. Обозначив x =, получаем равенство x = 1+, или

. Корень последнего уравнения равен (отрицательный корень не рассматривается из понятных соображений). Это число часто обозначают буквой Ф, в честь древнегреческого скульптора Фидия (V в. до н.э.), применившего «золотое сечение «при проектировании всемирно известного храма Парфенон Афины Парфенос.

Число Ф обладает любопытными математическими свойствами, например:

Ф = (1), Ф = (2),

Ф= (3),

Ф= (4).

Чтобы убедиться в справедливости этих выражений нам поможет наш метод. Выражение вида (1) и (2) называются цепными дробями.

В выражении (2) применяя «метод выражения через само себя», получим Ф =, откуда Ф2−2Ф+1=0, т. е. Ф=. Аналогично (см. п. 2.1) проверяются соотношения (3) и (4).

4 «Метод барона Мюнхгаузена» и фракталы

Идея поиска подобных элементов, выражения объекта через себя, нашла воплощение не только в алгебре, а также и в теории фракталов.

Ш Фрактал — геометрическая фигура, состоящая из частей, которые могут быть поделены на части, каждая из которых будет представлять уменьшенную копию целого.

Основное свойство фракталов: самоподобие, в самом простом случае небольшая часть фрактала содержит информацию о всем фрактале.

Дерево Пифагора Треугольник Серпинского

Дракон Хартера Ковер Серпинского

5 Метод самоподобия в искусстве

На одном из внеклассных мероприятий по математике я узнала о творчестве голландского художника Мориса Эшера. Применение метода самоподобия можно найти и в его работах. Это картины — «Круг», «Предел», «От маленького до большого», «Рисующие руки», «Путь к жизни», «Водовороты» (см. Приложение 1).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В процессе работы над данной темой были найдены некоторые виды задач, для решения которых можно применить метод «выражения через себя», то есть просматривается успешная реализация идеи Барона Мюнхгаузена «вытащить самого себя из болота». Доказаны формулы сумм членов для геометрической прогрессии. Получен метод перевода периодических дробей в обыкновенные. Многие из рассмотренных задач можно решать и другими способами, но в этом методе есть нечто особенно элегантное и авантюрное. Поэтому, задачи, которые стояли передо мною, были решены. Возможно, я рассмотрела не все виды заданий на применение метода (в частности — системы уравнений). Поэтому эту тему можно еще развивать. Работа над темой позволила мне углубить свои знания по предмету, и она будет служить хорошей базой в подготовке к ЦТ.

1. Тиунчик А. А., «Метод барона Мюнхгаузена», Матэматыка. Праблемы выкладання., Минск «Выдавецтва „Адукацыя i выхаванне“», 2007,№ 4, 64стр.

2. Азаров А. И., Барвенов С. А., Федосенко В. С., «Математика. Текстовые задачи», Минск «Аверсэв», 2005, 256 стр.

3. Жуков А. В., «Вокруг «, Минск «Национальный институт образования», 2009, 72стр.

4. Мамонтова Г. Г., «Математика», Минск «Новое знание», 2005, 688стр.

Приложение1

Круг Предел

От маленького до большого

Рисующие руки

Водовороты