Помощь в написании студенческих работ
Антистрессовый сервис

Численное моделирование нелинейных диссипативных процессов

Диссертация: Численное моделирование нелинейных диссипативных процессов
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

В разработке математических моделей различных процессов экологии, биологии, демографии и экономики большую роль сыграли Арнольд В. И., Биркгоф Д., Вольтерра В., Глушко В. П., Зельдович Я. Б., Иваницкий М. Ф., Колмогоров А. Н., Логофет Д. О., ЛоткаА., Мари Г., Меншуткин В. В., Моисеев Н. Н., Петровский И. Г., Пискунов Н. С., Пригожин И. Р., Пу Т., Самарский А. А., Свирежев Ю. М. и др. Работа… Читать ещё >

Численное моделирование нелинейных диссипативных процессов (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Содержание

  • 1. Введение. Общая характеристика работы
    • 1. 1. Актуальность темы
    • 1. 2. Цель работы
    • 1. 3. Методы исследования
    • 1. 4. Научная новизна
    • 1. 5. Теоретическая и практическая ценность
    • 1. 6. Положения, выносимые на защиту
    • 1. 7. Апробация работы
    • 1. 8. Структура и объем диссертации
  • Глава I. Постановка задачи, обзор и вспомогательные утверждения
    • 1. Постановка задачи
    • 2. Обзор диссипативных моделей
    • 3. Элементы теории обобщенных функций
    • 4. Элементы теории устойчивости
  • Выводы
  • Глава II. Построение нелинейных диссипативных моделей экологии, экономики и демографии и исследование их устойчивости
    • 1. Обобщение модели Хотеллинга-Скеллама
    • 2. Обобщение экономической модели
    • 3. Обобщение модели мультипликатора-акселератора
  • Выводы
  • Глава III. Численное нахождение стационарного решения
    • 1. Численные методы, основанные на теории обобщенных функций
    • 2. Проекционный метод нахождения стационарных решений
  • Выводы
  • Глава IV. Трассировка
    • 1. Постановка задачи трассировки
    • 2. Построение модельной сетки
  • Выводы
  • Выводы по диссертации

1.1 Актуальность темы.

На протяжении XVII-XX столетий основное внимание научного сообщества было обращено на построение различных моделей в физике. В середине XX столетия акценты стали смещаться, и все большее и большее внимание стали уделять задачам моделирования экологических, биологических, экономических процессов.

В разработке математических моделей различных процессов экологии, биологии, демографии и экономики большую роль сыграли Арнольд В. И., Биркгоф Д., Вольтерра В., Глушко В. П., Зельдович Я. Б., Иваницкий М. Ф., Колмогоров А. Н., Логофет Д. О., ЛоткаА., Мари Г., Меншуткин В. В., Моисеев Н. Н., Петровский И. Г., Пискунов Н. С., Пригожин И. Р., Пу Т., Самарский А. А., Свирежев Ю. М. и др.

В настоящее время имеется большое число математических моделей, описывающих различные модели экологии, географии и экономики. Важное место среди них занимают нелинейные диссипативные модели, описывающие большое число различных процессов экологии, экономики, демографии. Многим из этих моделей, в частности модели Хотеллинга-Скеллама, присущи следующие недостатки:

1. в результате моделирования получаются решения, не соответствующие поставленной задаче;

2. отсутствуют общие методы нахождения стационарного решения;

3. отсутствуют общие критерии устойчивости решения.

В данной работе предложены методы решения этих проблем, что определяет ее актуальность.

1.2 Цель работы.

Работа посвящена исследованию и обобщению ряда математических нелинейных диссипативных моделей экологии, демографии и экономики, построению численных методов нахождения стационарных решений нелинейных диссипативных моделей, исследованию устойчивости решений и их экономической, экологической интерпретации.

Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:

1. Построены и обоснованы нелинейные модели экологических сообществ, демографических процессов, некоторых процессов экономики.

2. Построены приближенные методы нахождения стационарных решений для рассматриваемых моделей.

3. Исследована устойчивость решений дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих демографические, экологические и экономические процессы.

4. Предложены методы трассировки путей коммуникаций для неоднородной территории.

5. Дана программная реализация полученных алгоритмов.

Выводы по диссертации.

В диссертации.

— построены новые нелинейные диссипативные модели развития экологических, демографических и экономических процессов;

— предложены, обоснованы и программно реализованы два метода нахождения стационарных решений в пространственных нелинейных диссипативных моделях (в частности, в задачах типа Хотеллинга-Скеллама);

— исследована устойчивость по Ляпунову решений дифференциальных уравнений, описывающих модели;

— предложен квазиоптимальный метод трассировки коммуникаций;

— предложен способ построения модели развития инфраструктуры региона, основанный на применении предложенного квазиоптимального метода прокладки коммуникаций на неоднородной территории.

Полученные теоретические результаты позволяют провести полное исследование динамических процессов, описываемых диссипативными моделями.

Разработанный пакет программ позволяет находить стационарные решения широкого спектра нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных эллиптического типа, описывающих нелинейные диссипативные модели, обладает высокой гибкостью и легко адаптируется к новым сферам применения: от описания процессов динамики фитопланктона до анализа поведения цен на рынке ценных бумаг.

Практические результаты в виде построенных алгоритмов применяются в финансовой компании города Пензы, о чем имеется акт о внедрении. Программный комплекс зарегистрирован в «Отраслевом Фонде Алгоритмов и Программ» (ОФАП). Выдано «Свидетельство об отраслевой регистрации разработки» за номером 5439.

Показать весь текст

Список литературы

  1. А.А., Витт А. А., Хайкин С. Э. Теория колебаний. М.: Наука, 1959,916с.
  2. В. И. «Жесткие» и «мягкие» математические модели. // Администрация Президента Российской Федерации. Научно-практический семинар «Аналитика в государственных учреждениях». -М, 1997
  3. В.И. Теория катастроф. М.: Наука, 1990.
  4. В.И., Авец А. Эргодические проблемы классической механики. Ижевск: Ижевская республиканская типография. 1999, 284 с.
  5. Г. П., Меншуткин В. В., Петрова Н. А., Руховец JI.A. Моделирование экосистем больших стратифицированных озер. / Под ред. JI.A. Руховца. Наука: СПб, 2003. 364 с.
  6. В.А., Жибер А. В. Уравнения математической физики. -Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003, 256 с.
  7. Ю. М., Бродский Л. И., Девяткова Г. Н. Имитационная модель динамики планктонного сообщества Северного Каспия. // Теоретическая экология. М.: изд-во МГУ, 1987. С. 121−132.
  8. Ю.Барабашева Ю. М., Бродский Л. И., Девяткова Г. Н. Об оценивании параметров точечной модели водной экосистемы. // Теоретическая экология. М.: изд-во МГУ, 1987. С. 105−110.
  9. Ю. М., Бродский Л. И., Девяткова Г. Н. Пример калибровки точечной модели: модель Кандалакшского залива Белого моря. // Белое море. Л.: Гидрометеоиздат, 1986.
  10. Ю. М., Девяткова Г. Н., Тутубалин В. Н., Угер Е. Г. Некоторые модели динамики численностей взаимодействующих видов с точки зрения математической статистики. // Журн. общей биологии. 1996. Т. 57. № 2. С. 123−139.
  11. Н.С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. М.: Лаборатория базовых знаний, 2000,624 с.
  12. В. И., Лепин А. И., Макаров О. М., Петипа Т. С. Математическая модель пелагической экосистемы Черного моря. М., 1975. Рукопись деп. в ВИНИТИ № 3480 — 75. Деп.
  13. В. И. Модель шельфовой экосистемы для оценки ее потенциальной биопродуктивности. // Системный анализ и моделирование процессов на шельфе Черного моря. Севастополь, 1983. С. 7−18.
  14. Д. Динамические системы. Ижевск: Издательский дом «Удмуртский университет», 1999,408 с.
  15. П.Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Физматлит, 1958.
  16. И.В. Об устойчивости решений дифференциальных и разностных уравнений в критических случаях //Докл.АН СССР. 1990. T.314.N6. С.1298−1300.
  17. И.В. Об устойчивости дифференциальных и разностных уравнений с недифференцируемыми правыми частями // Дифференциальные уравнения 1993, Т.29. N8. С. 1453−1455.
  18. И.В. Об определении областей устойчивости для некоторых классов нелинейных уравнений с распределенными параметрами // Автоматика и телемеханика.2001. No 1. С. 40−49.
  19. И.В. Устойчивость дискретных моделей популяций // Материалы XII-й Международной школы-семинара «Синтез и сложность управляющих систем», Москва, МГУ, 2001, Часть I, с. 21−26.
  20. И.В., Викулов М. А. Устойчивость математических моделей нелинейной экономической динамики. // Материалы конференции «Всероссийская школа по структурной макрокинетике», 24−26 ноября 2004. Черноголовка, Россия
  21. И.В., Викулов М. А. Численные методы экономической динамики. Материалы научно-практической конференции «Проблемы качества, безопасности и диагностики в условиях информационного общества» // КБД-ИНФО 2005 — 1−10 октября 2005. Сочи. — С. 205−210.
  22. И.В., Викулов М. А. Устойчивость математических моделей нелинейной экономической динамики. // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. 2005. — № 6. — С. 3−15.
  23. А.И., Викулов М. А. Об одном методе размещения коммуникаций на неоднородной территории // Вопросы математического анализа. Красноярск. Издательство КГТУ. 2004.
  24. Н.В., Неймарк Ю. И., Фуфаев Н. А. Введение в теорию нелинейных колебаний. -М.: Наука, 1976.
  25. О. Н. Основные закономерности формирования биологической продуктивности нерестово-вырастных хозяйств дельты Волги и их роль в воспроизводстве рыбных запасов Каспийского моря. //Теоретическая экология. М.: изд-воМГУ, 1987. С. 186−200.
  26. И.Н. Обобщенные аналитические функции. М: Наука. 1998
  27. И.Н. О некоторых основных свойствах метагармонических функций. -М.: Наука, 1943.
  28. Г. А. Проблемы динамики численности насекомых на примере вредной черепашки. М.: «Наука», 1967. 210 с.
  29. В.М. Численные методы. М.: ВШ, 2000,266 с.
  30. B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1976.415 с.
  31. В. Математическая теория борьбы за существование. -М.: «Наука», 1976. 341 с.
  32. И. И., Горелов А. С. Рациональное использование водных ресурсов бассейна Азовского моря: математические модели. М., 1981.
  33. Г. Ф. Математическая теория борьбы за существование и ее применение к популяциям дрожжевых клеток. // Бюлл. Моск. о-ва испытателей природы. Отд. биол. 1934. Т. 43. № 1. С. 69−87.
  34. Г. Ф. Исследования над борьбой за существование в смешанных популяциях. // Зоол. журн. 1935. Т. 14. № 4. С. 243−306.
  35. И.М., Шилов Г. Е. Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений. -М.: Физматлит, 1958. 385 с.
  36. А. М. Соотношение органицизма и редукционизма как основных методологических подходов в экологии. // Журн. общей биологии. 1988. Т. 49. С. 202−217.
  37. А. М. Популяционная экология. Учебное пособие. М.: изд-во МГУ, 1990.212 с.
  38. А. М. 125 лет экологии Эрнста Геккеля. // Журн. общей биологии. 1992. Т. 54. С. 5−17.
  39. С.К. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1971. 325 с.
  40. Ф. Дж. Математика в физических науках. // Математика в современном мире. М., 1967.
  41. Ю.Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука. 1970. 536 с.
  42. Дж. О’Брайен, С. Шривастава. Финансовый анализ и торговля ценными бумагами. М.: «Дело Лтд», 1995, 207 с.
  43. Л.В., Крылов В. И. Приближенные методы высшего анализа. Ленинград: Гос. Изд-во технико-теоретической лит., 1949.
  44. А. Н. Качественное изучение математических моделей динамики популяций. // Проблемы кибернетики. 1972. Вып. 25. С. 100 106. (Перевод статьи, опубликованной в итальянском журнале в 1936 г.)
  45. А. Н. Теория вероятностей и математическая статистика (избранные труды). М.: «Наука», 1986.
  46. Колмогоров в воспоминаниях. Ред. А. Н. Ширяев. М.: «Физматгиз», 1993.244 с.
  47. А.Н., Петровский И. Г., Пискунов Н. С. Исследование уравнения диффузии, соединенной с возрастанием количества вещества, и его применение к одной биологической проблеме// Бюлл. МГУ. Серия А. 1937. N6. С. 1−26.
  48. Т. И., Угер Е. Г. О количественной обработке проб фитопланктона. //Биол. науки. 1980. № 7. С. 103−108.
  49. Н.С., Глинер Э. Б., Смирнов М. М. Основные дифференциальные уравнения математической физики. М.: Физматлит, 1962, 767 с.
  50. М.Г., Вайникко Г. М., Забрейко П. П., Приближенное решение операторных уравнений. М.: Наука 1969.456 с.
  51. В.И., Бобков В. В., Монастырный П. И. Вычислительные методы, в 2 томах. М.: Наука 1977.
  52. JI. Г., Юдович В. И. О бифуркациях равновесий при разрушении косимметрии динамической системы // Том 45 (2004), Номер 2, стр. 356−374
  53. JI. Г., Юдович В. И. Применение метода Ляпунова -Шмидта в задаче ответвления цикла от семейства равновесий системы с мультикосимметрией // Том 41 (2000), Номер 1, стр. 136−149
  54. Р., Руховец Л. А. Об одном приближенном методе расчета течений в неодносвязных областях. // Океанология, т.28, № 1, 1988. с.35−41.
  55. A.M. Общая задача об устойчивости движения. Харьков, 1892.3-е изд., Гостехиздат, 1950.
  56. И.Г. Теория устойчивости движения. Ленинград.: Гос. Изд-во технико-теоретической лит., 1952. 354 с.
  57. Математические модели биологических систем. Под ред. Г. М. Франка -М.: Наука, 1971.211с.
  58. В. В. Математическое моделирование популяций и сообществ водных животных. Л.: «Наука», 1971. 305 с.
  59. В. В. Модель экологической системы пелагиали Тихого океана. // Океанология. 1979. Т. 19. № 2. С. 318−325.
  60. Д.Р., Бауэр С. М., Смирнов А. Л. Задачи по теории устойчивости. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002,128 с.
  61. В.В., Медведев В. И., Мустель Е. Р., Парыгин В. Н. Основы теории колебаний. -М.: Наука, 1978.269 с.
  62. Моделирование в биологии и медицине. Республиканский межведомственный сборник. Академия наук Украинской ССР. Под ред. Амосова Н. Н. Киев: 1965.
  63. А. С., Питербарг JI. И. Предсказуемость погоды и климата. // Пределы предсказуемости. М.: «ЦентрКом», 1997. С. 12−49.
  64. А. Б., Юдович В. И. Асимптотическая устойчивость стационарного режима протекания идеальной несжимаемой жидкости // Том 43 (2002), Номер 4, стр. 840−857
  65. Дж., Уокер Р. Математические методы физики. М.: Атомиздат, 1972,399 с.
  66. Н. П. Экология животных. Учебное пособие для университетов. М.: «Высшая школа», 1963. 384 с.
  67. В.В., Степанов В. В. Качественная теория дифференциальных уравнений. Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2004,456 с.
  68. Е.И. Методы математической физики. М.: «Просвещение», 1977. 487 с.
  69. Г., Пригожин И. Самоорганизация в неравновесных системах. М.: Мир, 1979.512 с. 78.0дум Ю. Экология. В двух томах. М.: «Мир», 1986.
  70. В.М., Полежаев В. И., Чудов JI.A. Численное моделирование процессов тепло- и массообмена. М.: Наука, 1984,285 с.
  71. Перчук В. JL Модели в экологии и продолжающаяся путаница вокруг них (по поводу некоторых философских соображений). // Биология моря. 1980. № 3. С. 88−92.
  72. Д. Вычислительные методы в физике. М.: Мир, 1975.
  73. Пределы предсказуемости. Ред. Кравцов Ю. А. М.: «ЦентрКом», 1997. 220 с.
  74. Пу Т. Нелинейная экономическая динамика. Научно-издательский центр «Регулярная и хаотическая динамика». Ижевск. Издательский дом «Удмурдский университет». 2000. 200с.
  75. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 2. -М., 1978.305 с.
  76. Р. Принципы современной математической физики. М., 1982.294 с.
  77. Руховец J1.A., Астраханцев Г. П., Меншуткин В. В., Петрова Н. А. Комплекс моделей экосистемы Ладожского озера // Обозрение прикладной и промышленной математики, 2003. Т. 10, Вып. 1. С. 3962.
  78. Л.А., Астраханцев Г. П., Минина Т. Р., Петрова Н. А., Полосков В. Н. Оценка возможных изменений в экосистеме Ладожского озера в XXI веке под воздействием антропогенных и климатических факторов // Водные ресурсы, 2006. т. ЗЗ, 3. С. 1−16.
  79. JI.A., Астраханцев Г. П., Меншуткин В. В., Минина Т. Р., Петрова Н. А., Полосков В. Н. Моделирование экосистемы Ладожского озера: результаты и перспективы. В кн. «Ладожское озеро» (ред. Н.Н.Филатов). Петрозаводск: Кар. НЦ РАН, 2000. с.405−426.
  80. А.А., Гулин А. В. Численные методы. М.: Наука, 1989. -432 с.
  81. Л.Н., Викулов М. А., Миронов Д.А, О проблемах использования статистических критериев в анализе данных аудита. // Безопасность информационных технологий. Том 3. Пенза: ПТУ, 2002.
  82. Ю. М., Елизаров Е. Я. Математическое моделирование биологических систем. // Проблемы космической биологии. Вып. 20. М.: «Наука», 1972.
  83. Ю.М., Логофет Д. О. Устойчивость биологических сообществ. М.: Наука. 1978. 352 с.
  84. Ю.М. Нелинейные волны, диссипативные структуры и катастрофы в экологии. М.: Наука. 1987. 368 с.
  85. Ю. Н., Левин М. Б. Проблема математического моделирования многокомпонентной физико-биологической системы моря. // Вестник Ленингр. ун-та. Сер. геол.-географ. 1972. № 24. С. 114−125.
  86. Дж. М. Модели в экологии. М.: «Мир», 1976. 344 с.
  87. Теоретическая экология. Ред. Алексеев В. В., Федоров В. Д. М.: изд-воМГУ, 1987.256 с.
  88. Дж. М. Т. Неустойчивости и катастрофы в науке и технике. М.: Мир, 1985. 297 с.
  89. В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980, 495 с.
  90. В. Н. Теория вероятностей и случайных процессов. М.: изд-во МГУ, 1992. 397 с.
  91. В. Н., Барабашева Ю. М., Григорян А. А., Девяткова Г. Н., Угер Е. Г. Дифференциальные уравнения в экологии: историко-методологическое размышление. // Вопросы истории естествознания и техники. 1997. № 3. С. 141−151.
  92. В. Н., Барабашева Ю. М., Девяткова Г. Н., Угер Е. Г. Оценка возможностей корреляционного и регрессионного анализа при установлении конкуренции между видами. // Журн. общей биологии. 1998, т. 59. № 4, С. 43344.
  93. М. Анализ биологических популяций. М.: «Мир», 1975. 198 с.
  94. Э. Аналитическая динамика. Ижевск: Издательский дом «Удмуртский университет», 1999, 588 с.
  95. Форрестер Джей. Мировая динамика. М.: ACT- СПб.: Terra Fantastica, 2003, 381 с.
  96. Д. В. Модели в экологии и путаница вокруг них (некоторые философские соображения). // Биология моря. 1978. № 6. С. 3−15.
  97. Г. Детерминированный хаос: Введение: Пер. с англ. М.: Мир, 1988.240с.
  98. Г. Философская критика экологии // Вестник Московского ун-та. Сер. 7. Философия. 1996. № 1. С. 38−52.
  99. В. И. Об уравнениях свободной конвекции абсолютно теплопроводной жидкости // Том 34 (1993), Номер 5, стр. 218−229
  100. Astrakhantsev G.P., Yegorova N.B., Menshutkin V.V., Pisulin I.V., Rukhovets L.A. Mathematical model for the ecosystem response of Lake Ladoga to phosphorus loading. Hydrobiologia 322: 1996, p.153−157.
  101. Astrakhantsev G.P. Rukhovets L.A. A three-dimensional model of transformation of biogenes and organic matter in lakes. Russ.J.Numer.Anal. Math.Model., vol.9,1,1994, p.1−12.
  102. Astrakhantsev, G.P., Rukhovets L.A., Menshutkin V.V., et al., Development of Lake Ladoga ecosystem models: modeling of thephytoplankton succession in the eutrophication process. I. Ecological Modelling 165, Issue 1, P.49−77, 2003
  103. Ayala F. G., Gilpin M. E., Ehrenfeld J. G. Competition between species: theoretical models and experimental tests. // Theoret. popul. biol. 1974. V. 4. N3.P. 331−356.
  104. Dennis R., Desharnais R. A., Cushing J. U., Costantino R. F. Nonlinear demographic dynamics: mathematical models, statistical methods, and biological experiments. // Ecol. Monographs. 1995. V. 65. N3. P. 261— 281.
  105. Desharnais R. A., Costantino R. F. Genetic analysis of a population of Tribolium. V!!. Stability: response to genetic and demographic perturbations. // Canadian J. of Genetics and Cytology. 1980. V. 22. P. 577 589.
  106. Desharnais R. A., Liu L. Stable demographic limit cycles in laboratory populations of Tribolium castaneum. // J. of Animal. Ecol. 1987. V. 56. P. 885−906.
  107. Forrester J.W. World dynamics. Cambrige, Mass: Wright-Allen Press. Inc., 1971.
  108. Gause G.F. Experimental studies of the struggle for existence. // J. exp. Biol. 1932. V. 9. N4. P. 389−402.
  109. Gause G.F. The struggle for existence. Baltimore: Williams and Wilkins, 1934. (Переиздание: New York: Dover, 1971).
  110. Gause R. F. Verifications experimentales de la theorie mathematique de la lutte pour la vie. Paris: Hermann, 1935.
  111. Gilpin M. E. Do hares eat lynx? // Amer. Natur. 1973. V. 107. N957. P. 727−730.
  112. Goel N. S., Maitra S. C., Montroll E. W. On the Volterra and other nonlinear models of interacting populations. // Rev. of modern Phys. 1971. V. 43. P. 231−276.
  113. Haefner, J. W. Modeling biological systems. Chapman & Hall, New York. 1996
  114. , C. & J. Day, eds. Ecosystems modeling in theory & practice. Wiley, NY. 1977
  115. Hannon, В., M. Ruth. Modeling dynamic biological systems. Springer, NY. 1997
  116. Hanski J., Turchin P., Kerpinaki E., Henttonen H. Population oscillations of boreal rodents: regulation by mustelids predators leads to chaos. //Nature. 1993. V. 364. N6434. P. 232−235.
  117. Kennish, M. Ecology of estuaries, 1. Physical & chemical. CRC, Boca, FL. 1986
  118. Kremer, J. and S. Nixon. A coastal marine ecosystem. Springer, NY 1978.
  119. Lotka A. J. Elements of physical biology. Baltimore: Williams and Wilkins, 1925. (Переиздание: Elements of mathematical Biology. N.Y.: Dover, 1956).
  120. Meadows D. L. et al. The Limits to Growth: A Report for the Club of Rome’s Project on the Predicament of Mankind. New York: Universe Books. 1972.
  121. Menshutkin V.V., Astrakhantsev G.P., Yegorova N.B., Rukhovets L.A., Simo T.L., Petrova N.A. Mathematical modeling of the evolution and current conditions of the Ladoga Lake ecosystem //Ecological Modelling, v.107,1998. pp. 1−24.
  122. Mesarovic M. and Pestel E. Mankind at the Turning Point, New York, 1974.
  123. Odum, H. T. Systems ecology: An introduction. Wiley, NY (Ch. 1−4). 1983
  124. P.Neittaanmaki, V. Rivkind, L.Rukhovets. Mathematical and Numerical Modeling of Pollution of Lake. (В кн. Finite Element Modeling of Environmental Problem", Wiley and Sons, 1995. p.209−227.
  125. Parsons, T. et al. Biological oceanogr processes. Pergamon. Oxford. 1979
  126. Renshaw E. Modelling biological population in space and time. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1991.
  127. Riley, Factors controlling phytoplankton populations on Georges Bank, J. Marine Res., 6, 54−73., 1946.
  128. Schaffer W. M., Kot M. Do strange attractors govern ecological systems? // Bioscience. 1985. V. 35. P. 342−350.
  129. Skellam J. G. Random dispersal in theoretical populations. Biometrika, 38:196−218,1951.
  130. Utida S. Cyclic fluctuations of population density intrinsic to the host-parasite system. //Ecology. 1957. V. 38. N3. P. 442−449.1. Глава V Приложения
Заполнить форму текущей работой

Сессия? Спокойно!