Роль и место процентов в школьном курсе

Слово «процент» имеет латинское происхождение: в переводе с латыни «рго centum» — это «на сто» или «за сотню». Процентами выражают части целых чисел в одних и тех же сотых долях. Идея выражения частей целого постоянно в одних и тех же долях, вызванная практическими соображениями родилась еще в древности у вавилонян. Ряд задач клинописных табличек посвящен исчислению процентов, однако вавилонские ростовщики считали не «со ста», а «с шестидесяти». Проценты были особенно распространены в Древнем Риме. Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню. От римлян проценты перешли к другим народам Европы.

Долгое время под процентами понимались исключительно прибыль или убыток на каждые сто рублей. Они применялись только в торговых и денежных сделках. Затем область их применения расширилась, проценты встречаются в хозяйственных и финансовых расчетах, статистике, науке и технике. Ныне процент — это частный вид десятичных дробей, сотая доля целого (принимаемого за единицу).

Знак % произошёл благодаря опечатке. В рукописях «pro centum» часто заменяли словом «cento» (сто) и писали его сокращённо «cto». В 1685 году в Париже была напечатана книга — руководство по коммерческой арифметике, где по ошибке наборщик вместо «cto» набрал %. После этой ошибки многие математики стали употреблять знак % для обозначения процентов, и постепенно он получил всеобщее признание.

В учебнике Н. Я. Виленкина, В. И. Жохова, А. С. Чеснокова и С. И. Шварцбурда «Математика, 5», вышедшем в издательстве «Мнемозина» в 1996 г. в рубрике «История математики» дана еще одна достаточно любопытная версия возникновения знака %. Там говорится, что этот знак произошел в результате нелепой опечатки, совершенной наборщиком. В 1685 г. в Париже была опубликована книга-руководство по коммерческой арифметике, где по ошибке наборщик вместо cto напечатал %.

Вообще, изобретение математических знаков и символов значительно облегчило изучение математики и способствовало дальнейшему ее развитию.

В дореволюционной школе изучение процентов было связано с потребностями коммерческих расчетов. Разъяснялось различие между простыми и сложными процентами. Задачи на проценты делились на четыре группы, в зависимости от того, что не известно из следующих величин:

1) процентные деньги или наращенный капитал;

начальный капитал;

процентная такса (процент за год);

время, в течение которого капитал находится в росте.

В послереволюционные годы новая школа уточняла цели обучения, осмысливала прежний опыт, решительно и бесповоротно расставалась со всем, что не отвечало новому пониманию задач обучения. При всей революционной категоричности авторов программы 1921 года, значительно сокративших задачный «репертуар», в программе все же написано: «…понятие о проценте и вычисление процентных отношений обязательны в школе и включены в программу».

Долгое время под процентами понимались исключительно прибыль или убыток каждых 100 рублей. Они применялись только в торговых и денежных сделках. Затем область их применения расширилась, проценты встречаются в расчетах, статистике, науке и технике. [10].

Современная жизнь снова делает задачи на проценты актуальными, так как сфера практического приложения процентных расчетов расширяется. Везде — в газетах, по радио и телевидению, в транспорте и на работе обсуждаются повышение цен, заработных плат, рост стоимости акций, снижение покупательной способности населения и т. п. добавим сюда объявления коммерческих банков, привлекающих деньги населения на различных условиях, сведения о доходах по акциям различных предприятий и фондов, об изменении процента банковского кредита и пр. все это требует умения производить хотя бы несложные процентные расчеты для сравнения и выбора более выгодных условий. Формирование соответствующих умений в настоящее время оставляет желать лучшего.

Понятие процента имеет широкое практическое применение, поэтому оно является обязательной частью школьной программы по математике. Школьники должны научится решать основные задачи на проценты, представлять их в виде десятичных и обыкновенных дробей. [49].

Традиционно тема «Проценты» изучается в рамках младших классов среднего звена. Можно выделить несколько подходов к изучению данной темы.

Первый подход. Рассмотрение процентов ведется как отдельная тема, без опоры на дроби. Нахождение нескольких процентов от числа осуществляется в два действия. Изучение дробей ведется отдельной темой, гораздо позже задач на проценты. Таким образом, обучение идет от частного к общему, что менее эффективно и дает меньше возможностей для развития обучаемого.

Второй подход. Задачи на проценты осваиваются как частный случай задач на дроби и все приемы решения переносятся на них, то есть изучение идет от общего случая — задач на дроби, к частному. В большинстве современных учебников реализован второй подход.

Рассмотрим более подробно изучение данной темы в некоторых современных учебниках, рекомендованных Министерством Образования России для преподавания математики в основной школе.

По учебникам Н. Я Виленкина «Проценты» изучается в V классе. Перед введением понятия «процент» автор предлагает рассмотреть примеры:

«Сотую часть центнера называют килограммом, сотую часть метра — сантиметром, сотую часть гектара — акром. Принято называть сотую часть любой величины процентом».

Рассматриваются три основные задачи на проценты:

Задача вида 1.

Пример 1 Бригада рабочих за день отремонтировала 40% дороги, имеющей длину 120 м. Сколько метров дороги было отремонтировано бригадой за день?

Решение:

• 120 м составляет 100%
• 1) 120:100 =1,2 м составляет 1%.
• 2) м отремонтировано бригадой за день.

Ответ: За день бригада отремонтировала 48 м дороги.

Задача вида 2.

Пример 2: Ученик прочитал 72 страницы, что составляет 30% числа всех страниц книги. Сколько страниц в книге?

Решение:

Неизвестное число — 100%.

• 1) 72:30=2,4 страницы составляет 1%.
• 2) страниц составляет 100%.

Ответ: в книге 240 страниц.

Задача вида 3.

Пример 3: в классе из 40 учащихся 32 правильно решили задачу. Сколько процентов, учащихся правильно решили задачу?

Решение:

• 40 учащихся составляют 100%.
• 1) 40:100=0,4 составляет 1%.
• 2) 32:0,4=80; 32 ученика составляют 80%.

Ответ: 80% учащихся правильно решили задачу.

Однако эти виды задач не выделяются, так как в качестве основного способа решения задач на проценты принят способ приведения к единице. Он обладает определенными преимуществами:

• а) проще для выполнения вычислений;
• б) приучает учащихся к выделению числа, принимаемого за 100%;
• в) требует проведения в процессе решения конкретной задачи соответствующих рассуждений, которые не включают запоминания правил решения того или иного вида задач на проценты.

Учебник предполагает решать некоторые задачи на проценты с помощью уравнений. Эта рекомендация относится по существу к двум видам задач: нахождение числа по данному числу его процентов и нахождение процентного отношения двух чисел. Опыт преподавания математики в V классе показывает, что учащиеся сталкиваются с определенными трудностями в процессе решения задач на проценты, что связано в основном с недостаточной осознанностью учащимися способа приведения к единице. Поэтому отработка сущности этого способа в два действия имеет решающее значение в обучении решению задач на проценты, особенно на начальном этапе усвоения знаний. Задачи, рассмотренные в примерах 2 и 3, могут быть решены с помощью уравнений. В V классе решение задач с помощью уравнений вызывают у учащихся значительные трудности.

Эта тема является одной из последних в курсе V класса. Далее авторы специально к теме не возвращается. Это не очень удачно, так как тема объективно трудная.

Несколько другой подход к этой теме в учебниках Э. Р. Нурка. Изучение процентов начинается в конце V класса. Авторы определяют процент, как иное название одной сотой. «Мы знаем, что одна вторая иначе называется половиной, одна четвертая — четвертью, три четвертых — тремя четвертями. Особое название имеет и одна сотая: одна сотая называется процентом». Учащиеся рассматривают только два вида задач:

Задача вида 1.

Пример 4. В школе 800 учащихся, 15% из них за четверть получили пятерки по математике. Сколько учеников получили пятерки по математике?

Решение:

Найдем вначале один процент, или одну сотую, от числа учащихся.

800: 100=8.

Чтобы найти 15%, нужно выполнить умножение:

=120.

Ответ: 120 учеников получили пятерки.

Большое внимание уделяется связи дробей (десятичных и обыкновенных) и процентов.

Задача вида 3.

Пример 5. Сколько процентов от 1 м составляет 1 см, 9 см, 0,15 м?

В VI классе авторы снова возвращаются к этой теме. Учащиеся повторяют материал, изученный в V классе, и рассматриваются новые задачи. При этом для каждого вида задач проводится аналогия с действиями над десятичными и обыкновенными дробями, формулируется правило:

Для задачи вида 1.

• 1) выразить проценты обыкновенной или десятичной дробью;
• 2) умножить данное число на эту дробь"

А также для задачи вида 2.

• 1) выразить проценты обыкновенной или десятичной дробью;
• 2) разделить данное число на эту дробь"

Пример 6. За контрольную работу по математике отметку «4» получили 9 учеников. Это составляет 36% от всех учащихся класса. Сколько учащихся в классе?

Решение:

Выразим проценты обыкновенной или десятичной дробью:

36%= =0,36.

Воспользуемся правилом нахождения числа по его дроби:

9:==25 или 9:0,36=25.

Ответ: в классе было 25 учащихся.

Далее рассматривается задача вида 3.

Сначала учащиеся рассматривают выражение частного двух чисел в процентах: «чтобы выразить частное в процентах, нужно частное умножить на 100 и к полученному произведению приписать знак процента».

Только после этого они переходят к решению задачи 3.

Для этого нужно.

• 1) первое число разделить на вторе;
• 2) полученное частное выразить в процентах"

Пример 7. В классе 25 учащихся, из них 20 пионеров. Сколько процентов составляют пионеры?

Решение:

Для решения нужно частное выразить в процентах. =0,8=80%.

Ответ: пионеры составляют 80%.

В конце темы рассматривается задача вида 2 и 3.

чтобы узнать, на сколько процентов увеличилась или уменьшилась данная величина, необходимо найти:

• 1) на сколько единиц увеличилась или уменьшилась эта величина;
• 2) сколько процентов составляет полученная разность от первоначального значения величины"

Пример 8. До снижения цен холодильник стоил 250р., после снижения — 230 р. На сколько процентов снизилась стоимость холодильника?

Решение:

Узнаем, на сколько рублей изменилась цена холодильника:

250−230=20 р.

Найдем, сколько процентов составляет полученная разность от первоначальной стоимости холодильника: =0,08=8%.

Ответ: стоимость холодильника понизилась на 8%.

Правила ограничивают учащихся, не дают им рассуждать над решением. Поэтому каждая задача на проценты становится алгоритмом и вызывает затруднения, если правило забыто. Решение задач в данном курсе арифметическое. Использование уравнений при решении начинается лишь в конце года только в сложных задачах. Следовательно, не каждый ученик сможет овладеть этим умением. Поэтому нужно включить задачи на проценты при изучении уравнений.

В учебниках А. Г. Мордковича понятие процента также изучается в конце V класса. Перед введением определения рассматриваются примеры употребления понятия «процент»:

«Всхожесть семян составляет 98 процентов; в выборах президента России приняли участие 65 процентов избирателей…». Процент определяется как обозначение сотой доли. В V классе авторы рассматривают только два вида задач: задачи вида 1 и 2. Решение этих задач осуществляется арифметическим способом. Большое внимание уделяется вопросу, какую величину взять за 100%.

Далее тема «Проценты» изучается в VI классе. Здесь рассматриваются те же виды задач, но решение осуществляется уже алгебраическим способом (составление линейных уравнений). Авторы формулируют правила нахождения части от целого и целого по его части:

• 1) чтобы найти часть от целого, надо целое (соответствующее ему число) умножить на дробь (соответствующее этой части);
• 2) чтобы найти целое по его части, надо часть (соответствующее этой части число) разделить на соответствующую ей дробь".

После этого тема не рассматривается.

Несколько другой подход в учебниках С. М. Никольского. Проценты начинают изучаться в начале VI класса. Вводится понятие процента как одной сотой части числа (величины). Рассматриваются задачи трех типов:

а) нахождение процентов от данного числа 1.

Сначала рассматривается нахождение 1% от данного числа. Затем — нахождение произвольного числа процентов.

б) нахождение числа по данному числу его процентов 2.

Также в первую очередь обсуждается, как найти число, 1% которого известен. Затем эта задача рассматривается для любого произвольного числа процентов.

в) нахождение процентного отношения двух чисел 3. Авторы формулируют правило «Чтобы отношение двух чисел выразить в процентах, можно это отношение умножить на 100».

Все три типа задач решаются сначала арифметическим способом, а затем их решают, на основе свойств пропорциональности.

Пример 9. Найти 8% от 35.

Решение: Пусть x — искомое число, тогда:

x=.

Ответ: 2.

Рассматриваются также задачи, в которых нужно увеличить (уменьшить) число на некоторое число процентов. Проценты также используются при изучении диаграмм.

В середине учебного года авторы снова предлагают вернуться к понятию процента. Они хотят установить связь между десятичными дробями и процентами, вспоминают ранее изученный материал и предлагают более сложные задачи.

Пример 10.

Цену товара увеличили на 10%, затем еще на 10%. На сколько процентов увеличили цену товара за два раза?

Здесь же рассматриваются задачи на смеси и сплавы (этот параграф отмечен, как параграф повышенной трудности). Мне кажется, что задачи такого типа для шестиклассников сложны. Поэтому не каждый учитель захочет рассматривать такие сложные задачи со всем классом и очень важный пласт задач останется не рассмотренным. Но это очень важные задачи, которым следует уделить должное внимание, возможно, в старшем возрасте.

В этом комплекте также уделяется внимание работе с калькулятором при решении задач на проценты. Данному вопросу посвящен отдельный параграф и разработана система упражнений.

В старших классах тема проценты рассматривается в рамках задач на повторение и задач повышенной трудности. В старших классах операции с процентами становятся прерогативой химии, которая внедряет свой взгляд на проценты. Поэтому вопросы универсальности процентов и разнообразия сфер их применения постепенно забываются учащимися.

А по учебнику под редакцией Г. В. Дорофеева в 5 классе проценты не изучаются.

В 6 классе на решение задач с процентами отводится 3 часа. После изучения темы «Нахождение дроби от числа» рассматривается задача нахождения % от числа по новому правилу: процент переводится в десятичную или обыкновенную дробь и умножается на число.

После изучения темы «Нахождение числа по его дроби» рассматривается задача на нахождение числа по данному значению его процентов, которая решается переводом процентов в обыкновенную или десятичную дробь и делением числа на полученную дробь.

В теме «Отношения» рассматривается задача 3 типа — частное двух чисел умножается на 100%. При этом получаем, какой процент первое число составляет от второго.

Введение

процентов опирается на предметно-практическую деятельность школьников, на геометрическую наглядность и геометрическое моделирование. Широко используются рисунки и чертежи, помогающие разобраться в задаче и увидеть путь решения.

Как и во всех основных разделах курса при изложении этой темы реализованы широкие возможности для дифференцированного обучения учащихся. Задачи предлагаются в широком диапазоне сложности — от базовых, до достаточно трудных. Учитель может подобрать материал, соответствующий возможностям каждого школьника.

При обучении решению задач на проценты учащиеся знакомятся с разными способами решения задач.