Операционная имитация лестничных LC-фильтров

Операционная имитация лестничных LC-фильтров

В отличие от методов элементной имитации применение любого из методов операционной имитации приводит к структуре, состоящей из развязанных активных RC-звеньев. Рассмотрим процедуру синтеза структурной схемы активного RC-ФНЧ-прототипа методом матричных преобразований.

В качестве исходной берется схема лестничного LC-ФНЧ-прототипа (схема A) и преобразуется к такому виду, чтобы ее можно было описать одной и той же матрицей как для случая четного, так и нечетного n. Для этого достаточно поменять местами вход и выход и изменить нумерацию элементов, как это показано на рис. 5.16, где при n четном, при n нечетном; в случае нечетного n. Схема в таком виде описывается следующей матрицей проводимостей:

.

где .

С учетом того, что номера строк и столбцов этой матрицы нечетные, добавляются четные строки и столбцы с ненулевыми элементами.

.

в результате чего матрица приобретает вид.

В дальнейшем четные строки, умноженные на, прибавляются к соседним строкам, т. е.

.

после чего матрица приводится к виду.

. (5.10).

Поскольку — величины безразмерные, элементы матрицы, расположенные на главной диагонали, фактически являются знаменателями, а остальные элементы — числителями функций передачи развязанных активных звеньев ФНЧ-прототипа.

Чтобы в дальнейшем упростить реализацию звеньев, из матрицы (5.10) исключаются все элементы, содержащие оператор s и расположенные вне главной диагонали. Для этого в цикле по к i-м строкам и столбцам прибавляются () — е строки и столбцы, умноженные на коэффициенты :

.

в результате чего получается матрица.

(5.11).

которая отличается тем, что у нее все нечетные (j-е) наддиагонали (и поддиагонали) содержат ненулевые элементы, расположенные на пересечении j-х наддиагоналей (при) и четных строк (j-х поддиагоналей и четных столбцов). Матрица функций передачи фильтра четного порядка отличается от (5.11) тем, что у нее все элементы n-й строки и n-го столбца, за исключением элементов первой нади поддиагонали, а также, естественно, элемента главной диагонали, равны нулю. В случае полиномиального фильтра произвольного порядка нулевыми будут все элементы j-х нади поддиагоналей при .

Для реализации нулей передачи, а также для обеспечения условий низкой параметрической чувствительности достаточно, чтобы на каждой нечетной j-й () нади поддиагонали находилось только по одному ненулевому элементу, например в 0-й строке и 0-м столбце. Чтобы привести матрицу (5.11) к такому виду, необходимо выполнить следующие операции:

где; .

Если теперь переместить (используя соответствующие операции со строками и столбцами) ненулевые элементы из 0-й строки и 0-го столбца (кроме) соответственно в 1-ю строку и 1-й столбец, то можно исключить 0-ю строку и () — е строку и столбец, что приведет к такому виду матрицы (при четном n):

(5.12).

где элементы, обеспечивающие нули передачи, находятся на пересечении первого столбца и четных i-х строк () и имеют отрицательные значения. Расположенные симметрично им (относительно главной диагонали) ненулевые элементы способствуют обеспечению низкой параметрической чувствительности фильтра в полосе пропускания. В матрице фильтра нечетного порядка с полным набором нулей передачи ненулевыми элементами, кроме оговоренных выше, являются также .

Чтобы иметь низкую параметрическую чувствительность не только в полосе пропускания, но и в полосе режекции, матрица (5.12) должна быть симметричной относительно второй диагонали:

матрица режекция синтез.

(5.13).

что может быть получено, если на каждом шаге преобразования матрицы (5.11) обеспечивать условия симметрии.

.

где .

Чтобы в дальнейшем исключить динамические перегрузки на выходах звеньев фильтра, т. е. обеспечить, необходимо в матрице каждую i-ю строку и каждый i-й столбец () умножить на коэффициент, который имеет тот же смысл, что и в предыдущем подразделе. Иногда удается несколько упростить реализацию звеньев за счет оптимизации знаков матричных элементов путем умножения определенных строк и столбцов с одинаковыми номерами на. Пример структурной схемы фильтра 6-го порядка, реализующего матрицу (5.13), приведен на рис. 5.17, где — развязанные многовходовые звенья, которые с каждого j-го входа описываются функцией передачи.

(5.14).

().

Фильтры, синтезированные рассмотренным здесь методом, называются квазилестничными (КЛФ). Для перехода от квазилестничного ФНЧ-прототипа к заданному типу фильтра используется стандартное частотное преобразование (5.4), применяемое к функциям (5.14). Так, в случае ФНЧ выражение (5.14) приобретает вид.

.

Такие функции передачи имеют активные RC-звенья, схемы которых приведены на рис. 5.18:

.

где — сумма проводимостей в схеме рис. 5.18, а. Формулы для схемы рис. 5.18, б получены с учетом того, что, где — суммы проводимостей всех резисторов, подсоединенных соответственно к инвертирующему и неинвертирующему входам ОУ2. Если в (5.14), то в схемах рис. 5.18 отсутствует резистор ().

Применение к функциям (5.14) частотного преобразования для ФВЧ дает следующее выражение функций передачи звеньев:

которые могут быть реализованы схемой рис. 5.18, б, если выходной сигнал снимать не с выхода ОУ1, а с выхода ОУ2 (рис. 5.19). Функции передачи с j-х и к-х входов в этом случае будут иметь вид.

.

где. Эти выражения, как и в случае схемы рис. 5.18, б, получены при условии. Если требуется, то исключается резистор ().

При переходе к полосовому фильтру (путем частотного преобразования) функции первого порядка (5.14) преобразуются в функции второго порядка.

(5.15).

где .

Существует несколько схем звеньев второго порядка, способных без вычитания реализовать малое (или нулевое) значение затухания полюса, в частности схема, построенная на двух интеграторах (рис. 5.20), где резистор обеспечивает ненулевое значение затухания полюса (при проводимость), а операционный усилитель ОУ3 (вместе с сопровождающими его резисторами), с одной стороны, служит сумматором входных сигналов, а с другой стороны, обеспечивает необходимую инверсию сигнала в петле обратной связи. Полагая, как и раньше, для сумматора на основе ОУ3, найдем функции передачи схемы рис. 5.20, используя выражение (2.10):

; ,.

где .

Расчет параметров схемных элементов производится из соотношений, связывающих соответствующие коэффициенты полиномов этих функций и функций (5.15).

Функции передачи звеньев режекторного фильтра, полученные из (5.14), можно привести к виду.

.

где .

Из такой формы записи непосредственно следует структура звена, у которой как по пути прямой передачи сигнала, так и по пути обратной связи должна находиться цепь, состоящая из параллельно соединенных интегратора и дифференциатора. На рис. 5.21 приведена одна из возможных схем звена, где в качестве дифференциатора используется схема рис. 5.19 (в схеме рис. 5.21 — это схема на основе ОУ2 и ОУ3 с выходом с ОУ3), а в качестве интегратора, включенного параллельно дифференциатору, — схема на основе ОУ1 (передача с любого входа ОУ3 на выход ОУ2 частотонезависима). Анализ этой схемы (при условии для ОУ3) дает следующий результат:

.

где; если, то .

Параллельное соединение интегратора и дифференциатора позволяет реализовать нулевое затухание нуля передачи без применения операции вычитания, как это имело место в схеме рис. 5.7, г, что способствует глубокому подавлению сигнала на частоте нуля даже при значительных отклонениях параметров схемных элементов от расчетных.