Балансовые модели. 
Концептуальные и математические основы системной методологии принятия решений

Балансовые модели представляют моделируемый объект как совокупность неких потоков вещества и энергии, баланс которых рассчитывается на каждом шаге моделирования. Являются разновидностью динамических моделей. В настоящее время эти модели получили очень широкое распространение благодаря наглядности и сравнительно простой реализации. Однако применение их возможно лишь при решении, общеметодологических вопросов: баланс каких веществ является наиболее важным для рассмотрения; насколько целесообразно подробно прослеживать потоки данного вещества; как, выразить смену режимов трансформация веществ и т. п.

Пример 5. Баланс четырех отраслей за предыдущий период имеет матрицу межотраслевых производственных связей вида и матрицу валовой продукции вида. Необходимо определить конечный продукт Y и чистый продукт C каждой отрасли.

Конечный продукт Y получается в результате вычитания из каждого элемента матрицы валовой продукции суммы элементов соответствующих строк матрицы x_ij. Например, первое значение y_i равно.

100-(10+20+15+10)=45. Чистый продукт С получается в результате вычитания из каждого элемента матрицы валовой продукции Х суммы элементов соответствующих столбцов матрицы x_ij. Например, первое значение C₁ равно 100-(10+5+25+20)=40. В результате, получим основную балансовую таблицу:

Таблица.

Поставим теперь другую задачу: рассчитаем конечный продукт каждой отрасли на будущий период, если валовый продукт окажется равным. Для решения этой задачи найдем коэффициенты прямых затрат:

По формуле получим,.

Важнейшей задачей межотраслевого баланса состоит в отыскании такого вектора валового выпуска X, который при известной матрице прямых затрат, А (или при возможности рассчитать этот показатель) обеспечивает заданный вектор конечного продукта Y.

Из уравнения можно выразить валовый продукт: Матрица называется матрицей полных затрат. Каждый элемент S_ij матрицы S есть величина валового выпуска продукции j-й отрасли, необходимого для обеспечения выпуска единицы конечного продукта i-й отрасли. Пример 6. В некотором регионе имеются две основные отрасли народного хозяйства: машиностроение (м/с) и сельское хозяйство (с/х). Баланс этих отраслей за отчетный период определяется матрицами,. Вычислим остальные показатели и заполним основную балансовую таблицу.

Таблица.

Предположим, что на будущий период планируется конечная продукция в объемах. Нужно определить, какой валовый продукт x_новый при этом нужно планировать. Найдем коэффициенты прямых затрат: Найдем матрицу. Обратную матрицу найдем методом алгебраических дополнений. Определитель равен. Алгебраические дополнения: Транспонируем ее:. Делим каждый элемент на определитель:. Валовый продукт:

Таким образом, нужно планировать валовый выпуск машиностроения в размере 221 ед., а сельского хозяйства в размере 254 ед.