Понятие волновой функции. 
Принцип симметрии: четные и нечетные перестановки

Для начала введем понятие волновой функции квантовой системы.

Условимся обозначать буквой q совокупность координат квантовой системы, a dq — произведение дифференциалов этих координат (его называют элементом объема конфигурационного пространства системы); для одной частицы dq совпадает с элементом объема dV обычного пространства.

Основу математического аппарата квантовой механики составляет утверждение, что состояние системы может быть описано определенной (вообще говоря, комплексной) функцией координат Ш (q), причем квадрат модуля этой функции определяет распределение вероятностей значений координат: есть вероятность того, что произведенное над системой измерение обнаружит значения координат в элементе dq конфигурационного пространства. Функция Ф называется волновой функцией системы.

Знание волновой функции позволяет в принципе вычислить вероятности различных результатов также и вообще всякого измерения (не обязательно измерения координат). При этом все эти вероятности определяются выражениями, билинейными по Ш и Ш*. Наиболее общий вид такого выражения есть.

где функция зависит от рода и результата измерения, а интегрирования производятся по всему конфигурационному пространству. Сама вероятность ШШ* различных значений координат тоже является выражением такого типа.

С течением времени состояние системы, а с ним и волновая функция, вообще говоря, меняются. В этом смысле волновую функцию можно рассматривать как функцию также и от времени. Если волновая функция известна в некоторый начальный момент времени, то по самому смыслу понятия полного описания состояния она тем самым в принципе определена и во все будущие моменты времени. Фактическая зависимость волновой функции от времени определяется дифференциальными уравнениями, точный вид которых зависит от типа рассматриваемых полей.

Сумма вероятностей всех возможных значений координат системы должна, по определению, быть равной единице. Поэтому нужно, чтобы результат интегрирования по всему конфигурационному пространству был равен единице:

Это равенство представляет собой так называемое условие нормировки волновых функций. Если интеграл от сходится, то выбором соответствующего постоянного коэффициента функция Ф всегда может быть, как говорят, нормирована.

В классической механике одинаковые частицы (скажем, электроны), несмотря на тождественность их физических свойств, не теряют все же своей «индивидуальности»: можно представить себе частицы, входящие в состав данной физической системы, в некоторый момент времени «перенумерованными» и в дальнейшем следить за движением каждой из них по своей траектории; тогда в любой момент времени частицы можно будет идентифицировать.

В квантовой же механике положение совершенно меняется. Уже неоднократно указывалось, что в силу принципа неопределенности понятие о траектории электрона полностью теряет смысл. Если положение электрона точно известно в настоящий момент времени, то уже в следующий момент его координаты вообще не имеют никакого определенного значения. Поэтому, локализовав электроны и перенумеровав их в некоторый момент времени, мы этим ничего не добьемся для целей их индентификации в дальнейшие моменты времени; локализовав один из электронов в другой момент времени в некоторой точке пространства, мы не сможем указать, какой именно из электронов попал в эту точку. Таким образом, в квантовой механике принципиально не существует никакой возможности следить в отдельности за каждой из одинаковых частиц и тем самым различать их. Можно сказать, что в квантовой механике одинаковые частицы полностью теряют свою «индивидуальность» .

Одинаковость частиц по их физическим свойствам имеет здесь весьма глубокий характер — она приводит к их полной неразличимости.

Этот, как говорят, принцип неразличимости одинаковых частиц играет основную роль в квантовой теории систем, состоящих из одинаковых частиц. Начнем с рассмотрения системы, состоящей всего из двух частиц. В силу их тождественности состояния системы, получающиеся друг из друга просто перестановкой обеих частиц, должны быть физически полностью эквивалентными. Это значит, что в результате такой перестановки волновая функция системы может измениться только на несущественный фазовый множитель. Пусть ш (о1,о2) — волновая функция системы, причем о1, о2 условно обозначают совокупности трех координат и проекции спина каждой из частиц. Тогда должно быть:

где б — некоторая вещественная постоянная. В результате повторной перестановки мы вернемся к исходному состоянию, между тем как функция ш окажется умноженной на. Отсюда следует, что или. Итак,.

.

Мы приходим к результату, что имеется всего две возможности —волновая функция либо симметрична (т.е. совершенно не меняется в результате перестановки частиц), либо антисимметрична (т.е. при перестановке меняет знак). Очевидно, что волновые функции всех состояний одной и той же системы должны иметь одинаковую симметрию; в противном случае волновая функция состояния, представляющего собой суперпозицию состояний различной симметрии, была бы ни симметрична, ни антисимметрична.

Этот результат непосредственно обобщается на системы, состоящие из произвольного числа одинаковых частиц. Действительно, в силу одинаковости частиц ясно, что если какая-либо их пара обладает свойством описываться, скажем, симметричными волновыми функциями, то и всякая другая пара таких же частиц будет обладать тем же свойством. Поэтому волновая функция одинаковых частиц должна либо совершенно не меняться при перестановке любой пары частиц (а потому и при всякой вообще взаимной перестановке частиц), либо менять знак при перестановке каждой пары. В первом случае говорят о симметричной, а во втором случае — об антисимметричной волновой функции. Свойство описываться либо симметричными, либо антисимметричными волновыми функциями зависит от рода частиц. О частицах, описывающихся антисимметричными функциями, говорят, как о подчиняющихся статистике Ферми-Дирака или о фермионах, а о частицах, описывающихся симметричными функциями, — как подчиняющихся статистике Бозе-Эйнштейна или о бозонах.

Из законов релятивистской квантовой механики оказывается возможным показать, что статистика, которой подчиняются частицы, однозначно связана с их спином: частицы с полу целым спином являются фермионами, а с целым спином — бозонами.

Статистика сложных частиц определяется четностью числа входящих в их состав элементарных фермионов. Действительно, перестановка двух одинаковых сложных частиц эквивалентна одновременной перестановке нескольких пар одинаковых элементарных частиц. Перестановка бозонов не изменяет волновой функции вообще, а перестановка фермионов меняет ее знак. Поэтому сложные частицы, содержащие нечетное число элементарных фермионов, подчиняются статистике Ферми, а содержащие четное число их, — статистике Бозе. Этот результат находится, конечно, в согласии с указанным выше общим правилом: сложная частица имеет целый или полуцелый спин в зависимости от того, четно или нечетно число входящих в ее состав частиц с полу целым спином.

Так, атомные ядра с нечетным атомным весом (т. е. состоящие из нечетного числа протонов и нейтронов) подчиняются статистике Ферми, а с четным весом — статистике Бозе. Для атомов же, содержащих наряду с ядрами также и электроны, статистика определяется, очевидно, четностью или нечетностью суммы атомного веса и атомного номера.

Рассмотрим систему, состоящую из N одинаковых частиц, взаимодействием которых друг с другом можно пренебречь.

Пусть ш1, ш2, … — волновые функции различных стационарных состояний, в которых может находиться каждая из частиц в отдельности. Состояние системы в целом можно определять перечислением номеров состояний, в которых находятся отдельные частицы. Возникает вопрос о том, каким образом должна быть составлена из функций ш1, ш2, … волновая функция Ш всей системы в целом.

Пусть p1, p2, …, pN — номера состояний, в которых находятся отдельные частицы (среди этих номеров могут быть и одинаковые). Для системы бозонов волновая функция выражается суммой произведений вида.

со всеми возможными перестановками различных индексов p1, p2, …; такая сумма обладает, очевидно, требуемым свойством симметрии. Так, для системы из двух частиц, находящихся в различных состояниях:

Множитель введен для нормировки (все функции ш1, ш2, … взаимно ортогональны и предполагаются нормированными). В общем же случае системы произвольного числа частиц N нормированная волновая функция.

где сумма берется по всем перестановкам различных из индексов p1, p2, …, pN, а числа Ni указывают, сколько из всех этих индексов имеют одинаковые значения i (при этом).

При интегрировании квадрата по) обращаются в нуль все члены, за исключением только квадратов модулей каждого из членов суммы; поскольку общее число членов в данной сумме равно, очевидно,, то отсюда и получается нормировочный коэффициент.

Для системы фермионов волновая функция Ш есть антисимметричная комбинация произведений F1.1). Так, для системы из двух частиц имеем.

В общем же случае N частиц волновая функция системы записывается в виде определителя.

Перестановке двух частиц соответствует здесь перестановка двух столбцов определителя, в результате чего последний меняет знак.

Из выражения следует важный результат: если среди номеров p1, p2, …, pN есть два одинаковых, то две строки определителя окажутся одинаковыми и весь определитель обратится тождественно в нуль. Он будет отличным от нуля только в тех случаях, когда все номера p1, p2, …, pN различны. Таким образом, в системе одинаковых фермионов не могут одновременно находиться в одном и том же состоянии две (или более) частицы. Это — так называемый принцип Паули.