Достижение функцией своих точных граней

В том случае, когда точные грани функции являются ее значениями, говорят, что функция достигает своих точных граней.

Теорема 8.14 (втораятеорема Вейсрштрасса). Если функция/(х) непрерывна на отрезке |л, ?), то она достигает на этом отрезке своих точных граней, т. е. найдутся такие точки х,. х-> е 1л. />, что

Доказательство. Поскольку функция /(х) непрерывна на отрезке |л, b 1, в силу теоремы 8.13 она ограничена на этом отрезке. Но тогда согласно теореме 6.1 существуют точная верхняя и точная нижняя грани функции/(х) на отрезке |л, Ь (значения функции на отрезке образуют непустое числовое ограниченное множество).

Допустим, что функция /(х) нс принимает ни в одной точке (л, Ь значения, равного Л/. Тогда для всех х € [я, b] должно быть выполнено неравенство /(х) < Л/. Рассмотрим вспомогательную функцию.

Эта функция положительная и непрерывна на (л, 6], как частное двух непрерывных функций в силу теоремы 8.9. Тогда по теореме 8.13 функция F (x) ограничена, т. е. существует положительное число р, такое, что для всех х на отрезке [л, Ь

Последнее неравенство противоречит тому, что число М является точной верхней гранью функции/(х) на отрезке (л, Ь) (так как М — 1/р < М). Это противоречие доказывает, что существует точка х, е (л, Ь]. в которой /(х) = Л/. Достижение функцией/(х) на (л, b] своей точной нижней грани доказывается аналогично. Теорема доказана. ?

Заметим, что для непрерывной на отрезке функции ее точную верхнюю грань называют максимальным значением, а точную нижнюю грань — минимальным значением функции на этом отрезке.

Разность между максимальным и минимальным значениями непрерывной на отрезке [л, b] функции fix) называется колебанием се на этом отрезке: