Системы линейных дифференциальных уравнений

Общие сведения о линейных системах

Линейные системы — это системы дифференциальных уравнений вида:

(1).

где коэффициенты aij и fi — некоторые функции независимой переменной x. Будем считать их непрерывными; тогда для данной системы заведомо выполняются условия теоремы о существование и единственности решения задачи Коши. Если все fi=0, то система называется однородной, в противном случае она называется неоднородной. Система:

(2).

Называется однородной системой, соответствующей неоднородной системе (1).

При изучении линейных систем удобно использовать матричные обозначения:

Позволяющие записать систему (1) в виде одного матричного уравнения:

(3).

Так же, как и в случае линейных уравнений, общее решение неоднородной системы представляет собой сумму частного решения этой системы и общего решения соответствующей ей однородной системы. В свою очередь, общее решение однородной системы имеет вид:

(4).

где С1,…, Сnпроизвольные постоянные, а:

.

Произвольные линейно независимые решения, называемые фундаментальным набором решений этой системы. Критерием линейной независимости этих решений является неравенство нулю определителя Вронского:

(5).