Логические операции над высказываниями: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация и другие

На роль союзов в русском языке, с помощью которых из простых предложений формируются сложные, в логике высказываний приходят логические связки (логические операции). Рассмотрим основные из них:

1) Отрицание Простейшей операцией логики высказываний является операция отрицания, соответствующая в русском языке частице «не» .

Эту операцию обозначают символом «» (или «»).

Определение: Если, А — некоторое высказывание, то (читается «не А» или «неверно, что А») — новое, сложное высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда, А ложно.

Пример: А — «идет дождь», — «не идет дождь».

Действие этой операции можно представить в виде символической таблицы, которую будем называть таблицей истинности данной логической операции.

Таблица 1

Именно эту таблицу (ее надо читать по строкам: «если А=1, то =0», т. е. одновременно, А истинно и ложно) мы и приняли в качестве определения операции отрицания. Подобными таблицами истинности мы будем пользоваться и при определении других логических операций.

2) Конъюнкция Следующая логическая операция — конъюнкция (логическое умножение), соответствующая союзу «и» русского языка.

Обозначается конъюнкция символом «» («» или «&»), который ставится между высказываниями.

Определение: Если, А и В — высказывания, то АВ — сложное высказывание (читается «А и В»), которое истинно в том и только том случае, когда истинны оба высказывания, А и В. Высказывания, А и В при этом называются конъюнктивными членами или членами данной конъюнкции.

Пример. А — ''лиса — хищное животное", В — «медведь меньше лисы», С — «Лондон — столица Англии»; АВ — «лиса — хищное животное, и медведь меньше лисы» — ложное высказывание; АС — «лиса — хищное животное, и Лондон — столица Англии» — истинное высказывание.

Таблица истинности для операции конъюнкции выглядит следующим образом:

Таблица 2

В этой таблице каждая строка показывает, истинна или ложна конъюнкция при данном наборе истинных или ложных конъюнктивных членов.

3) Дизъюнкция Здесь аналогом в русском языке для следующей логической операции является союз «или». В русском языке этот союз имеет несколько довольно далеких друг от друга значений, рассмотрим их:

Примеры: «Здесь близко река или ручей» — союз «или» в соединительном (неисключающем) смысле; «Или он останется, или я» — «или» в разделительном (исключающем) смысле; «Самолет, или аэроплан, есть летательный аппарат тяжелее воздуха» — «или» в пояснительном смысле и т. д.

В математике, как правило, используется неисключающее «или», что приводит к логической операции дизъюнкции (логическое сложение), обозначаемой символом «» .

Определение: Если, А и В — высказывания, то АВ — сложное высказывание (читается «А или В»), которое ложно тогда и только тогда, когда ложны оба высказывания, А и В. Высказывания, А и В называют при этом дизъюнктивными членами.

Пример: А — «31», АВ — «31» — истинное высказывание.

Таблица истинности для операции дизъюнкции выглядит следующим образом:

Таблица 3

4) Импликация Из всех логических операций наиболее сложной для восприятия является, пожалуй, импликация. Ее ближайший аналог в русском языке — оборот «если…, то…». Обозначать эту операцию будем так: «АВ» .

Одна из проблем, связанных с восприятием импликации — использование этого оборота в нескольких разных значениях.

Пример: а) «Если меня не обманывает зрение, то это Иван Иванович»; «Если треугольник — прямоугольный, то для него справедлива теорема Пифагора» — условное значение оборота «если…, то…» ;

• б) «Если на севере промышляли больше охотой, то на юге основу хозяйства составляло земледелие» — противопоставительное значение;
• в) «Если сэр Вальтер Скотт не написал ни одного романа, то не было гражданской войны в США» — контрфактическое условное значение и т. д.

Мы будем ориентироваться только на первое значение этого оборота — условное.

Но и в этом случае полной аналогии нет, поскольку в русском языке оборот «если…, то…» подразумевает наличие причинной связи.

В математической же логике речь может идти только об истинности или ложности всего сложного высказывания в целом. Поэтому единственным «логичным» требованием к высказыванию «если А, то В» является недопустимость ситуации, когда, А истинно, а В ложно.

В результате истинными могут оказаться сложные высказывания «Если в доме пять этажей, то в квартире номер три проживает Иванов» или «Если 1+12, то Рим есть столица Франции», а то и еще более «удивительные» высказывания.

Перейдем к точному определению и его обсуждению.

Определение: Если, А и В — высказывания, то АВ (читается «если А, то В», «из, А следует В», «А влечет В», «А имплицирует В») — сложное высказывание, которое ложно тогда и только тогда, когда, А истинно, а В ложно.

Пример: Пусть Р означает «22=4″, Q — „снег бел“, -» 22=5″ , — «снег черен». Тогда высказывания PQ, и истинны, a — ложно.

Таблица 4

Отметим ряд моментов:

• — Иногда вместо «» используют знак «» .
• — Два главных момента в свойствах импликации: истина не может имплицировать ложь, но из лжи следует что угодно. Такое уточнение истинностного смысла связки «если А, то В» не противоречит обычной практике, скорее даже ее расширяет.

Данные 4 логических операции являются основными, однако существует еще несколько.

1) Эквивалентность Еще одна логическая операция — эквивалентность (или эквиваленция) — соответствует оборотам русского языка типа «тогда и только тогда, когда…», «для того, чтобы…, необходимо и достаточно…» и др. и обозначается знаками «», «~» .

К эквивалентности в той же мере, что и к импликации, относится замечание о том, что ее использование в логике высказываний не учитывает смысловое содержание высказываний. И здесь наши интуитивные представления об эквивалентности относятся лишь к случаю, когда высказывание АВ является абсолютно истинным (т.е. истинным во всех возможных ситуациях). В логике же эквивалентность принимается истинной, когда, А и В получают одинаковые истинностные значения. Определение: Если, А и В — высказывания, то АВ (читается: «А эквивалентно В») это истинно тогда и только тогда, когда одновременно, А и В истинны либо оба ложны. Приведем таблицу истинности:

Таблица 5

Пример: Пусть, А — «Хлеба уцелеют», В — «вырыты оросительные канавы» Тогда высказывание или «Хлеба уцелеют тогда и только тогда, когда будут вырыты оросительные канавы» .

2) Штрих Шеффера Следующая логическая операция называется штрих Шеффера и обозначается символом". «Аналогом в русском языке служит оборот «не …или не …».

Определение: Если, А и В — высказывания, то А|B (читается: «А штрих Шеффера В») — сложное высказывание, которое ложно тогда и только тогда, когда, А и В истинны одновременно.

Таблица 6

Пример: Пусть, А — «Противоположные стороны трапеции не конгруэнтны», В — «Противоположные стороны трапеции не параллельны» Тогда высказывание A|B или «Противоположные стороны трапеции не конгруэнтны или не параллельны» — истинное.

3) Стрелка Пирса В качестве последнего примера логической операции рассмотрим связку, называемую стрелка Пирса, аналогом в русском языке служит оборот «не …и не …». Обозначается эта операция символом «v» .

Определение: Если, А и В — высказывания, то АvВ (читается: «А стрелка Пирса В») — сложное высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда, А и В ложны одновременно.

Таблица 7

Пример: Пусть, А — «Петр не едет на Урал», В — «Николай не едет в Сибирь» Тогда высказывание или «Петр не едет на Урал и Николай не едет в Сибирь «- истинное.