Алгоритм поиска первообразных

Из Определения Б.2 получается следующий алгоритм поиска множества первообразных функции/.

• 1. Формирование гипотезы о первообразной F функции/
• 2. Проверка гипотезы: /а el F'(a) = f (a) .
• 3. ^xjf (t)dt = F (x) + C, xeX.

В общем случае является целесообразным включение некоторых параметров в гипотезу о первообразной F функции/.

Пример Б.2. Пусть f (x) = cos2, y, тогда:

• 1. Гипотеза: F (x, b) = 6sin2.t.
• 2. Из тождества (F (x, b))'=J (x), т. е. из 62cos2xicos2x, найдем, что b = ½.
• 3. 'Jcos2t-dt = ½ sin2л: -н С.

Пример Б.З. /(х) =хе^ъ. Поскольку при дифференцировании функции е^2д? Р_п (х) степень п многочлена Р_п (х) не меняется, тогда:

• 1. Выдвигаем следующую гипотезу: F (x, а, Ь) = е^2х? (ах + Ь).
• 2. F'(x) = е^2х(2ax + 2b+a). (/qeR F'(q) = f (q))^>
• (e^lq (2aq + 2b + a)=qe^2q) => ((2a = 1)&(26 + a = 0)), t. e. a = 0,5 и b = -0,25. Итак, F (x) = (0,5.r-0,25) e^2x.
• 3. Окончательно имеем следующий результат:

Основные свойства неопределенного интеграла

• 1.1. Cf (t)dt)'=f (x).
• 1.2. ^xjdF = F (x) +С.
• 2. Линейность операции интегрирования:
• 2.1. ^VJ kf (t)dt = к 'J /(t)dt, к e R .
• 2.2. ^xl (m+g (t))dt = ^xf (t)dt + ']g (t)dt.
• 3. Замена переменных в неопределенном интеграле:
• 3.1. Прямая замена переменной интегрирования:

3.2. Обратная замена переменной интегрирования:

Здесь ф и И — биекции: / с J .

4. Интегрирование по частям в неопределенном интеграле:

Свойства 1.1 и 1.2 являются непосредственным следствием определяющего неопределенный интеграл условия (В.З). Доказательства свойств 2.1−4.0 получаются из утверждения (В.1) и из определения — условия (В.З) дифференцированием соответствующих равенств.

О таблицах неопределенных интегралов и о методах интегрирования функций

Для облегчения процедуры получения первообразных функции / на основе алгоритма поиска первообразных и свойств неопределенного интеграла составляются таблицы неопределенных интегралов. В основную таблицу интегралов обычно включают от 15 до 30 формул. Интегралы от других рассматриваемых функций сводят к табличным интегралам с помощью методов интегрирования функций, основными среди которых являются следующие:

• 1. Метод использования линейности операции интегрирования.
• 2. Метод замены переменной интегрирования (Свойства 3.1 и 3.2 неопределенного интеграла).
• 3. Метод интегрирования по частям (4-е Свойство неопределенного интеграла).
• 4. Метод неопределенных коэффициентов (см. Пример В. З).
• 5. Метод использования для J"(x) =*jf_n(t)dt рекуррентной формулы J_п{х) = J_n__k{x) + Q (x, п), где 1 < к < п, {к, п} a N, а функция Q (x, п) определяется перечисленными выше методами.
• 6. Метод мотивированной гипотезы о первообразной.

Отметим, что первообразные от некоторых элементарных функций не сводятся к табличным (не являются элементарными функциями).

Геометрическая иллюстрация неопределенного интеграла

В декартовой системе координат XOY уравнение у = F (x) представляет заданную па / линию L (F), состоящую при а е I из точек вида M (a, F (a)), F е

Угловой коэффициент к касательной к линии L (F) в точке M (a, F (a)) равен f (a), F'=f. Для любой другой функции G eO (F, G) имеем Ga) = Fa) и уравнение^ G (x) представляет линию L (G).

Поскольку У a el G{a) — F (a) = C{G, F) * 0, то точки M (a, F (a)) и M (a, G (a)) не совпадают, т. е. L (F) П L (G) = 0. Значит, линии у = Н (х), xeR, Н e0(F, G), так заполняют полосу IxR, что через каждую точку М (а, Ь) полосы проходит единственная линия Ь (Н).

Таким образом, можно говорить, что геометрически неопределенный интеграл 'J / (t)dt от функции /:/—>/? представляет множество L{

параллельных линий L (H), т. с. линий с параллельными касательными в слое {a}xR, заполняющих в общем случае полосу IxR, и при G^F L (F)f]L (G) = 0. Заметим, что равенство y'=f (x), xel, называется дифференциальным уравнением данного семейства Ь (Н) кривых, г. к. при интегрировании этого уравнения с учетом импликации (В.1) получится равенство у = F (x) + С.