Игровые модели как клеточные автоматы

Игра развивалась настолько, что могла особыми знаками и аббревиатурами выражать математические процессы; …игроки потчевали друг друга, обоюдно развивая их, этими отвлеченными формулами, они проигрывали, демонстрировали друг другу эволюции и возможности своей науки.

Г. Гессе. Игра в бисер В книге М. В. Волькенштейна^[1] приведены некоторые так называемые игровые модели, иллюстрирующие возникновения упорядоченности из беспорядка. В качестве первой модели рассматривается модель Эренфестов. По замыслу авторов, такие игры должны служить моделями эволюции.

На шахматной доске 8×8 каждой клетке поставлено в соответствие одно из двух состояний — 0 или 1 (обозначаемое белой или черной шашкой соответственно). Затем случайным образом выбирается номер горизонтали и номер вертикали (у Волькенштейна — двумя бросками октаэдрических костей), на пересечении которых шашка заменяется на шашку противоположного цвета, т. е. состояние клетки меняется на противоположное.

Очевидно, что первая игра Эренфестов соответствует простейшему вероятностному клеточному автомату: вероятности перехода из состояния «О» в состояние «1» (и наоборот) не зависят от состояний ближайших соседей точки.

Результат игры не зависит от начального распределения: после достаточного числа бросаний кости (переходов) на доске будет примерно поровну клеток в состоянии «О» и «1». Эта игра моделирует установление равновесия.

По характеру поведения системы она близка к автомату класса 3.

Вторая игра Эренфестов заключается в изменении правил игры: шашка, определяемая случайным образом, не меняет свое состояние, но это состояние удваивается за счет любой шашки другого цвета (другого состояния), т. е. любая произвольно выбранная шашка другого цвета «перекрашивается». Очевидно, что в этом случае меняются правила перехода для автомата: вероятность перехода для клетки с номером (/, j) будет зависеть от состояния клетки с номером (k_} /). Вообще говоря, можно ввести шаблон, ограничивающий взаимное влияние клеток.

В этом случае равномерное распределение неустойчиво: после примерно 64 бросаний на доске остаются только шашки одного цвета (клетки с одинаковым состоянием).

В игре упорядоченность возникает вследствие случайного избытка одного из состояний в начальных условиях. Клеточный автомат можно трактовать как автомат класса 1.

Третья игра моделирует поведение, среднее между устойчивым и неустойчивым. Правило перехода для (i, j)-й клетки в этом случае самое простое (i, j выбраны случайным образом): вероятность перехода составляет 1 /2.

Система беспорядочно колеблется между крайними состояниями, «забывая» о начальных условиях. Данную игру можно трактовать как вероятностный автомат класса 3.

В этих играх нет условий для отбора, в частности отсутствует механизм мутаций. Такой механизм был введен Эйгеном в так называемой игре в бисер.

Пусть, как и в играх Эренфестов, процесс разворачивается на поле 8×8 и каждая (/, у)-я клетка может принимать четыре различных состояния («синее», «желтое», «красное», «зеленое»). Предложены следующие варианты игры.

• 1. Считаем «рождение» и «смерть» независимыми процессами. На протяжении одного перехода из состояния A (i, j, п) в состояние A (i, j, п + 1) вначале моделируется «смерть» первой игрой Эренфестов (бросанием костей определяем k, I — координаты клетки, которая «умирает»). Затем моделируется «рождение» с помощью второй игры: состояние выбранной клетки удваивается и приписывается освободившейся клетке. Таким образом, количество «живых» клеток неизменно.
• 2. Вводятся селективные преимущества различных видов при размножении. Для этого вводят вероятность «размножения» различных состояний: 1 — для «синих», 5/6 — для «красных», 2/3 — для «желтых» и ½ — для «зеленых» (т.е. моделируют бросанием кости). При этом, если в фазе «рождения» «рождение» не происходит, кости бросаются до реализации возможности удвоения состояний.

Очевидно, в этой игре «синее» состояние имеет преимущество, и через какое-то число ходов «выживут» только «синие». Этот вариант игры моделирует дарвинскую эволюцию, но не учитывает мутаций.

3. Имеется два состояния клеток — «синее» и «желтое». Как и в варианте 2, у «синих» есть заметное преимущество при «размножении»: вероятность «размножения» — 1, в то время как у «желтых» — 2/3. Пусть «желтые» «размножаются» безошибочно, в то время как «синим» приписывается определенная вероятность ошибки: при «рождении» «синий» заменяется на «желтый».

В зависимости от величины вероятности ошибочной репродукции возможны различные варианты эволюции системы: выживание состояний одного цвета или сосуществование двух состояний одновременно. Существуют, однако, пороговые значения вероятности ошибки, при превышении порога меняется режим «выживания».

Для описанного выше класса моделей слово «игровые» характеризует наличие некоторого вероятностного перехода, определяемого некоторым «бросанием кости» (или, при исследовании с помощью прямого моделирования на ЭВМ, — генератором случайных чисел), при этом состояния клеток («виды») не имеют собственной стратегии.

Данный класс моделей ближе к играм, где характер выигрыша определяется случайными факторами (таким играм, как покер или абака). (Под выигрышем мы понимаем возникновение и накопление информации, появление упорядоченности в начальном неупорядоченном состоянии.) В ряде других игр характер выигрыша определяется стратегией игры и не зависит от случайных факторов (шашки, шахматы) или определяется сочетанием вероятностных факторов и удачной стратегии (преферанс).

В этом контексте представляется неслучайным выбор названия «игра в бисер» для игровых моделей М. Эйгена: не только первоначальное моделирование состояния цветным стеклянным шариком^[2], но и введение разнообразных правил перехода и пороговых параметров роднят ее с игрой из одноименного романа Г. Гессе.

В классической теории игр игрой называется алгоритм принятия решений в условиях конфликта и неопределенности.

Конечно, возможны модели теории игр и в биофизике, и экологии. Так, в работе Дж. Николиса^[3] модели Лотки — Вольтерры излагаются в терминах теории игр. Там же приведены модели игр между животными, избирающими видовые моды поведения (роль). Интересно, что в терминах теории игр можно получить системы обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающие сложные трофические цепи.

В дальнейшем мы не будем касаться этой интересной темы, а желающих изучить приложения теории игр к биологическому моделированию в качестве первоначального чтения отсылаем к указанной книге Дж. Николиса.

• [1] Волъкенштейн М. В. Биофизика. М.: Наука, 1981.
• [2] Волъкенштейн М. В. Указ. соч.
• [3] Николис Дж. Динамика иерархических систем. Эволюционные представления. М. :Мир, 1989.