Различные подходы к формированию понятия «число» в начальном курсе математики

Департамент образования города Москвы Государственное образовательное учреждение Педагогический колледж № 14

ПЦК физико-математических дисциплин и методики преподавания КУРСОВАЯ РАБОТА

«Различные подходы к формированию понятия «число» в начальном курсе математики«

Выполнила:

Вайткуте Екатерина Витальевна, Студентка 301 группы Научный руководитель:

Е.С. Борисова, преподаватель теоретических основ начального курса математики Москва 2010

Оглавление

1. Теоретические аспекты изучения понятия «число» в начальном курсе математики

1.1 История вопроса

1.2 Количественные натуральные числа

1.3 Теоретико-множественный смысл натурального числа, нуля

1.4 Смысл натурального числа, полученного в результате измерения величины

2. Анализ изучения понятия «число» в различных программах по математике в начальных классах

2.1 Теоретико-множественный подход к изучению понятия числа

2.2 Число как мера величины Заключение Список литературы

Актуальность данного исследования объясняется значимостью понимания детьми понятия и термина «число», а также умения отличить число от цифры, поскольку зачастую ученики начальной школы путают эти понятия, и эта проблема переходит в среднюю школу, что безусловно является ошибкой преподавания учителя. Число — это то понятие, с которого, как правило, начинается обучение в школе. Уже в начальных классах дети изучают различные функции натурального числа, которых немало, и многие из них должны быть поняты и усвоены уже младшими школьниками. Поэтому важной задачей учителя является овладение теми теориями, в которых обосновываются различные подходы к определению натурального числа и действий над ними. Стойлова Л. П. Математика: Учебник для студентов отделений и факультетов начальных классов средний и высших педагогических учебных заведений. — М.: Академия, 1997. — С. 249.

Цель исследования: изучить различные подходы к формированию понятия числа у младших школьников.

Задачи исследования:

· выявить различные подходы к формированию понятия числа у младших школьников на уроках математики;

· разработать систему приемов формирования понятия числа у учеников начальных классов, используя различные подходы и методы;

· раскрыть содержание понятия числа, цифры;

· проанализировать состояние проблемы;

· изучить психолого-педагогическую и методическую литературу по поставленной проблеме.

Предмет исследования: особенности методической деятельности учителя начальных классов в процессе формирования понятия «число» у младших школьников.

Объект исследования: процесс формирования понятия «число» у младших школьников.

1. Теоретические аспекты изучения понятия «число» в начальном курсе математики

1.1 История вопроса

Число является одним из основных понятий математики. Понятие числа развивалось в тесной связи с изучением величин; эта связь сохраняется и теперь. Во всех разделах современной математики приходится рассматривать разные величины и пользоваться числами.

Существует большое количество определений понятию «число».

Первое научное определение числа дал Эвклид в своих «Началах», которое он, очевидно, унаследовал от своего соотечественника Эвдокса Книдского (около 408 — около 355 гг. до н. э.): «Единица есть то, в соответствии с чем каждая из существующих вещей называется одной. Число есть множество, сложенное из единиц». Так определял понятие числа и русский математик Магницкий в своей «Арифметике» (1703 г.).

Еще раньше Эвклида Аристотель дал такое определение: «Число есть множество, которое измеряется с помощью единиц».

Со слов греческого философа Ямвлиха, еще Фалес Милетский — родоначальник греческой стихийно-материалистической философии — учил, что «число есть система единиц». Это определение было известно и Пифагору.

Считается, что термин «натуральное число» впервые применил римский государственный деятель, философ, автор трудов по математике и теории музыки Боэций (480 — 524 гг.), но еще греческий математик Никомах из Геразы говорил о натуральном, то есть природном ряде чисел.

Понятием «натуральное число» в современном его понимании последовательно пользовался выдающийся французский математик, философ-просветитель Даламбер (1717−1783 гг.).

Первоначальные представления о числе появились в эпоху каменного века, при переходе от простого собирания пищи к ее активному производству, примерно 100 веков до н. э. Числовые термины тяжело зарождались и медленно входили в употребление. Древнему человеку было далеко до абстрактного мышления, хватило того, что он придумал числа: «один» и «два». Остальные количества для него оставались неопределенными и объединялись в понятии «много».

Росло производство пищи, добавлялись объекты, которые требовалось учитывать в повседневной жизни, в связи с чем придумывались новые числа: «три», «четыре»… Долгое время пределом познания было число «семь».

О непонятном говорили, что эта книжка «за семью печатями», знахарки в сказках давали больному «семь узелков с лекарственными травами, которые надо было настоять на семи водах в течение семи дней и принимать каждодневно по семь ложек».

Познаваемый мир усложнялся, требовались новые числа. Так дошли до нового предела. Им стало число 40. Запредельные количества моделировались громадным по тем временам числом «сорок сороков», равным 1600.

Позднее, когда число «сорок» уже перестало быть граничным, оно стало играть большую роль в русской метрологии как основа системы мер: пуд имел 40 фунтов, бочка-сороковка — сорок ведер и т. д.

Большой интерес вызывает история числа «шестьдесят», которое часто фигурирует в вавилонских, персидских и греческих легендах как синоним большого числа. Вавилоняне считали его Божьим числом: шестьдесят локтей в высоту имел золотой идол из храма вавилонского царя Навуходоносора. Позже с тем же самым значением (неисчислимое множество) возникли числа, кратные 60: 300, 360. Со временем число 60 в Вавилоне легло в основу шестидесятеричной системы исчисления, следы которой сохранились до наших дней при измерении времени и углов.

Следующим пределом у славянского народа было число «тьма», (у древних греков — мириада), равное 10 000, а за пределом — «тьма тьмущая», равное 100 миллионам. У славян применяли также и иную систему исчисления (так называемое «большое число» или «большой счет»). В этой системе «тьма» равнялась 10⁶, «легион» — 10¹², «леодр» — 10²⁴, «ворон» — 10⁴⁸, «колода» — 10⁹⁶, после чего добавляли, что большего числа не существует.

В Античном мире дальше всех продвинулись Архимед (III в. до н.э.) в «исчислении песчинок» — до числа 10, возведенного в степень 8×10¹⁶, и Зенон Элейский (IV в. до н. э.) в своих парадоксах — до бесконечности ?. Гейзер Г. И. История математики в школе: Пособие для учителей. — М.: Просвещение, 1981. — 239 с.

1.2 Количественные натуральные числа

Натуральные числа имеют две основные функции:

— характеристика количества предметов;

— характеристика порядка предметов, размещенных в ряд.

В соответствии с этими функциями возникли понятия порядкового числа (первый, второй и т. д.) и количественного числа (один, два и т. д.).

Долго и трудно человечество добиралось до 1-го уровня обобщения чисел. Сто веков понадобилось, чтобы выстроить ряд самых коротких натуральных чисел от единицы до бесконечности: 1, 2, … ?. Натуральных потому, что ими обозначались (моделировались) реальные неделимые объекты: люди, животные, вещи…

Аксиоматическая теория описывает натуральное число как элемент бесконечного ряда, в котором числа располагаются в определенном порядке, существует первое число и т. д. Иными словами, в аксиоматике раскрывается порядковый смысл натурального числа. Но натуральные числа имеют и количественный смысл. Чтобы выяснить, как связаны между собой эти два смысла натурального числа, рассмотрим такие понятия, как отрезок натурального ряда, конечное множество, счет и другие.

Отрезком N_a натурального ряда называется множество натуральных чисел, не превосходящих натурального числа а.

Отрезок натурального ряда имеет два важных свойства:

1) любой отрезок N_a содержит единицу. Это свойство вытекает из определения отрезка N_a.

2) если число х содержится в отрезке N_a и х ? а, то и непосредственно следующее за ним число х+1 также содержится в N_a.

Множество А называется конечным, если оно равномощно некоторому отрезку N_a натурального ряда.

Теорема: всякое непустое конечное множество равномощно одному и только одному отрезку натурального ряда.

Если непустое конечное множество А равномощно отрезку N_a, то натуральное число, а называют числом элементов множества А и пишут n(A)=a.

Установление взаимно однозначного соответствия между элементами непустого множества А и отрезком натурального ряда называется счетом элементов множества А.

Таким образом, всякое натуральное число а можно рассматривать как характеристику численности некоторого конечного множества А. Натуральное число а имеет при этом количественный смысл. Стойлова Л. П. Математика: Учебник для студентов отделений и факультетов начальных классов средний и высших педагогических учебных заведений. — М.: Академия, 1997. — С. 282−283.

1.3 Теоретико-множественный смысл натурального числа, нуля

Так как любому непустому конечному множеству соответствует только одно натуральное число, то вся совокупность конечных множеств разбивается на классы равномощных множеств. В одном классе будут содержаться все одноэлементные множества, в другом двухэлементные и т. д. Множества одного класса различны по своей природе, но все они содержат одинаковое число элементов. И это число можно рассматривать как общее свойство класса конечных равномощных множеств.

Таким образом, с теоретико-множественной точки зрения, натуральное число — это общее свойство класса конечных равномощных множеств.

Число «нуль» с теоретико-множественных позиций рассматривается как число элементов пустого множества: 0=n(Ш).

Итак, натуральное число а как характеристику количества можно рассматривать с двух позиций:

1) как число элементов в множестве А, получаемое при счете, т. е. а=n(А), причем А~ N_a.

2) Как общее свойство класса конечных равномощных множеств.

Теорема: Любое непустое подмножество конечного множества конечно. Там же. — С. 284−286.

1.4 Смысл натурального числа, полученного в результате измерения величины

Выясняя смысл натурального числа как меры величины, все рассуждения будем вести на примере одной величины — длины отрезка.

Уточним сначала понятие «отрезок состоит из отрезков».

Определение. Считают, что отрезок x состоит из отрезков x₁, x₂, …, x_n, если он является их объединением и никакие два из них не имеют общих внутренних точек, хотя и могут иметь общие концы.

Пусть задан отрезок х, его длину обозначим Х. выберем из множества отрезков некоторый отрезок е, назовем его единичным отрезком, а длину обозначим буквой Е.

Определение: Если отрезок х состоит из отрезков, каждый из которых равен единичному отрезку е, то число, а называют численным значением длины Х данного отрезка при единице длины Е.

Из данного определения получаем, что натуральное число как результат измерения длины отрезка (или как мера длины отрезка) показывает, из скольких единичных отрезков состоит отрезок, длина которого измеряется. При выбранной единице длины Е это число единственное.

В связи с таким подходом к натуральному числу отметим два замечания:

1) при переходе к другой единице длины численное значение длины заданного отрезка изменяется, хотя сам отрезок остается неизменным.

2) если отрезок х состоит из, а отрезков, равных е, а отрезок у — из b отрезков, тогда, а = b тогда и только тогда, когда отрезки х и у равны. Стойлова Л. П. Математика: Учебник для студентов отделений и факультетов начальных классов средний и высших педагогических учебных заведений. — М.: Академия, 1997. — С. 309−311.

2. Анализ изучения понятия «число» в различных программах по математике в начальных классах

2.1 Теоретико-множественный подход к изучению понятия числа

число натуральный математика начальный Программа (традиционная) предусматривает постепенное расширение области рассматриваемых чисел. Концентризм в построении программы неразрывно связан с особенностями десятичной системы счисления и нумерации чисел.

В качестве первого такого концентра выделен «Десяток», о котором в дальнейшем пойдет речь. При изучении этой темы дети знакомятся с первыми десятью числами натурального ряда и действиями сложения и вычитания в этих пределах.

На примере первых десяти чисел натурального ряда дети знакомятся с принципами его построения. Они осознают и усваивают, что для получения числа, следующего за данным, достаточно прибавить единицу к данному числу и что поэтому числа в натуральном ряду возрастают. Эти знания они применяют для сравнения чисел. Они узнают далее, что каждое число (кроме единицы) может быть представлено в виде суммы двух или нескольких слагаемых. Здесь выясняется, что каждое число может быть не только названо, но и записано, что для записи чисел существуют специальные знаки — цифры.

Все эти знания, относящиеся к нумерации, имеют общее значение, дети с самого начала должны подводиться к пониманию общности получаемых выводов.

Наряду с упражнениями, при выполнении которых дети получают число в результате счета предметов, довольно скоро включаются упражнения, которые должны показать детям получение числа в результате измерения (знакомство с сантиметром и измерением отрезка с помощью линейки).

В теме «Десяток» происходит знакомство с числом и цифрой нуль. Таким образом, уже с первых шагов дети имеют дело с расширенным натуральным рядом, хотя и знакомы еще с очень коротким его отрезком.

При переходе к рассмотрению чисел в пределах 100, 1000 и многозначных чисел каждый раз должен осуществляться перенос приобретенных ранее знаний нумерации на новую область чисел. Вместе с тем переход от одного концентра к другому всегда оказывается связанным с введением тех или иных принципиально новых для учащихся знаний. Истомина Н. Б, Методика обучения математике в начальных классах: Учеб. пособие для студ. сред. пед. учеб. заведений и фак-ов нач. классов педвузов. — М.: LINKA-PRESS, 1998. — С. 7−35.

Каждое дальнейшее расширение области чисел, как правило, всегда связывается с введением новых единиц измерения величин и установления соотношения между ними. Это создает условия, необходимые для того, чтобы подмеченная аналогия в получении чисел при счете и при измерении могла быть в дальнейшем использована.

Итак, выделение концентров в начальном курсе математики дает возможность неоднократно возвращаться к рассмотрению вопросов, связанных с особенностями десятичной системы счисления, устной и письменной нумерации чисел, закрепляя знания детей. Благодаря концентрическому построению программы возникает возможность рассредоточить трудности, в связи с чем в процессе обучения математики можно значительно увеличить долю самостоятельного участия детей в рассмотрении вопросов нумерации, которые при расширении области чисел могут быть ими усвоены на основе «переноса» приобретенных ранее знаний.

Очень важно продуманно и целенаправленно использовать в процессе изучения натурального ряда чисел наглядные пособия. Это одно из условий, помогающих сформировать у детей нужные знания, умения и навыки. Отметим другие моменты, которые должны учитываться при изучении натурального ряда чисел. Учителю следует обратить внимание на речевой опыт, которым располагают многие дети уже ко времени поступления в школу, который быстро обогащается в школьные годы. Дети легко самостоятельно подмечают принцип образования названий чисел и сами догадываются, как будут называться следующие числа (по аналогии).

Учитывая это обстоятельство, в процессе обучения нужно стремиться к тому, чтобы усвоение последовательности соответствующих числительных всегда несколько опережало ту область чисел, которая рассматривается в данный момент основательно.

Приступая к изучению первых десяти чисел, дети должны уже к этому времени более или менее уверено знать названия этих чисел, порядок их следования при счете. Забегание вперед создает условие для переноса изученных операций (операции счета предметов, присчитывание и отсчитывание по 1 и другие) на несколько расширенную область чисел. Это очень важно в качестве психологической подготовки детей к работе с большими числами.

В упражнениях, направленных на усвоение последующих чисел в натуральном ряду, специальное внимание приходится уделять гибкости в ее усвоении. Известно, что дети испытывают затруднения воспроизвести эту последовательность в обратном порядке, при выполнении заданий, требующих умений назвать ряд натуральных чисел, начиная с любого заданного, назвать число, непосредственно ему предшествующее. В результате изучения нумерации чисел дети должны не только усвоить соответствующие общие положения, но и овладеть важнейшими умениями и навыками. В учебниках математики для начальных классов намечена система упражнений, необходимых для сознательного усвоения детьми всех основных вопросов, связанных с изучением натурального ряда чисел.

В изучении нумерации чисел в пределах 10 выделяют подготовительную работу и ознакомление с соответствующими числами. Моро М. И., Пышкало А. М. Методика обучения математике в 1−3 классах. — М.: Просвещение, 1978. — С. 84−91.

В подготовительный период, который длится в течение первой учебной недели, выполняются упражнения следующих видов:

1) счет предметов;

2) сравнение групп предметов;

3) знакомство с количественными и порядковыми значениями чисел;

4) рассмотрение порядковых отношений чисел;

5) рисование бордюров;

6) оперирование группами предметов.

На первой неделе занятий дети учатся работать со счетным материалом, с книгой. На этих уроках должно быть отработано умение вести счет различных объектов, при котором используются числа натурального ряда в пределах 10. дети должны усвоить, что, отвечая на вопрос «Сколько?», предметы можно считать в любом порядке, а на вопрос «Который по счету?» — в определенном порядке. Они должны научиться понимать термины «выше», «ниже», «направо», «налево», «справа налево» и т. п., а также выражения, отражающие порядковые отношения: «следовать за», «стоять перед», «находиться между». Дети должны научиться сравнивать две группы предметов. Формирование соответствующих умений и навыков на этих уроках только начинается, оно будет продолжено на уроках по теме «Нумерация». Эти ЗУН необходимы для перехода к изучению нумерации.

Приведем примеры некоторых упражнений, которые формируют эти умения и навыки на данном этапе. Моро М. И. Математика 1 класс. — М.: Просвещение, 2005.

Упражнение 1.

На наборном полотне расположены квадраты разных размеров, красного и синего цвета.

Учитель спрашивает:

— Сколько больших квадратов?

— Сколько маленьких?

— Сколько красных квадратов?

— Сколько желтых?

— Сколько квадратов на верхней полке?

— Сколько на нижней?

— Сколько всего квадратов?

Затем дети сами учатся задавать вопросы, работая по учебнику.

Упражнение 2.

На наборном полотне стоят различные предметы. Учитель спрашивает: «Сколько игрушек на полке?» Ученик, касаясь указкой каждого предмета, считает. Допустим, что Саша считал игрушки справа налево и всего насчитал 6 игрушек. Другого ученика учитель просит посчитать слева направо. После чего учитель подводит детей к выводу о том, что результат счета не изменится от того, как мы будем считать.

Во время работы над темой «Нумерация чисел от 1 до 10» основное значение придается не только вопросам, связанным с получением каждого нового числа, с выяснением соотношений, существующих между смежными числами ряда, с рассмотрением состава чисел из двух слагаемых. Большое внимание также уделяется работе, направленной на подготовку детей к изучению действий сложения и вычитания. Данная работа очень важна, так как является основной для изучения натурального ряда впоследствии.

При рассмотрении каждого из чисел прежде всего должно быть выяснено, как оно может быть получено. Для того чтобы подчеркнуть принцип построения натурального ряда чисел, важно начать с получения числа путем прибавления единицы к предыдущему числу. Важно познакомить детей с получением любого числа и вычитанием единицы из числа, которое идет при счете сразу же после него.

Получение числа прибавлением единицы к предыдущем или вычитанием единицы из последующего легко связать со сравнением этих чисел. Так, например, на уроке, посвященном ознакомлению детей с числом 4, начинать работу полезно с повторения того, как получали рассматривавшиеся ранее числа. Предложить детям выставить на верхней полочке наборного полотна три треугольника и поставить рядом соответствующую цифру, а на нижней — столько же кругов, спросим: «Сколько выставлено кругов? Добавьте еще один круг к тем трем, которые уже стоят. Сколько теперь стало кругов? Как получили четыре круга? (к трем прибавили один). Учитель показывает цифру, которой записывается число 4, выставляет ее на наборное полотно. «чего больше кругов или треугольников?» Далее проводится ряд аналогичных упражнений, после чего делается вывод, что 3 меньше, чем 4, 4 больше, чем 3. Далее вводятся знаки > и <.

В ходе таких демонстраций и самостоятельных практических работ дети знакомятся сразу и с получением числа прибавлением единицы к предыдущему, и — вычитанием единицы из следующего за ним, и с количественными отношениями между соседними числами ряда, и с местом, занимаемым данным числом в натуральном ряду, и с обозначением числа с помощью печатной и письменной цифры. Упражняются в записях с использованием знаков действий (+ и -) и отношений (>, < и =).

Каждое новое число с самого начала выступает как продолжение изученного отрезка натурального ряда чисел. Чтобы у детей не сложилось такого впечатления, что числа образуются только с помощью прибавления и вычитания единицы, очень важно показать им различные способы получения чисел из двух и более слагаемых.

Огромное значение имеет усвоение детьми на память состава чисел из двух слагаемых, т.к. программа предусматривает ознакомление детей в теме «Десяток» с приемами прибавления и вычитания числа по частям (по 1 и группами), приемом вычитания, основанном на связи его со сложением. В программе выделена специальная тема «Сложение и вычитание в пределах 10». Требование усвоения на память состава числа из двух слагаемых целесообразно отнести только к наиболее легким случаям состава чисел (для 2,3,4,5), а по отношению к числам 6−10 эта задача при изучении темы «Нумерация» не ставится.

На уроках, посвященных ознакомлению с цифрами и числами первого десятка, используются задания следующих видов:

1) образование чисел с использованием отсчитывания и присчитывания по одному;

2) обозначение чисел печатными и письменными цифрами;

3) установление места изучаемого числа в натуральном ряде чисел;

4) сравнение чисел, запись сравнения с помощью знаков >,<,=;

5) решение выражений и задач на сложение и вычитание.

С помощью этих заданий учащиеся овладевают следующими ЗУН:

· усвоить последовательность первых десяти чисел и уметь воспроизводить ее как в прямом, так и в обратном порядке, начиная с любого числа. Знать какое место занимает каждое из десяти чисел в этой последовательности. Знать место числа 0 среди изученных чисел;

· уметь считать различные объекты и устанавливать порядковый номер данного предмета из группы в пределах 10;

· научиться писать и читать цифры, соотносить цифру и число предметов;

· по отношению к каждому из чисел знать как оно получено: прибавлением единицы к предыдущему числу или вычитанием единицы из следующего за ним в ряду чисел. Усвоить состав чисел в результате сложения двух чисел;

· научиться сравнивать любые два числа. Уметь записать результат сравнения чисел, используя знаки сравнения.

Приведем пример упражнений, в процессе выполнения которых у детей формируются вышеперечисленные ЗУН.

Упражнение 1. «Назовите число»

Цель этого упражнения заключается в закреплении знания последовательности чисел от 1 до 10 (и в обратном порядке).

Вариант 1. Учащиеся называют числа от 1 до 10 через один, т. е. один, три, пять, семь, девять. Затем в обратном порядке.

Вариант 2. В игровой ситуации. Учитель вводит сказочную ситуацию: «В лесной школе урок математики вел медведь Михаил Михайлович. Белки и зайцы учились называть числа от 1 до 10. Зайцы произносили число 1 громко, белки произносили число 2 тихо и т. д. давайте все вместе, как зверюшки называли числа, повторим».

Упражнение 2.

У детей ряд предметов (грибы, мячики, и т. д.) и под каждым предметом стоит цифра от 1 до 10. Учитель предлагает детям показать шестой то гриб, то девятый. Важно, чтобы дети не считали, а ориентировались по цифрам. Затем учитель использует не порядковые, а количественные числительные: покажите пять мячей, восемь. Дети должны действовать, ориентируясь по цифрам. Затем учитель называет один раз порядковое, другой раз количественное числительное: покажите пятый мячик, покажите пять мячиков.

Упражнение 3. «Соедини точки».

Учитель делает индивидуальные карточки с изображением предметов в виде основных контурных точек. Ученик получает такую карточку (смотри рисунок ниже). Задание состоит в том, чтобы последовательно соединить точки и определить, какой предмет изображен. Учитывая то, сколько чисел дети изучили.

Обучая ребенка сначала способу построения модели некоторого явления, а затем способу работы с ней, учитель осуществляет процесс формирования в сознании первоклассника соответствующих абстракций, подводит его к обобщению. Следует подчеркнуть, что действие моделирования — это средство перевода мышления учащихся на более высокий уровень, средство, позволяющее в значительной мере избежать формализма знаний.

Абстрактная символика — это средство моделирования. Абстрактная символика принимается младшими школьниками легко и может быть введена на этапе изучения натурального ряда в пределах 10. Задания с абстрактной символикой, если их использовать почти на каждом уроке, становятся средством развития мышления ребенка, поскольку, с одной стороны, требуют от него обобщения, а с другой — создают условия для его осуществления. Микулина Г. Г. Учим понимать математику, 1 класс: пособие для учителя. — М.: Интор, 1995. — С. 3−18. Приведем пример задания:

В гости к первоклассникам пришла Красная Шапочка. Она учится в сказочной школе и принесла карточки со сказочными цифрами. У них в сказочной школе числа стоят по порядку, как у нас. Выставляются 5 карточек, повернутых к детям оборотной стороной. Дети указывают (не поворачивая карточку) самое большое число, число на один меньше, самое маленькое число, число на один больше. Наконец, средняя карточка открывается, и обнаруживается неизвестный знак. Да, в сказочной школе цифры пишутся по-другому. Что же это за число? Дети решат, что это 3, так как оно третье от края. Красная шапочка говорит, что захватила с собой числа не с самого начала ряда. Она не хочет раскрывать секрета. Но предлагает посмотреть, как пишется число, которое на один меньше, чем открытое. Дети должны догадаться, что нужно повернуть предыдущую карточку.

— А еще на один меньше? А на один больше? И другие подобные вопросы. Подчеркивается, что хотя и неизвестно, что это за числа, но можно догадаться, какое из них самое маленькое или самое большое. Пример знаков в ряду: ж, Щ, ?, ?, ?. Микулина Г. Г. Роль предметных действий при изучении последовательности чисел // Начальная школа. — 1987. — № 9. — С. 41−44.

Психологи установили, что усвоение ребенком знаний начинается с материального действия с предметами или моделями, рисунками, схемами. Практические действия дети описывают словесно. Проговаривание действий переносится во внутренний план (действия в уме). Материальная форма действий является исходной, внешнеречевая предполагает рассуждения, умственная форма действия (проговаривание про себя) осуществляется тогда, когда у учеников уже сформированы представления или понятия. Эти три формы действия влияют на развитие наглядно-образного мышления. Деятельность детей должна быть разнообразной и по форме и по содержанию, и строиться в соответствии с закономерностями обучения, сформированными педагогами. «чем больше и разностороннее обеспечиваемая учителем интенсивность деятельности учащихся с предметом усвоения, тем выше качество усвоения на уровне, зависящем от характера организуемой деятельности — репродуктивной или творческой». Моро М. И., Пышкало А. М. Методика обучения математике в 1−3 классах. — М.: Просвещение, 1978. — С. 127−131.

При работе над числами первого десятка важнейшее значение имеет удачное применение наглядности. Например, соответствующую демонстрацию можно выполнять так: на верхней полочке наборного полотна выкладываем 5 кружков. Предлагаем детям один из этих кружков переложить на нижнюю полочку, выясняем, как удалось разложить 5 кружков на две полочки (4 на одной и 1 на другой). Затем снова перекладываем 1 кружок с верхней на нижнюю полочку, выясним следующий вариант разложения: 3 и 2 и т. д. аналогично с другими числами.

Хорошим способом иллюстрации различных случаев состава числа из двух слагаемых является использование двухцветных полосок, двухцветных кружков, нанизанных на резинку. Использование разнообразных пособий позволяет поддерживать у детей интерес к подобным упражнениям, больше проводить их на уроках и тем самым создавать условия для лучшего усвоения состава чисел первого десятка, систематизации соответствующих знаний.

От действия с конкретными предметами, от счета, дети переходят к действиям с числами. Решение выражений на сложение и вычитание. Одни и те же выражения на прибавление и вычитание единицы нужно предлагать в различных сочетаниях, например:

1) 1+1

2+1

3+1

2) 10−1

9−1

8−1

3) 2+1

2−1

3+1

Предлагая ту или иную группу математических выражений для самостоятельного решения, учитель имеет в виду определенные знания и умения, который будут использоваться в каждом случае учащимися. Так, выражения, помещенные под номером 1), может решить ученик, который усвоил счет в пределах десяти. Выражения под номером 3) развивают наблюдательность, умение сравнивать пары примеров, видеть сходное и различное.

Детям возможно давать диктанты, которые направлены на отработку таких умений как: восстановить пропуски в ряду чисел, назвать число, непосредственно следующее за данным, или ему предшествующее число, назвать «соседей» данного числа в ряду и т. п. в диктант можно включить такие задания:

— запиши цифрой, сколько кружков на этой карточке;

— нарисуй столько кружков, сколько указано на этой карточке (карточка с цифрой);

— запиши число, которое идет при счете после числа 5, 6, 8;

— запиши число, которое стоит между 3 и 5;

— запиши число, которое на один больше, чем число 4 (меньше, чем число 7) и т. п.

После ознакомления с числами от 1 до 10 предусмотрено знакомство с числом и цифрой нуль. Понятие о нуле формируется, как понятие о любом числе, на основе практических действий с предметными множествами. Учитель должен подвести детей к пониманию того, что нуль получается в результате вычитания 1 из 1, что поэтому это число на 1 меньше, чем единица, и в ряду чисел оно занимает место перед 1 как число, ему предшествующее. Далее рассматривается линейка, значение цифры 0 в записи числа 10. Истомина Н. Б, Методика обучения математике в начальных классах: Учеб. пособие для студ. сред. пед. учеб. заведений и фак-ов нач. классов педвузов. — М.: LINKA-PRESS, 1998. — С. 7−35.

Изучение вопросов нумерации связывается с рассмотрением ряда других вопросов программы — дети знакомятся с простейшими геометрическими фигурами и их элементами, с измерением отрезков и др.

Для активизации познавательной деятельности учащихся целесообразно использовать не только наглядные средства обучения, но и дидактическую игру, которая является ценным средством воспитания умственной активности детей, вызывает у учащихся живой интерес к процессу обучения.

Игровой метод позволяет тесно связать изучение теоретического материала с практическими действиям. В процессе игры можно создавать такие условия, которые будут способствовать проявлению самостоятельности и инициативы ребенка. М. И. Моро, С. В. Степанова отмечают, что «максимальная активизация деятельности детей на уроке достигается при широком использовании разнообразных средств наглядности и элементов игры…» на уроках подготовительного периода в изучении нумерации чисел в пределах десяти используются разнообразные игровые ситуации.

Описанная ниже игровая ситуация направлена на знакомство с понятиями «стоять перед», «следовать за», «находиться между».

Учитель читает сказку К. И. Чуковского «Тараканище» по ходу чтения на наборном полотне выставляется фигурки зверей и других персонажей сказки. Выясняем, кто ехал за медведем? Кто ехал за котом? А за комариками кто ехал первым? Вторым? Третьим? Между котом и раками? Между медведем и комариками? Кто перед котом? Перед раками? Кто после комариков? Медведей?

При изучении раздела «нумерация чисел первого десятка» используются прежде всего такие игры, с помощью которых дети осознают приемы образования каждого последующего и предыдущего чисел.

Игра «составим поезд» наглядно показывает, что каждое следующее число образуется путем прибавления единицы к предыдущему числу, а каждое предыдущее число получается в результате вычитания единицы из последующего числа. Можно предложить учащимся сосчитать число вагонов слева направо и справа налево, сделав после этого вывод: считать можно в любом направлении, но при этом важно не пропустить ни одного предмета и не сосчитать его дважды.

Содержание игры. Учитель вызывает к доске поочередно учеников. Каждый из них, выполняя роль вагона называет свой номер. Например, первый вызванный ученик говорит: «Я — первый вагон». Второй ученик цепляется к первому, называет свой номер, остальные составляют выражение: 1+1=2. затем цепляется третий «вагон», и все дети по сигналу составляют выражение: 2+1=3. И так далее. Потом вагоны по одному отцепляются, а класс составляет выражения вида: 3−1=2 и т. д.

В процессе игры «Угадай-ка» дети закрепляют последовательность чисел натурального ряда от 1 до 10. детям предлагают отгадать число, если оно: 1) находится между числами 6 и 8. Какое место оно занимает? (седьмое). 2) на 1 больше 5 и на 1 меньше 7. какое место занимает оно? (шестое).

Прямой порядок чисел дети начинают осваивать примерно в трехлетнем возрасте. Поэтому прямой порядок чисел усваивается ими в школе значительно легче, чем обратный. Важно, что с помощью числового ряда дети действуют с предметами: определяют численность предметных совокупностей, сравнивают их, составляют новую совокупность, равную по численности имеющейся. При этом им становится ясным смысл числового ряда как средства решения определенного вида практических, предметных задач, что способствует усвоению отрезка числового ряда. Обучение детей прямому порядку чисел обычно опирается на выполнение практических действий с предметами, что способствует усвоению отрезка числового ряда.

Иначе обстоит дела с воспроизведением обратной последовательности чисел. Приведем некоторые примеры, которые способствуют лучшему усвоению обратной последовательности чисел.

Упражнение 1. На доске 10 домиков. Им присваиваются при счете номера. Но прибить номера на дома еще не успели. В конце ряда домов почта с зайцем-почтальоном. Вот письмо в восьмой дом. Как зайцу туда попасть и не ошибиться? Выясняется, что он может прибежать к началу улицы и посчитать дома с первого, но проще посчитать дома с конца улицы.

Упражнение 2. заранее изготовляется картонная полоса с десятью карманами. Предлагается словесно пронумеровать карманы. По ходу хорового счета полоса складывается так, что первый карман оказывается внутри, а десятый — на свободном конце полосы. Далее учитель говори: «найди в седьмом кармане отгадку на мою загадку». Учитель загадывает загадку, дети говорят ответ и проверяют его карточкой в определенном кармане.

2.2 Число как мера величины

Развивающее обучение — деятельностный подход организации детей на уроке, о развитии интеллектуальных умений и мышления, о повышении уровня владения учащимися родным языком.

Одна из важных особенностей нового курса математики — использование деятельностного метода обучения, который позволяет активизировать деятельность детей и создавать благоприятные условия для практической реализации результатов психолого-педагогических исследований (Л.С. Выготский, П. Я. Гальперин, В. В. Давыдов и другие),

Основная особенность этого метода заключается в том, что новые математические понятия и отношения между ними не даются детям в готовом виде. Дети «открывают» их сами в процессе самостоятельной исследовательской деятельности. Учитель лишь направляет эту деятельность и в завершении подводит итог, давая точную формулировку установленных алгоритмов действия и знакомя с общепринятой системой обозначений.

Образование младшего школьника — это не набор и даже не система отдельных знаний, а обобщенное, целостное представление о мире, о месте в нем общества и человека. Знания детей как бы кирпичики, на которых стоят чувство уверенности в себе, на чем и формируется положительная «Я — концепция».

Содержание образования осваивается учащимися по общим закономерностям: восприятие — понимание (осмысление) — применение (запоминание в репродуктивной деятельности) — использование в новых условиях. Особенностью восприятия в условия развивающего обучения является субъективная позиция ученика, когда им осуществляется активная деятельность по выделению неосвоенной области (проблемы) — сравнение, сопоставление, выявление закономерности, поиск различных способов решения поставленной задачи. Содержание обучения должно представлять систему научных понятий (Л.С. Выготский); систему теоретических знаний, которые лежат в основе обобщенных действий и которые приводят к их осознанному усвоению (Л.В. Занков); генетически исходные понятия, которые раскрывают происхождение, становление и развитие какого-либо предмета и лежат в основе принципов действий (В.В. Давыдов).

Развивающее обучение не отрицает важность и необходимость образовательных задач, но и не признает трех параллельно существующих задач (образовательные, воспитательные, развивающие), а предполагает их слияние в триединую задачу, обеспечивающую органическое слияние обучения и развития, при котором обучение выступает не самоцелью, а условием развития школьников.

Сущность взаимосвязи образовательных и развивающих задач, обучения и развития в целом раскрыта Л. С. Выготским: «Обучение, которое в качестве ведущих целей рассматривает обеспечение (организацию) развития высших психических функций личности в целом через овладение внешними средствами культурного развития, является развивающим и приобретает при этом целенаправленный характер. Результатом такого обучения служит достигнутый ребенком уровень развития личности, его индивидуальности».

Перед современной школой стоит задача повышения уровня образования учащихся. Установлено, что ведущей стороной умственного развития в младшем школьном возрасте является развитие мышление, т. е. овладение детьми приемами анализа и синтеза, сравнение и обобщение связей и отношений между предметами, явлениями и событиями окружающего мира. Этому способствует использование методов, позволяющих вести обучение с учетом возрастных способностей и умственного развития учащихся. Это можно сделать, используя задания, направленные на усвоение натурального ряда чисел в пределах десяти. Так как в ходе решения таких заданий можно наблюдать за тем, как ребенок проводит анализ условия, сравнение и обобщение связей и отношений между предметами.

Разработка теории развивающего обучения под руководством Л. В. Занкова осуществлялась в русле дидактических категорий и изначально ставила целью «построить такую систему начального обучения, при которой достигалось бы гораздо более высокое развитие младшего школьника, чем при обучении согласно канонам традиционной методики». Истомина Н. Б. Развивающее обучение // Начальная школа. — 1996. — № 12.

В основу построения начальной системы обучения были положены взаимосвязанные дидактические принципы: обучение на высоком уровне трудности, изучение программного материала быстрым темпом, ведущая роль теоретических знаний, осознание школьниками процесса учения, целенаправленная и систематическая работа над развитием всех учащихся класса.

Система Л. В. Занкова сосредоточена на том, чтобы дети учились творчески, активно добывать знания, приобретать умения слушать и слышать, осмысленно относиться к своей работе и активно использовать полученные знания. В новых учебниках новое содержание образования, новые методы и формы работы, которые действенно направлены на раскрытие индивидуальных наклонностей и способностей младшего школьника. Стержнем этой системы обучения является достижение максимального результата в общем развитии школьников. Основной путь направлен на формирование ЗУН самостоятельным добыванием новых знаний всем классом. Двигателем процесса познания становится желание узнать новое, неизвестное. Дети уже в самом начале обучения испытывают удовлетворение от напряженной умственной деятельности, радость от выполнения сложной задачи. Занков Л. В., Занков В. В. Математика 1 класс. — М.: Дом педагогики, 1997

Материал по математике делится на три уровня. Материал первого уровня должен быть прочно усвоен. Ко второму уровню относится материал, который помогает глубже понять и осознать материал первого уровня и одновременно закладывает основу для овладения знаниями на более поздних этапах обучения, помогает глубже осознать связь между обратными действиями. Материал третьего уровня направлен на расширение математического кругозора учеников.

Одной из основных программ по математике в системе Л. В. Занкова является программа Л. Г. Петерсон. вся система заданий пересмотрена таким образом, чтобы наряду с развитием вычислительных навыков, навыков черчения и чистописания ученики эффективно продвигались в развитии мыслительных операций, умении анализировать, сравнивать, обобщать, классифицировать, рассуждать по аналогии. С самых первых уроков детям предлагаются задания, которые требуют от них творческого участия («придумать», «найти», «составить», «выбрать», «нарисовать» и т. д.), развивают не только ум, но и волю, чувства, духовные потребности и мотивы деятельности. Петерсон Л. Г. Математика 1 класс. — М.: компания С-инфо Лтд, фирма Баласс, 1996.

Основной целью работы является развитие у детей мышления, памяти, речи, творческих способностей, формирование положительной мотивации учения. Дети учатся наблюдать и выражать в речи свойства предметов, группировать предметы по общим свойствам, сравнивать, складывать и вычитать совокупности предметов. Устанавливаются взаимосвязи между частью и целым. Дети осваивают цифры 1−9, 0 и счет в пределах девяти, принцип отсчитывания и присчитывания единиц на числовом отрезке, сравнение совокупностей по количеству с помощью составления пар.

Особое внимание уделяется изучению состава чисел, формированию прочных навыков устных вычислений в пределах 9. Рассматриваются некоторые геометрические понятия: отрезок, ломаная линия, многоугольник, равные фигуры, разбиение фигур на части и другие.

Основную цель работы предполагает широкое использование приемов и методов, вызывающих интерес и индивидуальную активность детей. Особое внимание обращается на создание для каждого ребенка ситуации успеха, когда он эмоционально переживает радость преодоления трудности — в тех заданиях, которые у него лучше получаются, либо лучше умеет обосновать свой ответ, либо аккуратнее других пишет… что-то надо найти. Интерес и успешность обучения — вот те условия, которые не только определяют формирование мотивационной сферы, но и самым непосредственным образом влияют на физиологическое здоровье детей. (Е.А. Умрюхин).

Разработка теории развивающего обучения под руководством Д. Б. Эльконина и В. В. Давыдова осуществлялась в рамках психологического исследования, в процессе которого пытались «установить, какие психологические новообразования могут возникнуть в период младшего школьного возраста». В качестве таких новообразований были названы: учебная деятельность и ее субъект, абстрактно-теоретическое мышление, произвольное управление поведением.

Говоря о развивающем обучении, В. В. Давыдов подчеркивает, что речь идет об определенном типе развивающего обучения, которой соотносим с младшим школьном возрастом и нацелен на развитие у младших школьников теоретического мышления.

Выявленные в ходе исследования закономерности процесса формирования теоретического мышления, разработка психологических аспектов содержания, структуры и этапов учебной деятельности не находятся в противоречии с теми дидактическими принципами, которые выдвинул Л. В. Занков. так, положение В. В. Давыдова о том, что содержанием учебной деятельности являются теоретические знания, согласуется с принципами обучения на высоком уровне трудности и роли теоретических знаний В. В. Давыдов формирует ряд общих положений, которыми следует руководствоваться при формировании теоретического мышления: усвоение знаний, носящих общий и абстрактный характер, предшествует знакомству с более частными и конкретными знаниями; учащиеся должны обнаруживать в учебном материале существенное, всеобщее отношение и воспроизводить его в особых предметных, графических и буквенных моделях, позволяющих изучать эти свойства в чистом виде.

Давыдов В.В. при построении курса начальной математики и выдвигает в качестве основной задачи школьного учебного предмета приведение учащихся к возможно более ясному пониманию концепции действительного числа. Он предлагает в качестве исходного, существенного взять понятие величины и, исходя из этого, сформулировать последовательность учебных задач, решение которых позволит целенаправленно формировать у младших школьников основы теоретического мышления.

Внедрение в массовую практику курса математики, построенного по схеме «величина — число», порождает ряд новых методических проблем, связанных с преемственностью курсов математики начальной школы. Решить эти методические проблемы возможно, только опираясь на психологические и дидактические основы развивающего обучения, учитывая специфику содержания учебного предмета и условия учебного процесса. С точки зрения обучения плодотворным подходом к понятию «учебная деятельность», считают подход Н. Ф. Талызиной. она рассматривает учебную деятельность, как одну из ведущих форм деятельности, обеспечивающей формирование и развитие личности ребенка в процессе усвоения знаний, который состоит из специфических и обще-логических действий. Специфические учебные действия обеспечивают усвоение знаний в их конкретном содержании; обще-логические — формирование общего подхода к анализу учебного материала и способов ориентации на нем. Это действия — преобразования, сравнения, классификации, которые усваиваются школьниками как умственные.

Заключение

В процессе написания работы нами была проанализирована психолого-педагогическая и методическая литература.

Овладение основами математики немыслимо без целенаправленного и многоаспектного изучения понятия целого неотрицательного числа. Целенаправленная работа по изучению понятия целого неотрицательного числа положительно сказывается на формировании вычислительных навыков младших школьников.

Выявлено, что процессе изучения детьми отрезка натурального ряда чисел, ученики должны усвоить называние и запись чисел (с помощью цифр), принципы построения натурального ряда чисел, счет, присчитывание и отсчитывание, сравнение чисел, сложение и вычитание в пределах 10.

Эффективность применения понятия целого неотрицательного числа, в начальной школе зависит от применения более интересных и разнообразных методов работы, от использования знаний и опыта младших школьников, и опоры на них.

1. Стойлова Л. П. Математика: Учебник для студентов отделений и факультетов начальных классов средний и высших педагогических учебных заведений. — М.: Академия, 1997. — 464 с.

2. Истомина Н. Б, Методика обучения математике в начальных классах: Учеб. пособие для студ. сред. пед. учеб. заведений и фак-ов нач. классов педвузов. — М.: LINKA-PRESS, 1998. — 288 с.

3. Микулина Г. Г. Учим понимать математику, 1 класс: пособие для учителя. — М.: Интор, 1995. — 64 с.

4. Моро М. И., Пышкало А. М. Методика обучения математике в 1−3 классах. — М.: Просвещение, 1978. — 336 с.

5. Истомина Н. Б. Развивающее обучение // Начальная школа. — 1996. — № 12.

6. Микулина Г. Г. Роль предметных действий при изучении последовательности чисел // Начальная школа. — 1987. — № 9. — С. 41−44.

7. Занков Л. В., Занков В. В. Математика 1 класс. — М.: Дом педагогики, 1997.

8. Петерсон Л. Г. Математика 1 класс. — М.: компания С-инфо Лтд, фирма Баласс, 1996.

9. Моро М. И. Математика 1 класс. — М.: Просвещение, 2005.

10. Истомина Н. Б. Математика 1 класс. — М.: Ассоциация XXI век, 2003.

11. Гейзер Г. И. История математики в школе: Пособие для учителей. — М.: Просвещение, 1981. — 239 с.