Волны жизни. 
Математические модели в биологии

До сих пор мы говорили о базовых моделях поведения живых систем во времени. Стремление к росту и размножению ведет к распространению в пространстве, занятию нового ареала, экспансии живых организмов. Жизнь распространяется так же как пламя по степи во время степного пожара. Эта метафора отражает тот факт, что пожар (в одномерном случае — распространение пламени по бикфордову шнуру) описывается с помощью той же базовой модели, что и распространение вида. Знаменитая в теории горения модель ПКП (Петровского — Колмогорова — Пискунова) впервые была предложена ими в 1937 г. именно в биологической постановке как модель распространения доминирующего вида в пространстве. Все три автора этой работы являются крупнейшими российскими математиками. Академик Иван Георгиевич Петровский (1901;1973) — автор фундаментальных трудов по теории дифференциальных уравнений, алгебре, геометрии, математической физике, в течение более 20 лет был ректором Московского Государственного университета им. М. В. Ломоносова. (1951;1973). Андрей Николаевич Колмогоров (1903—) глава российской математической школы по теории вероятностей и теории функций, автор фундаментальных трудов по математической логике, топологии, теории дифференциальных уравнений, теории информации, организатор школьного и университетского математического образования, написал несколько работ, в основу которых положены биологические постановки. В частности в 1936 г. он предложил и подробно исследовал обобщенную модель взаимодействия видов типа хищник-жертва (исправленный и дополненный вариант 1972).(См. Популяционная динамика).

Рассмотрим постановку задачи о распространении вида в активной — богатой энергией (пищей) среде. Пусть в любой точке прямой r>0 размножение вида описывается функцией f (x) = x (1-x). В начальный момент времени вся область слева от нуля занята видом x, концентрация которого близка к единице. Справа от нуля — пустая территория. В момент времени t=0 вид начинает распространяться (диффундировать) вправо с константой диффузии D. Процесc описывается уравнением:

При t>0 в такой системе начинает распространяться волна концентраций в область r>0, которая является результатом двух процессов: случайного перемещения особей (диффузии частиц) и размножения, описываемого функцией f (x). С течением времени фронт волны перемещается вправо, причем его форма приближается к определенной предельной форме. Скорость перемещения волны определяется коэффициентом диффузии и формой функции f (x), и для функции f (x), равной нулю при x=0 и x=1 и положительной в промежуточных точках, выражается простой формулой: =2Df'(0).

Изучение пространственного перемещения в модели хижник-жертва (10) показывает, что в такой системе в случае неограниченного пространства будут распространяться волны «бегства и погони», а в ограниченном пространстве установятся стационарные пространсвенно неоднородные структуры (диссипативные структуры), или автоволны, в зависимости от параметров системы.