Разностные уравнения

http://www..ru/.

1.Решение разностного уравнения 2-го порядка векторно-матричным способом с использованием Z-преобразования.

1.1 Краткие теоретические сведения.

разностный уравнение матричный.

Переход от разностного уравнения n-го порядка к векторно-матричному уравнению Пусть дано разностное уравнение 2-го порядка:

Разрешаем его относительно U_n+2:

Вводим обозначения:

Получим следующую систему В матричной форме данная система записывается следующим образом:

Решение векторного разностного уравнения с помощью Z-преобразования Осуществляем Z-преобразование:

Определим вектор :

В дальнейшем осуществляется переход от Z-изображения к оригиналу:

1.2 Задано разностное уравнение:.

Разрешаем его относительно x_n+2:

н.у.: x₀= 5; x₁= 7.

1) Введем обозначения:

Получаем:

Запишем систему в векторно-матричной форме:

Рис.

1.3 Получение решения РУ матричным методом с помощью Z-преобразования.

а) Получение изображений Определяем матрицу на MathCad:

Найдем матрицу, используя метод Фадеева б) Нахождение оригиналов Используя обратное Z-преобразование и комплексное вычисление находим:

Рис.

Проверка (Нахождение оригиналов «вручную»):

Разрешаем его относительно x_n+2:

н.у.: x₀ = 5; x₁ = 7.

1) Введем обозначения:

Получаем:

Запишем систему в векторно-матричной форме:

Рис.

2. Проектирование аналогового фильтра —прототипа, отвечающего требованию обработки сигнала и заданной частоте среза (100Гц).

Передаточная функция АФ Частотная характеристика АФ Рис.

Приведение передаточной функции к стандартному виду Переход к заданной частоте:

Рис.

Расчет элементов АФ Схема ФНЧ на EWB 5.1:

Диаграмма БОДЕ Рис. АЧХ Импульсная характеристика:

Рис.

Переходная характеристика:

Рис.

3.Проектирование соответствующего цифрового фильтра. Краткие теоретические сведения.

Цифровой фильтр — это цифровая система, преобразующая дискретную последовательность в соответствии с заданным алгоритмом. Цифровой фильтр может быть реализован программным путем на ЭВМ или с помощью специальной аппаратуры. И в том и в другом случае цифровой фильтр может быть выполнен либо для преобразования дискретных сигналов в реальном масштабе времени, либо для преобразования предварительно записанных сигналов.

В более узком смысле цифровой фильтр — это цифровая система, преобразовывающая спектры дискретных сигналов в соответствии с заданным алгоритмом.

В рекурсивном цифровом фильтре для формирования n-го отсчета используются предыдущие значения как входного, так и выходного отсчетов.

Коэффициенты одновременно.

Системная функция данного рекурсивного цифрового фильтра:

Общее число элементов задержки равно 2m — это является недостатком данной структурной схемы. На практике обычно используются, так называемые канонические структурные схемы.

Характерной чертой рекурсивных цифровых фильтров является, в общем случае, бесконечность их импульсных характеристик. Такие цифровые фильтры называются БИХ-фильтры.

Цифровой фильтр называется устойчивым, если его импульсная характеристика удовлетворяет условию:

; из этого условия следует, что КИХ-фильтры всегда являются устойчивыми.

Условие устойчивости цифрового фильтра рекурсивного типа:

h_n=о₀д_h+ о₁p₁ⁿд_n-1 +…+ о_np_Nⁿд_n-N.

Вид передаточной функции:

Получение модуля частотной характеристики ЦФ Рис.

Получение импульсной и переходной характеристик ЦФ.

Импульсная характеристика фильтра-прототипа Рис.

Переходная характеристика фильтра-прототипа:

Рис.

Рис.

Получение системной функции ЦФ Рис.

Получение импульсной и переходной характеристики ЦФ Рис.

Рис.

Проверка устойчивости ЦФ Реализация:

Рис.

Рис.

Рис.

Структурная схема.

Список использованной литературы.

1.Ишемгужин А. И., Алтынбаева А. Р.

Введение

в теорию цифровых фильтров.-Уфа: УГНТУ.-2000.

2.Густав Деч. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и Z-преобразования.-М.: Наука.-1977.-288 с.

3.Гутников В. С. Фильтрация измерительных сигналов.-Л.: Энергоатомиздат, 1990. 192 с.