Слабая обобщенная локализация для кратных тригонометрических рядов Фурье непрерывных функций с некоторым модулем непрерывности

1. Рассмотрим N-мерное евклидово пространство MN, элементы которого будем.

I |2 2 2 обозначать х = (х ],., xN), и положим кх = к^х| +. + kNxN, |х| -Х + .+х N .

Рассмотрим множество 7LN aW>N всех векторов с целочисленными координатами и для любого^еЖ1 определим множество ={xeliV: Xj> X,.

1 < j.

Пусть 2л — периодическая (по каждому аргументу) функция f (x)ebp (TN), р > 1, N > 1, где TN = {х g IS^ : — л < х ;

Для любого вектора п = (щ, п2,.- nN) е рассмотрим прямоугольную частичную сумму этого ряда: Z (0.2) частным случаем которой является квадратная частичная сумма SnQ (x-f), когда п ~п2 ~ ••• = nN =поПри этом под сходимостью ряда в (0.1) по прямоугольникам будем понимать существование предела частичных сумм Sn{xf) — (0.2) при.

->оо (т.е. min п ¦ оо), а под сходимостью ряда в (0.1) по квадратам — существо-1< у<�Л J вание предела SnQ (x-f) при п0 -" со.

Пусть XI, НсГ^, • произвольное измеримое множество, цН>0 (ц = }дЛЛ^-мерная мера Лебега), и пусть /(х) = 0 на Н.

В диссертации изучается поведение на XI и Г л частичных сумм (0.2) при п -" со в зависимости от структуры и геометрии множества il, а также условий, накладываемых на функцию /(х).

2. Для одномерных рядов Фурье функций / е L, классический принцип локализации Римана утверждает, что ряд Фурье функции / eL}(T]), /(*) = О на интервале / сГ1, сходится к нулю равномерно на каждом сегменте, целиком содержащемся в /.

Для кратных рядов Фурье (N>2) классический принцип локализации Римана перестает быть верным не только для непрерывных функций (это было доказано Л. Тонелли в работе [1]), но и, как следует из работ Л. В. Жижиашвили [2], [3], для функций из класса.

Ha (TN) = {feC (TN): со (5,/) = sup^ |/(х)-Ду) = 0(ф))}, (0.3) х, у€Г N где со (5) = 5(8) = А,(8).

— N log, а Х (8) — произвольная монотонно стремящаяся к.

-" 0 при 8 -> + 0 (см. [4, оо (при 8 -> + 0) функция такая, что Ц8) log ч 5. с.31]),).

В работе В. А. Ильина [5] (см. также [4]) были найдены необходимые и достаточные, в терминах уже интегральных модулей непрерывности, условия классической локализации.

Обозначим через со «(8, /) интегральный модуль непрерывности со (8,/)= sup h.

J." \f{x + h)-f{x)pdx.

Пусть и пусть f (x), DafeLp, <�р<�оо, |а|</ 2) и co/,(8,Da/) = о (8т) при х е[0,1), |а|</ тогда, как было доказано в работе [5], если (/ + х) р > N -1, то классическая локализация справедлива (т.е. ряд Фурье функции.

Л.В.Жижиашвили было доказано в [2], [3], что если со (5-/) = о log— б5 то ряд Фурье функции /(х) равномерно сходится на tn, т. е. справедлива классическая локализация. 2) Символом, а здесь обозначен мультииндекс, т. е. a=(ai,., aN) e 7/,'q, а = а-|+.+ад/, а а, а .Y =.V.

I .v/V'v, а символом Da =, где Dу — ' мнимая единица)..

-5/ равномерно сходится на каждом компакте К с G, где G — область из TN, на которой /(*) обращается в нуль), если же (1 + т) р = N -1 (при т ф 0), то классическая локализация не справедлива..

Поисками окончательных условий справедливости классической локализации в различных функциональных пространствах, начиная с 1970 года, занимались В. А. Ильин [5], JI.B. Жижиашвили [2], К. Гофман и Д. Ватерман [6], P.P. Ашуров [7], А. Й. Бастис [8], П. Шёлин [9], И. Р. Лифлянд и М. А. Скопина [10], [11], и др. (см. также обзорные статьи [4], [12], [13], [14], [15]). Из существовавших к 1975 — 1978 годам результатов о классической локализации стало ясно, что для кратных рядов Фурье, оставаясь в классах Lp, естественно ввести другое понятие локализации..

3. В работе [16] (см. также [17]) И. Л. Блошанским было введено понятие обобщенной локализации почти всюду..

Определение 1. Пусть XI с TN — произвольное множество положительной меры. Будем говорить, что для кратных рядов Фурье функций из Lp, р> 1, справедлива на множестве XI обобщенная локализация почти всюду (ОЛ), если из условия f (x)eL (Т N), р> 1, /(х) = 0 на U, следует, что почти всюду на XI существует предел lim Sn (x-, f) = 0..

При N = 1 ОЛ справедлива на любых измеримых множествах XI с Г1 в классах Lp, р > 1. Это следует из работ Л. Карлесона [18] и Р. Ханта [19]. Если р — 1, то.

ОЛ в одномерном случае справедлива в классе L | на измеримом множестве.

XI с Г1, цХ1>0, тогда и только тогда, когда это множество является открытым почти всюду J). Достаточность этого факта следует из классического принципа локализации Римана, необходимость доказана И. Л. Блошанским в [20] (см. [20, теорема 2 для N =1])..

Перейдем к случаю N >2. Остановимся предварительно на результатах, каса.

31 Множество Е будем называть (см. [20], [26]) открытым почти всюду (п.в.), если сущес ч в ei открытое множество ?, такое, что ц (?Л) = 0. ющихся сходимости кратных тригонометрических рядов Фурье суммируемых по Прингсхгейму непрерывных функций. 2.

В работе [31] Ч. Фефферман привел пример непрерывной на квадрате Т периодической функции f (x, y), двойной ряд Фурье которой расходится по прямоугольникам всюду внутри Т. Используя функции, построенные Ч. Фефферманом, М. Бахбух и Е. М. Никишин в работе [32] установили, что существует функция х, у) е (С (Г), модуль непрерывности которой удовлетворяет условию ю (5, f) = 0 log 1.

0.4) а двойной ряд Фурье этой функции расходится всюду на [- я + 0,2- я — 0,2]. 4).

М.И.Дьяченко (см. 15]) указал, что на основе примера М. Бахбуха и Е. М. Никишина можно построить функцию /(х)е (С (Г^), N -2т, /ие^ с модулем непрерывности о (5,Я = 0 log 7 о 2.

0.5) ряд Фурье которой расходится по прямоугольникам почти всюду. Позже, в работе.

42] А. Н. Бахвалов построил функцию f{x) e.

0.5), ряд Фурье которой расходится всюду..

В связи с условием (0.4) отметим работу М. Бахбуха [33]. В этой работе М. Бахбух доказал, что если для любого? > 0 модуль непрерывности функции.

•л f (x, y) е (С (Т) удовлетворяет условию ш (8,/)= О log 7 о.

-1-е.

0.6) то ряд Фурье этой функции сходится по прямоугольникам п.в. на Г". Доказательство теоремы М. Бахбуха опирается на результат П. Шелина (см. 9]). Для случая.

4) Отметим, что каждый контрпример в Т s дает соответствующий контрпример в Г1'1, но точность таких контрпримеров, как правило, теряется. В частности, результат Ч. Феффермана даже с функцией /, удовлетворяющей условию (0.4), справедлив в Т, А при любом N > 1..

N >2 аналог теоремы М. Бахбуха отсутствует, т.к. в этом случае нет соответствующего обобщения результата П.Шелина..

Таким образом, из результата М. Бахбуха следует, что условие (0.4) не может быть существенно улучшено (т.е. в условии (0.6) нельзя убрать е). Но, между условиями (0.4) и (0.6) остался «зазор», который был «уменьшен» К. И. Осколковым в работе [25]. К. И. Осколков доказал, что если модуль непрерывности функции х, д>) е (С (Г) удовлетворяет условию оо (8,/) = о fj ]Ч-1Л log-log log log-о о.

0.7) то ряд Фурье функции / сходится по прямоугольникам п.в. на Т ..

Заметим, что вопрос об окончательности условия (0.7) сходимости двойных тригонометрических рядов Фурье в терминах модулей непрерывности остается открытым до сих пор..

Достаточные условия сходимости п.в. кратных рядов Фурье (в случае суммируемости по прямоугольникам) в терминах интегральных модулей непрерывности были получены Л. В. Жижиашвили в работе [40]. А именно, Л. В. Жижиашвили доказал, что если со 2 (8,/) = О log 1 n > —-е ?>0, то ряд Фурье функции /(х) сходится по прямоугольникам п.в. на TN..

В кратном случае исследования, касающиеся OJ1, были проведены И. Л. Блошанским в работах [16], [17], [20]-[22]. Так в случае N -2 в работе [17] было доказано, что если функция f (x) eLр (Т2), р> 1, то для двойных рядов Фурье на открытых почти всюду множествах справедлива ОЛ. Заметим, что усилить данный результат, доказав его в случае N = 2 и р > 1 для произвольного измеримого множества оказалось невозможным, т.к. в работе [21] было построено измеримое множество ИсГ* (с мерой сколь угодно мало отличающейся от меры квадрата.

-82 2 Т), на котором обобщенная локализация не справедлива в классе LX{T) (при суммировании по прямоугольникам).5).

Если же рассматривать класс L-(TN), то (см. [22]), уже начиная с двумерного случая, OJI не справедлива вообще ни на каком измеримом множестве Uc. TN, О < |ill < (271)*, N >2, даже при суммировании кратного ряда Фурье по кубам..

Что касается случая N >3, то, как было установлено в работе [22], ОЛ в этом случае уже не справедлива ни на каком измеримом множестве XI с, не являющемся плотным в TN (т.е. XI 2 TN, где II — замыкание множества XI) при суммировании кратного ряда Фурье по прямоугольникам даже в классе (D (TN)..

В [24] были проведены исследования справедливости OJ1 на любых открытых множествах XI сГ3 для функций /еЯ 03(Г3), f (x) = 0 на XI. В частности установлено, что OJI (для таких функций) справедлива на открытом множестве XI с Т, если модуль непрерывности со (5,/) этой функции удовлетворяет условию (0.7)..

Таким образом, т.к. обобщенная локализация п.в. справедлива на произвольном открытом множестве только в случае N = 2, р> 1, то появилась необходимость перейти к более тонкому аппарату исследования поведения ряда Фурье функции / на множествах, где / равна нулю, а именно, к понятию «слабая обобщенная локализация», введенному И. Л. Блошанским в работе [26]..

Определение 2. Пусть XI с TN — произвольное множество положительной меры. Будем говорить, что для кратных рядов Фурье функций из Lр, р > 1, справедлива на множестве XI слабая обобщенная локализация почти всюду (СОЛ), если для любой функции f (x)ebp (TN), р> 1, /(х) = 0 на XI, существует подмножество положительной меры XI, множества XI такое, что lim Sп{х -/) = 0 почти всюду на XI]. п СО.

51 Справедливость OJI на открытых п.в. множествах ПсГ2 была также доказана (см. 23]) в классе l log+ l log+ log* l (по этому поводу см. также работу [38])..

Заметим, что, так как из справедливости на множестве Н OJI следует справедливость на этом же множестве и СОЛ, то СОЛ справедлива при N = 1, р > 1 на произвольных измеримых множествах II с Г1, а при N = 1, р = 1 и N = 2, р> 1 на открытых п.в. множествах Н с Т N. Однако, понятия ОЛ и СОЛ не совпадают (см. [26], теорема 1)..

4. Введем следующие обозначения. Пусть М — множество чисел {1,2,., А^}, и пусть к, 1<А:<4. Обозначим: j = jk = {j,—-, jk Ь js< Jl ПРИ s<^ и (в случае k.

H&J = {х = (х К*: Xj =0 при j<=Mj}, {* = (*N) xj = 0 при jej}..

Обозначим также:.

Т$={х elSj: -n<�Х/ <71 при j = mh., mNk}..

Очевидно, mNM=mN, a TNM=TN.

M ^ ' «1 M.

Пусть Q j, j = jk с. m, — произвольные (непустые) открытые подмножества.

Г,*. Положим.

Wj-CljxT™, (0.8) wb ПwJ- (°-9).

JkczM.

Предполагая (при к >2), что, рассмотрим wk=w{w)= U wj. (0.10).

JkcM.

Множества Wk, следуя работам И. Л. Блошанского (см. 26], [27]), в случае к = 1 (т.е. ffj) будем называть «крестом изЛ^-мерных плоскостей» и W® его центром, а в случае к >1 (т.е. W2 и т. п.) будем называть «крестом из jV-мерных брусков» и wего центром..

Заметим, что в «кресте из N — мерных плоскостей» число «плоскостей» равно размерности пространства, в то время как в «кресте из N — мерных брусков» число брусков" равно Сдг (в частности, при к = 3 в случае N > 4 число «брусков» больше размерности пространства)..

5. В работах [26] и [20] И. Л. Блошанским были введены и изучены IBj и ПВ2 свойства множества XI с TN, указывающие на определенную структуру и геометрию этого множества (связанные соответственно с одномерной или двумерной проекцией определенного подмножества II). Дадим определение свойства ПВд (к = 1,2,3) множества XI (по этому поводу см. [45])..

Определение 3. Будем говорить, что множество XI с TN, N > 1, обладает свойством IB к, 1 < к < N, если существует множество Wk вида (0.10) такое, что i{Wk И) = 0, причем свойство IB^ есть свойство Mk (W®), если Wk — W (Wk)..

Замечание. Если множество Н обладает свойством ШЗ^, то оно обладает и свойством HB^+j. Обратное, вообще говоря, не верно (см. [27])..

6. Пусть Н, XI с TN, — произвольное измеримое множество, рИ >0 (N > 1). И. Л. Блошанский доказал (см. [20], [26], [27]), что для такого множества XI и любой функции /eLp (р>), /(х) = 0 на XI, lim Sn (x-/) = 0 для почти всех х е, k = k (p, N), (0.11) п -> оо тогда и только тогда, когда XI обладает свойством Шк (1¥-®-), к — 1,2, причем а) если р — 1, N > 1, то в оценке (0.11) к = 1, б) если р > 1, N > 2, то в оценке (0.11) к = 2..

Заметим, что в случае б) оценка (0.11) была доказана И. Л. Блошанским в [26] при двух дополнительных ограничениях на множество Ъ = CXI = TN XI:.

1) n (Bint (B)) = 0 6), (°-12).

2) ik Fr pryfc){int (B)} = 0 для всех наборов Jk = {j,., jk}c. M, (0.13) где j. ik — мера Лебега в пространстве Шк, pry ^{Р} - ортогональная проекция множества Р, Р с, на пространство (xj ,., Xj), int (P) — множество внутренних точек Р, Fr Рграница Р, Рзамыкание множества Р..

Таким образом, учитывая определение 2, на множестве UczTN (N> 1) в классе L (р > 1) справедлива СОЛ тогда и только тогда, когда множество XI обладает свойством Шк, к = k (p, N) = 1,2- причем, к = 1, если р = 1, N >1 и к = 2, если р > 1, N >2..

Исследования СОЛ в классах Орлича («лежащих между» L, и Lp, р> 1) на произвольных измеримых множествах XI, 1X2 были проведены в работах O.K. Ивановой [41], [43] (см. также [44]). Исследования СОЛ в некоторых других функциональных пространствах см. в работе И. Л. Блошанского [45]..

II.

Перейдем теперь к результатам, полученным в настоящей работе..

Как было отмечено выше, для случая N > 1 в классе L, справедливость или несправедливость на множестве HczTN СОЛ определяется структурой и геометрией множества XI, описываемыми свойством IB |. Причем основой справедливости СОЛ на таких множествах XI является справедливость обобщенной локализации для N = 1 в классе L]. При повышении гладкости рассматриваемых функций т. е. для функций из Lp, р > 1) в случае N >2 свойство IB, множества XI заменяется свойством IB 2, т. е. «жесткие» условия на геометрию и структуру множества XI (определяемые свойством IB,), заменяются более «мягкими» условиями, накладываемыми на ту же геометрию и структуру множества XI (определяемыми уже.

61 В частности, этому условию удовлетворяют множества ъ такие, что).i{int (b)} = узъв свою очередь последнее условие справедливо, например, для множеств В таких, что ъ = т^ Н, где И — произвольное замкнутое множество. свойством IB 2). Причем основой справедливости СОЛ на таких множествах XI (в этом случае) является справедливость обобщенной локализации при N — 2 уже в классах Lp, р>..

Возникает вопрос о еще большем ослаблении условий, накладываемых на геометрию и структуру множества Н (в терминах свойств Ш к), если рассматривать СОЛ при N >3 для более гладких функций, например, в классах H&(TN).1] В диссертации доказано, что такими «мягкими» условиями (на геометрию и структуру множества XI) для справедливости СОЛ на XI в классах Н W (TN), N>2, является свойство 2B3..

Диссертация состоит из двух глав. В этих главах мы проводим дальнейшее исследование слабой обобщенной локализации почти всюду — СОЛ (определение которой мы давали выше). Исследование СОЛ проводится в классе непрерывных функций с некоторым модулем непрерывности. А именно, для функций из классов я VW со (5) = о (со ^(5)) = о log-log log log-о о у У.

0.14) или.

N —1+6.

5) = < б < 1. 8) (0.15) ч.

Исследование СОЛ разбивается на две части в зависимости от того, в каких классах H°TN), со (5) = о (со^(5)) — (0.14) или со (5) = со^(8) -(0.15) оно проводится. Дадим точную формулировку полученных результатов. Глава 1 посвящена изучению слабой обобщенной локализации почти всюду в классе H®(TN), со (5) = о (со (0)(5)) — (0.14), N > 3. Глава состоит из трех параграфов..

7) Анализ излагаемых выше результатов по OJI (СОЛ) показывает, что с повышением гладкости рассматриваемых функций увеличивается размерность пространства N, в котором ОЛ (СОЛ) остается справедливой на открытом множестве..

81 Не ограничивая общности, будем предполагать, что логарифмы в условиях (0.14), (0.15) по основанию 2..

-13 В § 1 первой главы нами доказывается теорема о представлении частичных сумм кратных (N > 3) рядов Фурье функций из класса Hm (TN), ю (8) = о (со (0)(5)).

-(0.14)..

Введем следующие обозначения. Пусть г, 1 — целые числа, 0.

A (r, v,/) = {к е 7Ln: 0 = к0 < к{ <. < kr < N- 0 = к0 < кг+] <.< kr+v <..

Теорема I.I. Пусть f e H ю (TN), где co (8) = о (соw (5)) — (0.14). Тогда для лю.

0), бого вектора 5 = (5j ,., bN) е, б <п, j = ,., N где.

Sn (хf) = J"(b, x, f) + a"(b, х, /),.

Jn (5,x, f) = N.

8 j 8jV /••• f.

-51 -5Л.

5ft i 5.

I -0*r °*r+| °*f+v л л.

I I f I I — J J J.

5* 1 V я Л.

I I f. j JJ+.

1</<W AeA (0,v,/)-64l 5 5.

A, -8ir 5tr+,.

I I 1 — M •¦¦ 1.

I.

C (p, 5).

LP (TN).

KiTN) P> 1, константа C (p, 5) не зависит от функции f..

В § 2 первой главы, используя результат теоремы I. I, нами получены достаточные условия (в терминах структуры и геометрии множества И) сходимости п.в. на fV3° - (0.9) кратных рядов Фурье (суммируемых по прямоугольникам) функций из На (Тм), со (5) = о (ю (0) (5)) -(0.14)..

Теорема I.II. Пусть И, 1aTN, — произвольное измеримое множество, >О, N >3. Пусть f (x) = 0 на U и feHa (TN), где со (5) = о (со (0)(5)).

0.14). Тогда, если множество U, обладает свойством ПВ3(^3°), то lim Sn (х- /) = 0 почти всюду на wf..

Замечание. Результат теоремы 1.11 интересно сравнить с результатом работы [39] С. В. Конягина, доказавшим существование функции /eL (TN) с интегральным модулем непрерывности Ш](8,/) = О (со (5)), где модуль непрерывности со (5) удовлетворяет условию со (5)=Ц5) iV^V р in.

In In— 5.

-" +оо при 5 -> + 0, с расходящимся п.в. по квадратам кратным рядом Фурье..

Рассмотрим сублинейный оператор, заданный на Lp (TN):.

S*(x-/)= sup |S"(x-/)|.

0.17).

— мажоранту частичных сумм Sn{xf) функции f..

В работе Р. Ханта [19] для N — р> 1 была получена следующая мажорантная оценка:.

Sx-f).

Lp (Tl).

C (p)\f\.

LP{T) для любой функции f eLJT), где константа С (р) не зависит от функции f..

Таким образом, сублинейный оператор (0.17) в случае N = 1 (действующий из.

Lp (Г1) в себя) имеет сильный тип (р, р), р> 1. Заметим, что в случаер = 1, N = 1, указанный оператор не является не только оператором сильного типа (1,1), но даже оператором слабого типа (1,1) (см. пример А. Н. Колмогорова [30] - пример суммируемой функции с почти всюду расходящимся рядом Фурье)..

В случае N = 2 оператор (0.17) не является не только оператором сильного о типа (р, р), р > 1 (на всем пространстве Lp (T)), но даже оператором слабого типа.

9 9 р, р) на подпространстве (С (Г) пространства Lp (T). Это следует из работы [31].

Ч.Феффермана, в которой была построена непрерывная функция (/ е (С (Г)), двойной тригонометрический ряд Фурье которой неограниченно расходится всюду л внутри Т (см.

Введение

п. З)..

Однако, в [24] И. Л. Блошанским доказано, что на некоторых подпространствах.

О О eLp (T): /(х[, х2) = 0 на li}.

XI с Т) оператор (0.17), если его сузить на эти подпространства, все-таки является оператором сильного типа (р, р), р> 1 из Lp (T2 U) в Z, p (U]), Xl, cXl, р. Xt j >0 ..

А именно, для любого открытого множества XI с Т и для любого б > 0 существуют открытое множество XI j (s) cXl, pli^s) >pXle и постоянная C (p, s), такие, что для любой функции / &Lp, р> 1, f (x) = 0 на XI. Возможность получения оценок такого вида обусловлена доказанным И. Л. Блошанским обобщенным принципом локализации п.в. (см. [17] и Введение п. З)..

Дальнейшие исследования показали (см. [20], [26]), что для некоторых множеств XI (специального вида) такие мажорантные оценки можно получить «на всем множестве XI», а не только на подмножествах XI] с XI. Так, например, в [26] была получена следующая мажорантная оценка..

Пусть a, b, q е IE, q > 0 и пусть [а, а + q],[b, b + q]c [-я, тс]. Обозначим через G квадрат.

G = [a, a + q]x[b, b + q]czT2.

0.18) л.

Теорема А. (И.Л.Блошанский) Пусть f (x) е Lp (T), > 1, и пусть f (x) = 0 на Т G, где квадрат G определен в (0.18). Тогда sW).

Lp (T G) где константа С{р) не зависит ни от функции f, ни от квадрата G..

В случае N = 3 в [24] И. Л. Блошанский доказал, что для любого (непустого) открытого множества И с Г3 и для любого s > 0 существуют открытое множество U1(s) с XI,^iXlj (e) >цХ1−8 и постоянная С (р, е), такие, что.

I5W) L (Ц,(е)) ^(А8)[ш (1-/)+||/||^(г3)^>1, для любой функции / g Н ° (Г3), со (8) = о (со w (5)) — (0.14), f (x) = 0 на XI..

В § 3 первой главы мы покажем, что для некоторых множеств XI с Г3 (специального вида), опираясь на теорему, А и метод ее доказательства, а также используя факт сходимости п.в. двойных рядов Фурье функций / еЯС0(Г2), со (8) = о (со^(8)) — (0.14) (см. [25], а также Введение п. З), такие мажорантные оценки можно получить «на всем множестве XI» ..

Пусть a, b, c, q еШ1, q> 0 и пусть [а, а + q], [b, b + q], [с, с + q]с [-я, л]. Обозначим через Q куб.

Q = [a, a + q]x[b, b + q]x[c, c + q]. (0.19).

Теорема I.III. Пусть /(*) е ЯЮ (Г3), со (8) = о (со (0)(5″ - (0.14), и пусть л = 0 на TJQ, где куб Q определен в (0.19), тогда существует номер.

0),.

9 = $(/) е 7115 такой, что sup р"(х-/)| neZl.

С{р).

0)1 fhlfl.

Lp (Q) p> 1, (0.20).

Lp (TQ) где константа С (р) не зависит ни от функции f, ни от куба Q..

Заметим, что опираясь на метод доказательства теоремы I. III, нетрудно получить мажорантные оценки типа (0.20), не только на множестве U = Т Q, где куб.

Q определен в (0.19), но и на множествах И = Т П, где П — параллелепипед, П = [a, a + ql]x[b, b + q2]x[c, c + q2], a, b, c, q-, eWi q,> 0, / = 1,2,3, [a, a + g,], о b, b + q2], [c, c + g3] с [—я, я]- или И = Т U (m), где ХЦ/и) — конечное объединение таких параллелепипедов или кубов вида (0.19), причем для Н = Т константы в (0.20) будут зависеть соответственно от m — числа параллелепипедов или кубов..

Глава 2 диссертации посвящена изучению слабой обобщенной локализации для кратных тригонометрических рядов Фурье функций из класса H®{TN), со (8) = ш?) (5) — (0.15), N > 3. Глава состоит из 3 параграфов..

В § 1 главы 2 мы определяем непрерывную функцию двух аргументов f (x, y), 2 равную нулю на некотором подмножестве положительной меры множества Т, являющуюся некоторой модификацией функций, рассмотренных ранее в работах Ч. Феффермана [31], Е. М. Никишина и М. Бахбуха [32], А. Н. Бахвалова [42]. Также мы доказываем ряд вспомогательных результатов, касающихся поведения частичных сумм двойных тригонометрических рядов Фурье определенной нами функции fix. У).

В § 2 мы, основываясь на результатах, полученных нами в первом параграфе 3 главы 2, строим функцию / е (С (Т), имеющую модуль непрерывности со (5:/) = = о (с)^(б)| - (0.15), и такую, что ее тройной тригонометрический ряд Фурье расхоз дится при суммировании по прямоугольникам почти всюду на Т. А именно, мы доказываем следующее утверждение.

Утверждение II.I. Для любого г, 0 < е < 1, существует функция /(х)е#м (Г3), со (5) = cOg^(8) — (0.15), такая, что lim|5"(x-/)| =+оо почти всюду на Г3. (0.21).

Далее в § 2 мы рассматриваем поведение частичных сумм тройных тригонометрических рядов Фурье функций /е НЫ (Т3), со (8) = со^(8) — (0.15), равных нутЗ лю на некотором подмножестве г положительной меры, и устанавливаем справедливость следующей теоремы.

Теорема II.II. Существует (непустое) открытое множество Q, Q с Т такое, что для любого 8, 0 < б < 1, существуют функция F (x) -FeQ со (5) = «,?> (5) — (0.15) и множество Q (s) с П, fi (e)) < s такие, что.

1) F (x) = 0 на ОД-.

2) lim|.

И-" 00.

3) существует imSn (x-F) для почти всех хеО. (0.23).

Я-«00.

В § 3, используя результаты, полученные в § 2 главы 2, нами исследуется слабая обобщенная локализация п.в. для Nкратных тригонометрических рядов Фурье jV > 3) функций из Яш, со (5) = со^(5)-(0.15)..

Из теоремы I. II главы 1, в частности, следует, что для любого множества W3 вида (0.10) и для любой функции f (x)eHi0(TN), N>3, со (5) = о (со (0)(5)) -(0.14), такой, что f (x) = 0 на W3 lim S" (х- /) = 0 для почти всех х eJV3°. (0.24).

Возникает вопрос о том, можно ли усилить результат теоремы I. II, установив равенство (0.24) на множестве большем, чем W3, в частности, на всем множестве W3 — (0.10), на котором функция /(х) равна нулю. Следующая теорема дает частичный ответ на этот вопрос..

Введем некоторые обозначения. Пусть Qj, J = Jka М, — произвольное (непустое) открытое подмножество множества Tj. Фиксируем произвольное б, О<�б< 1, и пусть Qj=Qj (e) — (непустое) открытое множество: Q^cQ^ и fi (Q^Qj).

Wj = Wj (e) = Qj X T?-kj, (0.25).

Wk°=Wk°(e)= f| Wj. (0.26).

Jk (zM.

Теорема ИЛИ. Для любого N > 3 существует множество W3 вида (0.10) такое, что для любого е, 0 <? < 1, существуют функция /(*) = /?00 е ЯС0(Г), со (6) = (5) — (0.15) и множество W3 = W3(e) (см. (0.26) ирм k = 3) такие, что f (x) = 0 на «lim |S» (х- /)| = +оо лочяш всюду на TN W3°. (0.27).

К сожалению, на данный момент мы не можем получить оценку (0.27) на всем множестве TN W3 в классе H®(TN), когда со (5) = ю^(8) — (0.15), тем более, когда ю (6) = о (со (0)(8)) — (0.14). Тем не менее, из результата теоремы II.III. следует, что равенство (0.24) нельзя установить на всем множестве W3 = W (W3°) — (0.10), на котором функция /(х) равна нулю, в классе Ha (TN), со (8) = со^ (8)..

Теоремы 1.11 и II. III ставят новый вопрос: насколько существенна геометрия множества W3? Следующие теоремы покажут, что существенно изменить геометрию множества W3 нельзя (т.е. нельзя отказаться от «креста из N-мерных брусков» с числом «брусков» Сдг, N > 3, так же, как нельзя изменить и геометрию самих 'W-мерных брусков", оставаясь в классе Нш, со (8) = со^(8) — (0.15))..

Пусть Q^o =^{1,2,3} и J = J3 М, J3 ф J3, — произвольные (непустые) з открытые подмножества множества Tj. Фиксируем произвольное d, -n.

W, о id) = Q, о х [- я, яУ" 4 х {-к-d) х [- я, k) N~J, (0.28) J3 J3.

J3 = {l, 2,3}, интервал (-n-d) принадлежит оси Oxj, 4 < j < N и.

Wj3(d)=nj3xT^j3, (0.29).

J3 = {уi, у2' Уз Л' 1 — J < h < Ъ-М'^з ВИДИМ> множество й^о (^) является «неполным бруском». Рассмотрим далее множество.

WM= [}Wj^d)[jWjQ{d), (0.30).

J3cM 3.

J3*J3° где Ж/ - (0.29), а 0(^/)-(0.28). Очевидно, что множество fV3 (d) — «крест из N.

J3 мерных брусков", у которого один из «брусков» — неполный..

Теорема II.IV. Пусть N > 3. Для любого s, 0 < 8 < 1, существуют функция fix) = Ш е Ha (TN), оз (8) = o>?)(6) — (0.15) и множество W3 (d) — (0.30), такие, что /(х) = 0 на^з w lim|5'"(x-/)| =+оо почти всюду на TN. (0.31).

7->Х.

Теорема II.V. Пусть N > 3. Для любого е, 0 < 8 < 1, существуют функция /(*) = Л 00 е Ha (TN), со (5) = ю^ (5) — (0.15) и множество W4 — (0.10), /иакне, чаио /(х) = 0 на м lim |5&bdquo-(х-/)| =+оо почти всюду на TN. (0.32).

Теоремы И. IV и II. V доказывают существование (непустых) открытых подмножеств множества TN, N> 3, на которых в классе HW{TN), со (8) = со^(5)-(0.15) несправедлива не только обобщенная локализация, но и, более того, слабая обобщенная локализация (последнее есть следствие того, что указанные подмножества не обладают свойством ЕВ3)..

Сформулированные выше результаты имеют следующую геометрическую интерпретацию. Если функция f (x)eH (*(TN), N> 3, 00(8) = о (со (0)(5)> -(0.14) равна нулю на «кресте из N-мерных брусков» — ^3-(0.10), то в центре его (т.е. на множестве ff3°-(0.9)) почти всюду частичные суммы Sn (x-f) —> 0 при п -> оо (это следует из теоремы I. II). Таким образом, на «кресте из /У-мерных брусков» — W3 справедлива слабая обобщенная локализация п.в. При этом оказывается, что «существенно» увеличить множество, на котором 5&bdquo-(х-/)-> 0 при я-" оо, (оставаясь в рамках геометрии множеств в классе H®(TN), когда со (8) = с"^(8) — (0.15), тем более, когда ю (8) = о (о (0)(8)) — (0.14) , — невозможно (теорема I1. III). Результат теоремы II. IV заключается в том, что если из «креста из N-мерных брусков» — fV3 удалить хотя бы часть одного из «брусков», т. е. рассмотреть, например, вместо множества = ПХ^Х2>Х xTN~3 множество.

Wxhx2^d):= Qxhx2, x3x (-K, d) xTN~4, -n3, со (8) = ш?)(5) — (0.15), уже не справедлива. В свою очередь, результат теоремы II. V заключается в том, что если, оставаясь в классе НЫ (ТМ), со (8) = со^ (8), N > 3, изменить геометрию самих этих «брусков» (т.е. рассмотреть вместо множеств Wj =Qj хГ^ множества Wj4=Qja х TNM]), то СОЛ также не справедлива..

В заключение хотелось бы выразить глубокую благодарность моему научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору Блошанскому Игорю Леонидовичу..

1. Tonelli L. Serie trigonometriche. Bologna. 1928..

2. Жижиашвили Л. В. О некоторых вопросах из теории простых и кратных тригонометрических и ортогональных рядов // УМН. 1973. Т. 28, № 2. С. 65−119..

3. Жижиашвили Л. В. Сопряженные функции и тригонометрические ряды. Тбилиси. 1969..

4. Алимов Ш. А., Ильин В. А., Никишин Е. М. Вопросы сходимости кратных тригонометрических рядов и спектральных разложений // УМН. 1976. Т. 31, № 6. С. 28−83..

5. Ильин В. А. Условия локализации прямоугольных частичных сумм кратного тригонометрического ряда Фурье в классах С. М. Никольского // Матем. заметки. 1970. Т. 8, № 5. С. 595−606..

6. Goffman С., Waterman D. The localization principle for double Fourier series // Stud. Math. 1980. V. 69, № 1. P. 41−57..

7. Ашуров P.P. Условия локализации квадратных частичных сумм кратного тригонометрического ряда Фурье в классах С. М. Никольского // Матем. заметки. 1989. Т. 46, № 4. С. 3−7..

8. Bastys A.Y. Generalized localization of Fourier series with respect to the eigenfunc-tions of the Laplace operator in the classes Lp // Lith. Math. J. 1991. V. 31, № 3.P.269−282..

9. Sjolin P. Convergence almost everywhere of certain singular integrals and multiple Fourier series // Arkiv Matem. 1971. V.9, № 1. P. 65−90..

10. Liflyand E.R., Skopina M.A. Square linear means with hyperbolic factors // Analysis Math. 1998. V.18, № 4. P. 333−343..

11. Skopina M.A. Localization principle for wavelet expansions // Self-similar systems. Proceedings of the international workshop. Dubna. Russia. July 30-August 7. Dubna: Joint Institute for Nuclear Research. 1999. P. 125−132..

12. Голубов Б. И. Кратные ряды и интегралы Фурье // В сб. Итоги науки и техники. Серия Матем. анализ. М.: ВИНИТИ, 1982. Т. 19. С. 3−54.-10 213. Жижиашвили JI.B. Некоторые вопросы многомерного гармонического анализа. Тбилиси: ТГУ. 1983..

13. Алимов Ш. А., Ашуров P.P., Пулатов А. К. Кратные ряды и интегралы Фурье // Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Современные проблемы математики. 1989. Т. 42.С. 7−104..

14. Дьяченко М. И. Некоторые проблемы теории кратных тригонометрических рядов// УМН. 1992. Т. 47. № 5. С. 97−158..

15. Блошанский И. Л. Обобщенная локализация почти всюду и сходимость двойных рядов Фурье // ДАН СССР. 1978. Т.242. № 1. С. 11−13..

16. Блошанский И. Л. О равносходимости разложений в кратный тригонометрический ряд Фурье и интеграл Фурье // Матем. заметки. 1975. Т. 18. № 2. С. 153−168..

17. Carleson L. On convergence and growth of partial sums of Fourier series // Acta Math. 1966. V. 116. P. 135−157..

18. Hunt R. On the convergence of Fourier series, Orthogonal Expansions and their Continuous Analogues // Proc. Conf. Edwardsville 111. 1967. Southern Illinouis Univ. Press. Carbondale 111. 1968. P. 235−255..

19. Блошанский И. Л. Структура и геометрия максимальных множеств сходимости и неограниченной расходимости почти всюду кратных рядов Фурье функций из L |, равных нулю на заданном множестве // Изв. АН СССР. Серия матем. 1989.Т.53. № 4. С. 675−707..

20. Bloshanskii I.L. Generalised localisation and convergence tests for double trigonometric Fourier series of functions from L p, p> 1 // Analysis Math. 1981. V.7, № 1.P.3−36..

21. Блошанский И. Л. Некоторые вопросы многомерного гармонического анализа. Дисс. докт. физ.-матем. наук. М., МИАН, 1991..

22. Рослова Т. Ю. О справедливости обобщенной локализации для двойных тригонометрических рядов Фурье функций из L ln+ L ln+ ln+ L И Доклады АН России. 1998. Т.359. № 6. С. 744−745..

23. Блошанский И. Л. Два критерия слабой обобщенной локализации для кратных тригонометрических рядов Фурье функций из L, р> 1 // Изв. АН СССР. 1985.Т.49. № 2. С. 243−282..

24. Блошанский И. Л. О геометрии множеств в jV-мерном пространстве, на которых справедлива обобщенная локализация для кратных тригонометрических рядов Фурье функций из Lp, p> 1 //Матем. сб. 1983. Т. 121. № 1. С. 87−110..

25. Блошанский И. Л. О максимальных множествах сходимости и неограниченной расходимости кратных рядов Фурье функций из L, равных нулю на заданноммножестве//ДАН СССР. 1985.Т.283, № 5. С. 1040−1044..

26. Блошанский И. Л. Структура и геометрия максимальных множеств сходимости и неограниченной расходимости почти всюду кратных рядов Фурье функций из L, равных нулю на заданном множестве // Изв. АН СССР, сер. матем. 1989.Т.53, № 4. С. 675−707..

27. Колмогоров А. Н. Une serie de Fourier-Lebesque divergente presquc partout // Found. Math. 1923. V. 4. P. 324−328..

28. Fefferman C. On the divergence of multiple Fourier series // Bull. Amer. Math. Soc. 1971. V.77.№ 2. P. 191−195..

29. Бахбух M., Никишин E.M. О сходимости двойных рядов Фурье от непрерывных функций//Сибирск. матем. ж. 1973. Т. 14. № 6. С. 1189−1199..

30. Бахбух М. О достаточной сходимости двойных рядов Фурье по прямоугольникам // Матем. заметки. 1974. Т. 15. № 6. С. 836−838..

31. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т. 1. М.: Мир. 1965..

32. Блошанский И. Л. Обобщенная локализация для кратных рядов Фурье и геометрия измеримых множеств в //-мерном пространстве // ДАН СССР. 1982. Т.266. № 4. С. 780−783..

33. Харди Г., Литтлвуд Д., Полиа Г. Неравенства. М.: Изд. ИЛ. 1948..

34. Konyagin S.V. On divergence of trigonometric Fourier series over cubes // Acta Sci. Math. (Szeged). 1995. V. 61. P.305−329..

35. Жижиашвили Л. В. О сходимости кратных тригонометрических рядов Фурье // Сообщ. АН ГССР. 1975. Т. 80, № 1. С. 17−19..

36. Иванова O.K. Слабая обобщенная локализация в пространствах Орлича. Дисс.. канд. физ.-матем. наук. М., 1999..

37. Бахвалов А. Н. О расходимости всюду рядов Фурье непрерывных функций многих переменных // Матем. сб. 1997. Т. 188. № 8. С. 45−62..

38. Иванова O.K. Мажорантные оценки для частичных сумм кратных рядов Фурье функций из пространств Орлича, равных нулю на некотором множестве // Матем. заметки. 1999. Т. 65. № 6. С. 821−830..

39. Блошанский И. Л., Иванова O.K. Слабая обобщенная локализация для тригонометрических рядов Фурье функций из классов Орлича // Тезисы докл. 12-й Саратовской зимней шк. Саратов. Изд. ГосУНЦ «Колледж». 2004. С. 28−29..

40. Мацеевич Т. А. Слабая обобщенная локализация для кратных рядов Фурье функций из Я (0 // Тезисы докл. Воронежской зимней матем. шк. Воронеж. ВГУ. 1997. С. ИЗ..

41. Мацеевич Т. А. О справедливости слабой обобщенной локализации для кратных рядов Фурье функций из Я&trade- // Тезисы докл. 9-й Саратовской зимней шк. Саратов. Изд. СГУ. 1998. С. 113..

42. Мацеевич Т. А. О слабой обобщенной локализации для кратных рядов Фурье непрерывных функций с некоторым модулем непрерывности // Тезисы докл. Межд. конф. «Математика. Образование. Экономика». Чебоксары. Изд. Чуваш, ун-та. 1998. С. 25..

43. Мацеевич Т. А., Блошанский И. Л. Слабая обобщенная локализация для кратныхрядов Фурье в классах Я'' // Тезисы докл. Межд. конф. «Теория приближений и гармонический анализ». Тула. ТулГУ. 1998. С. 50−52..

44. Мацеевич Т. А. О поведении частичных сумм кратных рядов Фурье функций изш, равных нулю на некотором множестве положительной меры // Тезисы докл. 11-й Саратовской зимней шк. Саратов. Изд. ГосУНЦ «Колледж». 2002. С. 133..

45. Мацеевич 'Г.А. Оценки частичных сумм кратных тригонометрических рядов Фурье непрерывных функций с некоторым модулем непрерывности // Совр. проблемы приклад, математики и мат. моделирования: Материалы конф. Воронеж. ВГТА. 2005. С. 149..

46. Мацеевич Т. А. О геометрии множеств, на которых справедлива слабая обобщенная локализация для кратных рядов Фурье непрерывных функций с некоторым модулем непрерывности // Вестник МГСУ. 2007. № 1. С. 27−30..