Научно-педагогические основы развития количественных представлений у детей дошкольного возраста

Психолого-педагогические аспекты развития количественных представлений у детей дошкольного возраста

Пути совершенствования количественных представлений у детей дошкольного возраста были изучены такими авторами, как Г. С. Костюк [15], А.М. Леушина[18], В.В. Данилова[21], А. А. Столяр [28].

Овладение ребенком понятием числа является процессом, давно привлекающим к себе внимание педагогов, психологов и философов.

Ссылаясь, на Ф. Энгельса, Г. С. Костюк [15] отмечает, что понятие числа, не возникло в голове из чистого мышления, а представляет собой отражение количественных отношений, существующих в объективной действительности. Чтобы считать, надо иметь не только предметы, подлежащие счету, но обладать уже способностью отвлекаться при рассматривании этих предметов от всех прочих их свойств, кроме числа, а эта способность — это результат долгого, опирающегося на опыт, исторического развития.

Подходя исторически к понятию числа и человеческих способностей, проявляющихся при его образовании, диалектико-материалистическое выяснение его происхождения наносит решительный удар по всякой мистике в трактовке природы этого понятия.

По мнению Г. С. Костюка [15], понятие числа возникает в процессе познания ими количественных отношений окружающих предметов и развития у них способности абстрагировать эти отношения от других свойств объектов. Различение количеств объектов сначала имеет у детей наглядный характер и лишь затем превращается в абстрактную числовую их оценку.

Советские исследователи (К.Ф. Лебединцев, Н. А. Менчинская и другие) отмечает Г. С. Костюк [15], выяснили ряд сторон процесса усвоения числовых понятий детьми, обогатив этим нашу детскую, педагогическую психологию и методику. Но много вопросов, касающихся этого процесса, еще не решены — это в первую очередь вопросы самого генезиса понятия числа у ребенка. В имеющихся работах возникновение понятия числа вполне правильно трактуется, как следствие способности ребенка абстрагировать количественные отношения наблюдаемых предметов и явлений окружающего мира от других их свойств. Но остается не выясненным вопрос о том, как возникает у ребенка сама способность абстрагировать число от других свойств объектов, какие условия и процессы приводят к ее возникновению и что является движущей силой дальнейшего ее развития.

Г. С. Костюк [15] утверждает, что ребенок начинает с наглядно-действенного различения совокупностей предметов и постепенно путем абстрагирования количественных отношений от других свойств предметов приходит к абстрактной нумерической их оценке.

Г. С. Костюк [15] подчеркивает, что различение небольших множеств конкретных объектов возникает у детей довольно рано. Оперируя в игровой деятельности, в своих взаимоотношениях с взрослыми и между собой различными предметами, дети при этом в определенной степени обращают внимание на их множественность и величину.

Практическая связь ребенка с окружающим его миром подготавливает возникновение у него наблюдения как первого познавательного действия. В процессе практического оперирования предметом вырабатываются у детей те свойства, которые становятся внутренней предпосылкой дальнейшего осознания ими количественных отношений этих предметов.

Опираясь на пространственные признаки и формы, дети делают первые шаги в различении количеств предметов. Нераздельное единство количества и пространственной величины всюду проглядывает у детей и в значениях их первых «много» и «мало». Пространственные признаки лежат и в основе тех суждений «больше», «меньше», которые дети одного возраста высказывают, сравнивая наглядно данные группы объектов.

А.А. Столяр [28] отмечает, что количественные свойства сравниваемых детьми групп предметов выступают для них в своих пространственных формах и не абстрагируются еще от них. Оценка сравниваемых совокупностей оказывается адекватной действительности там, где их количественные и пространственные свойства совпадают. Кроме размера, занятого места и его заполненности предметами в оценке детьми конкретных совокупностей этих предметов существенную роль играет форма их пространственного размещения. Роль формы особенно ярко выступает там, где детям в процессе общения с взрослыми приходится по их заданию отбирать определенные количества предметов.

По мнению Г. С. Костюка [15], роль формы размещения объектов в оценке детьми их количества ярко проявилась и в выполнении ими заданий, в которых требовалось найти заданное количество объектов среди других трех количеств. Дети охотно и с успехом выполняли эти задания. Практическое оперирование некоторыми количествами объектов у детей трехлетнего возраста опережает осознание их количества.

Существует две точки зрения относительно вопроса о том, как возникает у ребенка первое осознание количественной стороны группы предметов. Представители первой точки зрения считают, что осознание количества возникает как результат непосредственного восприятия разных групп предметов и называния каждой группы соответствующим словом. Представители другой точки зрения полагают, что осознание количества возникает как выраженный в слове результат последовательного перебирания элементов конкретной совокупности, выделения единичных предметов из данного их множества.

Некоторые авторы выдвигают компромиссное решение этого вопроса. В советской психологической и методической литературе его инициатором был К. Г. Лебединцев. Основываясь на наблюдениях над развитием числовых представлений, он пришел к выводу, будто осознание первых чисел возникает путем созерцания групп предметов, симультанного их схватывания, а понятие о числах, больших, чем пять, образуется при помощи последовательного выделения элементов множества, их счета.

Г. С. Костюк [15] указывает на общий недостаток проявившихся точек зрения: в каждой из них какое-нибудь одно из психологических условий образования понятия числа принимается за существо этого процесса. Осознание количеств даже на первых шагах, касающихся чисел в пределах пяти, оказывается значительно более сложным процессом, чем это считали представители вышеуказанных взглядов. Как и всякий акт осознания, оно представляет собой решение новой для ребенка задачи, требующей абстрагирования количественных отношений от остальных свойств множеств предметов.

А.А. Столяр [28] подчеркивает, что необходимость абстрагировать эти отношения порождается потребностями самой деятельности ребенка и теми условиями, при которых она совершается. Количественные отношения, по мнению Г. С. Костюка [15], станут предметом его сознания там, где выполнение действия с множествами предметов наталкивается на затруднения, обусловленные расхождением между количественным составом и другими свойствами этих множеств. Противоречие, возникающее между новыми задачами, в разрешение которых включается ребенок, и наличными у него наглядными способами различения конкретных множеств предметов побуждает его к раскрытию новых сторон в тех объектах, с которыми он имеет дело.

Первые шаги на пути к осознанию количественных отношений этих объектов ребенок делает в процессе общения с взрослыми, преодолевая при выполнении практических действий с группами предметов затруднения, вызванные расхождением между количественными и другими свойствами этих групп. Преодолевая эти затруднения, ребенок приходит к осознанию того, что бывают одинаковые количественно группы или множества предметов при различном их внешнем виде и разном качественном составе.

Г. С. Костюк [15] отмечает, что при изменении формы пространственного размещения становилось более трудным для детей выполнение задания найти и показать данное количество фигурок среди других больших или меньших их количеств.

Г. С. Костюк [15] доказывает, что абстрагирование ребенком количественного состава множества от других его особенностей, необходимое для его осознания, осуществляется путем сопоставления один по одному члену этого множества с другим множеством конкретных предметов. В результате этого в восприятии ребенком данного множества возникает качественно новый момент: зарождается понимание его количественной одинаковости с другим множеством. Первое понимание количественной одинаковости сравниваемых множеств предметов связано у ребенка с конкретной ситуацией и практическим действием, при помощи которого оно осуществляется.

Обобщение первых количественных оценок совокупностей возникает у ребенка в результате решения им новых познавательных задач, требующих выработки более совершенных способов абстрагирования количества от других свойств множеств. Как и первое осознание количественных отношений вещей, так и обобщение их количественной оценки возникает у ребенка в процессе общения с взрослыми.

Г. С. Костюк [15] отмечает, что первичный способ осознания ребенком количественного состава групп предметов превращается в счет. Счет возникает у ребенка как качественная модификация его способов познания множеств предметов, осуществляемого в общественных условиях. Его возникновение подготавливается предыдущими действиями ребенка с множествами предметов.

Следует отметить, что при всем разнообразии случаев, легко можно выделить типичные ситуации, имеющие место на данном этапе овладения детьми количественной характеристикой этих отношений. Словесное определение количества объектов выступает как более высокая форма обобщения опыта познания этого количества.

Актуализация тех или иных способов определения количества предметов зависит и от характера того задания, в выполнение которого дети включаются, подчеркивает Г. С. Костюк [15].

Эти индивидуальные особенности оперирования детьми количествами вещей, находят свое объяснение в конкретных общественных условиях психического развития ребенка, в частности в том воспитательном руководстве психической деятельностью ребенка, которое осуществляется в семье и в детских учреждениях.

Г. С. Костюк [15] предлагает проследить, как развиваются дальше у детей способы определения количеств предметов и оперирования ими. Для этого детям различных групп были предложены задания, подобные предыдущим.

В достижениях овладения счетом у 4-х леток наблюдается больший запас числительных, при этом воспроизведение их было более координированным с выделением элементов пересчитываемой совокупности. У детей старшей группы уже абстрагирование и таких количеств, как 6, 7, 8 от их пространственных признаков не вызывает особенных затруднений. Этот факт указывает на овладение детьми новыми, более совершенными приемами абстрагирования, опирающимися на предыдущие достижения в познании ими числа.

Г. С. Костюк [15] утверждает, что генезис понятия числа у ребенка даже на первых этапах является сложным процессом. Осознание ребенком количественной стороны множеств предметов зарождается в процессе его общения с взрослыми. Осознание ребенком количества предметов возникает не просто как образ непосредственно воспринимаемых множеств, а как суждение о количественной одинаковости сравниваемых множеств при различном их качественном составе и различной форме пространственного размещения.

Г. С. Костюк [15] подчеркивает, что процесс становления этого понятия у ребенка действительно является важной стороной истории его умственного развития.

А.А. Столяр [28] изучал методику формирования количественных представлений в подготовительной к школе группе.

В содержании работы по формированию количественных представлений в подготовительной группе А. А. Столяр [28] выделяет следующие направления:

• 1. Развитие счетной, измерительной деятельности: точности и быстроты счета; воспроизведения количества предметов в большем и меньшем на один от заданного их числа; подготовка к усвоению чисел на базе измерения; использование цифр в разных видах игровой и бытовой деятельности.
• 2. Совершенствование умений сравнивать числа, понимание относительности числа. Уточнение представлений о закономерностях образования чисел натурального ряда, количественном составе их из единиц, составление чисел до 5 из двух меньших.
• 3. Формирование представлений об отношениях «целое-часть» на совокупностях, состоящих из отдельных предметов, при делении предметов на равные части, в ходе измерения условной меркой.
• 4. Увеличение и уменьшение чисел в пределах 10 на единицу, подготовка к усвоению арифметических действий сложения и вычитания. Решение простых арифметических задач, используя при этом вычислительные приемы увеличения и уменьшения на единицу.

В подготовительной к школе группе совершенствуются умения, сформированные в процессе обучения детей в старшей группе, изучается количественный состав чисел из единиц в пределах 10 и состав чисел до 5 из двух меньших, что является непосредственной подготовкой к усвоению арифметических действий и приемов вычислений, отмечает А. А. Столяр [28].

Для уточнения знаний о разностных отношениях между смежными числами проводятся упражнения на последовательное увеличение или уменьшение чисел на единицу, составление «числовой лесенки». Особое значение имеют аналогичные упражнения на последовательное уменьшение чисел. Такие упражнения способствуют, подчеркивает А. А. Столяр [28], осмыслению детьми отношений между числами в обратном порядке, переходу к устному произнесению чисел, «обратному счету».

Состав чисел из единиц закрепляется на разнородных предметах. Детям предлагается взять определенное количество разных предметов и сообщить, из скольких единиц состоит число. Усложнением является ознакомление детей с составом чисел до 5 из двух, меньших данного числа. Дети, используя наглядный материал, учатся раскладывать группы в три, четыре, пять предметов на две меньшие. Г. С. Костюк [15] также отмечал, что старшие дошкольники, выполняя задания, прибегали к присчитыванию группами. Операция присчитывания группами вырабатывалась у детей в процессе выполнения ими различных заданий арифметического содержания.

А.А. Столяр [28] указывал на то, что формирование у детей старшего дошкольного возраста представления об общих зависимостях между целым и частью на разном содержании способствует совершенствованию количественных представлений, готовит к усвоению соответствующих математических понятий в школе.

Обучение детей счету групп предметов сопровождается делением совокупности, выделением отношений «целое-часть», зависимости: чем больше по количеству целое, тем больше предметов в группе. В подготовительной группе закрепляются способы деления, знания о соотношениях целого и части, полученные в старшей группе.

Целесообразно введение символики для обозначения отношений «больше», «меньше», «равно» (, =). Освоение детьми элементов символики способствует осмыслению ими количественных отношений в натуральном ряду чисел. Переход от сравнения чисел, отличающихся на один, к сравнению чисел с большей разностью, отмечает А. А. Столяр [28], может быть обоснован не только наглядно, но и с помощью рассуждений, основанных на свойстве транзитивности отношений ().

А.М. Леушина [18] рассматривала особенности развития у детей деятельности счета.

Следует отметить, что, изучая и наблюдая действия детей с множествами, можно заметить у них большой интерес к множественности одинаковых предметов. Детей двух лет привлекает множественность однородных предметов, звуков и движений, но при этом они равнодушны к тому, одинакового ли цвета и размера все элементы множества.

Манипуляции с множественностью служат пропедевтикой будущей счетной деятельности детей, особенно это становится очевидным, когда все движения с предметами сопровождаются повторением одного и того же слова. При этом устанавливается еще не осознанное ребенком взаимнооднозначное соответствие между количеством предметов, вернее, движений и количеством произносимых слов.

Такое манипулирование с множествами А. М. Леушина [18] рассматривала как первый этап в развитии счетной деятельности. В дальнейшем появляется интерес к сравнению величин и множеств. Это характеризует в основном детей третьего года жизни и рассматривается как второй этап в развитии счетной деятельности.

На третьем этапе развития счетной деятельности при сопоставлении элементов сравниваемых множеств начинает включаться последовательное называние слов-числительных. Развитие этого этапа, по мнению А. М. Леушиной [18], в значительной степени обусловлено обучением. При отсутствии или неправильном обучении дети не усваивают приемы соотнесения числительных с объектами множеств и, как правило, не умеют обобщить все пересчитанное множество.

Г. С. Костюк [15] отмечает, что это часто встречается в тех случаях, когда взрослые спешат с обучением счету с помощью слов-числительных и не учат сравнивать поэлементно конкретные множества и на основе сравнения определять их равенство и неравенство. Усвоив же в дочисловой период, что множества бывают равными и неравными, дети начинают проявлять интерес к счетной деятельности, именовать множества числами.

На четвертом этапе дети старшей группы овладевают пониманием количественного значения числа и пониманием взаимно-обратных отношений между смежными числами натурального ряда.

На пятом этапе, опираясь на знания и умения детей, можно обучить детей шести-семи лет счету множеств с различным основанием единицы, когда считают уже не отдельные предметы, а группы, состоящие из нескольких предметов. Деятельность счета поднимается на более высокий уровень.

Шестой этап в основном падает на 1 класс школы. Упражняясь в счете множеств с различным основанием единицы, дети усваивают счет десятками.

А.М. Леушина [18] подчеркивает, что в процессе развивающейся счетной деятельности у детей формируется целый ряд понятий, а также возникает и развивается новый вид деятельности — измерение. Усвоение счетной деятельности и в процессе ее развитие целого ряда понятий совершается не само собой, а в результате организованного взрослыми обучения.

Очень важно с самого начала создать четкий образ действия счета, например направление движения правой руки, слева направо, при использовании приемов наложения и приложения предметов совокупности на линейно расположенном образце. Важно, чтобы все движения в счетной деятельности выполнялись с самого начала правильно.

Исследования А. В. Запорожца [12] о формировании произвольных движений свидетельствуют, что надлежащая организация ориентировки ребенка в условиях задания и в характере его выполнения обеспечивает более быстрое овладение действием и формирование навыка.

Процесс счета состоит из ряда компонентов, каждым из которых ребенок должен овладеть и в тоже время усвоить их взаимосвязь. Совершается развитие двигательного и речевого компонента, они проходят общий путь развития: от внешнего, развернутого действия к внутреннему, сокращенному. Важно раскрыть перед ребенком все компоненты счетной деятельности, создать четкий образ этого сложного действия, с тем, чтобы он пользовался ею в разных условиях жизни.

Таким образом, подчеркивает А. М. Леушина [18], обучение счету с помощью слов-числительных необходимо производить на основе сравнения двух множеств, выраженных смежными числами.

А.М. Леушина [18] отмечает, что порядок называния слов-числительных не является стабильным. Постепенно слова-числительные как бы выстраиваются в ряд и называются по порядку. Вначале упорядочивается лишь некоторое множество числительных, после него числительные называются, хотя и с промежутками, но всегда в восходящем порядке. Однако называние числительных даже в большом объеме еще не свидетельствует об усвоении деятельности счета.

Следует отметить, что, обучая счету, необходимо одновременно знакомить детей с взаимно-обратными отношениями между смежными числами, опираясь в этом обучении на сравнение конкретных множеств.

В работах Ж. Пиаже и Б. Инельдер, посвященных изучению особенностей спонтанного развития у детей действий упорядочивания множеств и понимания ими порядковых отношений, указывается на недоступность для детей дошкольного возраста взаимно-обратных отношений в упорядоченном ряду множества. Исследования таких советских авторов как Л. А. Венгер [24], Е. В. Проскур, А. М. Леушина [18] отвергают выводы Ж. Пиаже и Б. Инельдер. В условиях организованного обучения дети шести-семи лет овладевают пониманием обратимости.

Итак, утверждает А. А. Столяр [28], в подготовительной к школе группе дети усваивают закономерности образования чисел натурального ряда, могут практически, а иногда и логически установить равенство и неравенство чисел, обосновать последовательность построения чисел; эти умения и навыки обеспечивают преемственную связь в подготовке детей к усвоению школьной математики.