Производственная функция Кобба-Дугласа

Как уже говорилось производственная функция — это зависимость между набором факторов производства и максимально возможным объемом продукта, производимым с помощью данного набора факторов. Производственная функция всегда конкретна, т. е. предназначается для данной технологии. Новая технология — новая производительная функция. С помощью производственной функции определяется минимальное количество затрат, необходимых для производства данного объема продукта [1].

Производственные функции, независимо от того, какой вид производства ими выражается, обладают следующими общими свойствами:

• 1) Увеличение объема производства за счет роста затрат только по одному ресурсу имеет предел (нельзя нанимать много рабочих в одно помещение — не у всех будут места).
• 2) Факторы производства могут быть взаимодополняемы (рабочие и инструменты) и взаимозаменяемы (автоматизация производства).

Наиболее простой является двухфакторная модель производственной функции Кобба — Дугласа, с помощью которой раскрывается взаимосвязь труда (L) и капитала (К). Эти факторы взаимозаменяемы и взаимодополняемы. Еще в 1928 году американские ученые — экономист П. Дуглас и математик Ч. Кобб — создали макроэкономическую модель, позволяющую оценить вклад различных факторов производства в увеличении объема производства или национального дохода. Эта функция имеет следующий вид:

.

где — объем выпущенной продукции;

• — объем основного капитала (основные фонды);
• — затраты труда (численность занятых);
• — числовые параметры;, [12].

При построении производственной функции Кобба-Дугласа параметры можно оценить с помощью линейного регрессионного анализа по методу наименьших квадратов (МНК):

1) Производственную функцию Кобба-Дугласа (1) приводят к линейному виду путем логарифмирования.

• 2) При применении МНК цель заключается в минимизации суммы квадратичных отклонений (SSD) между наблюдаемыми величинами ,
• (; - количество наблюдений) и соответствующими оценками .
• 3) Введем векторы

и матрицу.

Тогда критерий (3) можно записать в виде Дифференцируем SSD по вектору Х и приравниваем производную к нулю систему уравнений МНК:

или.

4) Для оценки критерия значимости выборочных коэффициентов регрессии оценивают дисперсию выборочных коэффициентов:

где — элементы главной диагонали матрицы ;

— дисперсия погрешности измерений.

Оценка определяется по формуле:

Рассчитывается значение — параметра Если полученное значение больше, чем табличное при степеней свободы, тогда существенно отлично от нуля при уровне .

Доверительные границы для определяются по формуле.

.

Тогда вероятность того, что величина действительно находится в этих пределах, составит .

5) Для оценки адекватности регрессивной модели наблюдаемым величинам объема выпуска рассчитывается коэффициент множественной детерминации:

.

где.

При малом объеме выборки используется скорректированный коэффициент множественной детерминации Чем меньше отличается от единицы, тем более обосновано решение о том, что выборочные коэффициенты регрессии могут быть полезны для изучения производственного процесса [12].