Метод начальных параметров при расчете балок на изгиб
Т. е. нужно продифференцировать выражение для прогиба (1.5) по х. Изгибающий момент и перерезывающая сила равняются нулю. Где EI — жесткость балки, v — прогиб, q — нагрузка. Прогиб и изгибающий момент равняются нулю. Прогиб и угол поворота равняются нулю. Граничное условие уравнения (1.1). Условие на конце балки. Свободно опертый конец. Жесткое закрепление. Граничные условия. Свободный конец… Читать ещё >
Метод начальных параметров при расчете балок на изгиб (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
В качестве исходного в методе начальных параметров принимается дифференциальное уравнение изгиба оси балки 4го порядка.
EIvIV=q (x), (1.1).
где EI — жесткость балки, v — прогиб, q — нагрузка.
Это уравнение устанавливает зависимость между прогибом балки v и внешней нагрузкой q. И оказывается возможным найти изогнутую ось балки непосредственно по виду внешней нагрузки, не прибегая к предварительному ее статическому расчету и не составляя выражения изгибающего момента по участкам. Решение уравнения (1.1) имеет вид:
(1.2).
где С1, C2, Сз, С4 — произвольные постоянные интегрирования; 3!, 2! — это математическая функция — факториал. Согласно определению, n! — это произведение всех натуральных числе от единицы до n включительно. Т. е. выражение (1.2) можно записать и без использования функции факториала:
(1.3).
— частное решение неоднородного уравнения (1.1), имеющее вид для данной задачи:
(1.4).
Суть метода начальных параметров заключается в том, что произвольным постоянным интегрирования в решении (1.2) или (1.3) С1, C2, Сз, С4 определен физический смысл, заключающийся в том, что прогиб в начале координат (x=0) есть постоянная С4, уменьшенная в EI раз, т. е. угол наклона оси балки в начале координат есть постоянная С3, уменьшенная в EI раз, т. е. изгибающий момент в начале координат есть постоянная C2 с противоположным знаком M (0)= -C2 перерезывающая сила Q (0) — постоянная C1, с противоположным знаком Q (0) = - C1. Вводя обозначения v0 = v (0), M0 = M (0), Q0 = Q (0),.
приходим к выражению для определения прогиба в любой точке оси изогнутой балки:
(1.5).
Данное решение дифференциального уравнения изогнутой оси балки вместо постоянных интегрирования С1, С2, С3, С4, содержит начальные параметры v0, v'0, М0, Q0, которые также играют роль постоянных интегрирования, но в отличии от Ct, С2, С3, С4 наделены ясным физическим смыслом: представляют собой прогиб, угол поворота, изгибающий момент и перерезывающую силу в начале координат. Если начало координат выбрано на левом конце балки, что обычно имеет место при проведении практических расчетов, то указанные величины представляют прогиб, угол поворота, изгибающий момент и перерезывающую силу на левом конце балки. Последнее слагаемое в формуле (1.5) выражает влияние внешней нагрузки, приложенной к балке. Выражения для разного вида нагружения балки приведены в [7]. Подставляя соответствующее приложенной нагрузке выражение, приходим к уравнению, определяющему прогиб в любой точке оси балки с точностью до четырех начальных параметров. Для определения четырех постоянных служат граничные условия, имеющие вид для типичных случаев (табл. 1).
Таблица 1.
Граничные условия.
характер опоры. | условие на конце балки. | граничное условие уравнения (1.1). |
жесткое закрепление. | прогиб и угол поворота равняются нулю. | v=v'=0. |
свободный конец. | изгибающий момент и перерезывающая сила равняются нулю. | M=Q=0. |
свободно опертый конец. | прогиб и изгибающий момент равняются нулю. | v=M=0. |
Два из четырех параметров определяются сразу же из граничных условий, поставленных на левом конце балки. Для двух других начальных параметров необходимо сформулировать два граничных условия на другом ее конце. После определения всех четырех неизвестных постоянных, полностью найден прогиб балки. Первая производная по х позволяет получить выражение для угла поворота оси балки. Для вычисления изгибающего момента и перерезывающей силы используются известные соотношения сопромата [6]:
(1.6).
т.е. нужно продифференцировать выражение для прогиба (1.5) по х.
Если к балке приложены несколько нагрузок разного типа одновременно, то нужно суммировать все члены, отражающие эти нагрузки в выражении (1.5).