Исследование чувствительности решения к изменениям коэффициентов целевой функции

графический решение линейный программирование Анализ чувствительности полученного решения к варьированию коэффициентов функционала, как и в предыдущих случаях, предусматривает нахождение пределов изменений коэффициентов cj при постоянстве оптимального решения.

При графическом представлении решения задачи ЛП изменение коэффициентов в выражении целевой функции соответствует изменению ее наклона. Возможные пределы поворота целевой функции определяются наклоном границ ОДР, примыкающих к оптимальной вершине.

Более подробно рассмотрим на конкретном примере.

Пример Заданы система ограничений:

x1, x2 0,.

и следующая целевая функция: FMAX = 2×1 + 5×2 .

Графическое решение задачи приведено на рис. 9. Оптимальной является вершина В. Примыкающие к ней границы ОДР АВ и ВС определяются 4-м и 1-м ограничениями соответственно.

Найденное оптимальное решение остается прежним, если наклон прямой FMAX будет меньше или равен наклону прямой ВС, но больше или равен наклону прямой АВ. На рис. 9 показаны предельно возможные положения прямой FMAX (когда наклон FMAX и границы одинаков) {1} и {2}.

В случае {1} выражение для целевой функции совпадает с левой частью 1-го ограничения, то есть FMAX = 2×1 + 3×2. Если уменьшать коэффициент при x2 или (и) увеличивать при x1, оптимальное решение перейдет в точку С. В случае {2} выражение для функционала по аналогии принимает вид: FMAX = -x1 + 4×2. При увеличении (по модулю) коэффициента при x1 и (или) уменьшении при x2 оптимальной станет вершина, А и, следовательно, оптимальное решение изменится.

Также в рамках исследований на чувствительность к варьированию исходных параметров задачи ЛП можно определить, какие из коэффициентов задачи целесообразно изменять для увеличения оптимального значения функционала.

В качестве примере рассмотрим задачу об использовании сырья (ресурсов).

Задача формулируется следующим образом: предприятие располагает запасами сырья трех видов — s1, s2, s3 соответственно в количествах b1, b2, b3. Из этого сырья может производиться два вида изделий: P1, P2. Известны: aij — количество единиц siго вида сырья, идущего на изготовление единицы Pj — го вида изделия, и cj — доход, получаемый от реализации одной единицы каждого вида изделия. Все указанные величины представлены в таблице.

Прибыль от продажи изделия P1 равна 3 условным единицам, от продажи одного изделия P2 — 2 условным единицам.

Необходимо составить такой план выпуска продукции, при котором доход предприятия от реализации изделий обоих видов был бы максимальным.

Для построения математической модели задачи введем следующие обозначения: x1 — количество единиц изделия вида P1, x2 — количество единиц изделия вида P2, которое может выпустить предприятие.

Исходя из условий задачи составляем систему ограничений и выражение для целевой функции:

x1, x 2 0,.

FMAX = 3×1 +2×2 .

Полученная система ограничений устанавливает, что количество сырья, расходуемое на изготовление всех изделий, не может превысить имеющихся на предприятии запасов.

На рис. 10 представлено графическое решение рассматриваемой задачи. Функционал достигает своего максимального значения FMAX (4.7; 6.9) = 27.86 в вершине С. Точка оптимальности С лежит на пересечении прямых ВС и CD. Поэтому изменение расположения этих прямых (параллельный перенос или наклон) приведет к изменению координат точки С, а следовательно, и значения целевой функции.

Исследуем, какие из исходных параметров данной задачи влияют на увеличение оптимального значения функционала.

Прибыль, которую получит предприятие, зависит от объемов выпуска продукции видов P1, P2. Производство продукции ограничивается запасами сырья. Причем из анализа ОДР следует, что лимитирующими (дефицитными) ресурсами будут только b1, b2, поскольку они являются коэффициентами правых частей ограничений, задающих прямые CD и ВС соответственно. Прямая АВ непосредственно не примыкает к оптимальной вершине, поэтому изменение в определенных пределах количества ресурса b3 (см. п. 2.1.) не повлияет на оптимальный выпуск продукции. Это свидетельствует о том, что данный ресурс используется не полностью, т. е. имеет место скрытый запас этого вида сырья. Дефицитные ресурсы при производстве расходуются в полном объеме. Увеличив запас любого из них, предприятие получает возможность скорректировать план выпуска так, чтобы в результате повысить свой доход.

Геометрически сказанное интерпретируется следующим образом: коэффициент b1 или b2 получает приращение, соответствующая прямая смещается параллельно самой себе в направлении от начала координат (в данном примере), что приводит к изменению положения точки оптимальности, а значит, и значения целевой функции (оно увеличивается). Пределы варьирования b1 и b2 определяются аналогично пункту 2.1.

Поскольку в рассматриваемой задаче нас интересует максимизация функционала, то целесообразно определить только верхние пределы изменения b1MAX, b2MAX. Тогда, исследуя коэффициенты поочередно, получаем:

b2MAX = 32.5, FMAX (4.4; 7.9) = 28.93 (b1 = 20);

b1MAX = 44.5, FMAX (14.8; 0.1) = 44.64 (b2 = 30).

Полученные значения b2MAX = 32.5 и b1MAX = 44.5 означают, что, увеличивая запасы соответствующего ресурса сверх указанных пределов, предприятие уже не получит дополнительной прибыли при остальных неизменных параметрах производства.

Также можно исследовать поведение целевой функции при одновременном варьировании b1 и b2 .