Теоретические основы. 
Арбитраж на рынке опционов на основе подразумеваемой волатильности

Задача данной главы — обобщить и систематизировать опыт уже существующих исследований в области арбитража на рынке опционов на основе подразумеваемой волатильности и прояснить некоторые аспекты, которые необходимы для полноценных и наиболее точных расчетов в рамках данного исследования.

Структура данной главы построена таким образом, чтобы последовательно раскрыть знания, накопленные в данной области. В первую очередь будут рассмотрены модели ценообразования опционов и природа подразумеваемой волатильности. Следом идет рассмотрение моделей, которые доказывают существование возможности совершить арбитражную сделку с использованием хеджированных опционных позиций, и в конце рассматриваются аспекты прогнозирования волатильности базового актива и определения безрисковой ставки процента. В данной главе содержатся некоторые математические выражения. С целью исключения излишних пояснений о значении каждой из переменных, составим список с описанием этих переменных. Остальные переменные будут определяться по мере необходимости.

	цена опциона call.
	цена опциона put.
	цена базового актива.
	страйк.
	безрисковая ставка процента.
	начальный момент времени.
	момент экспирации опциона.
	настоящая волатильность.
	подразумеваемая волатильность.
	дивиденды.
	прибыль/убыток.

Теоретические основы оценки опционов Начиная с начала прошлого столетия ученые выводили различные модели для оценки производных финансовых инструментов, в том числе опционов. Одной из первых работ в данной области послужило исследование Bachelier (1900), основанное на исследовании French. Первоначально расчеты основывались на очень большом количестве ограничивающих предпосылок, также содержали множество ненаблюдаемых переменных, что делало эти модели пригодными только в теоретических контекстах и исследованиях. Возможность арбитража на основе волатильности, зародилась именно из-за модели, разработанной Black & Scholes (1973) для оценки опционов, которые помогали инвесторам определить справедливую цену финансового инструмента и выявлять недооцененные и переоцененные активы, получать гарантированную прибыль, занимая соответствующие позиции.

Основным исследованием в области ценообразования опционов является работа Black & Scholes (1973), которая послужила основой для большинства последующих работ не только в данной тематике, но и в других областях. Авторы ставили себе цель получить наиболее точное выражение для вычисления цены опциона на основе наблюдаемых рыночных показателей. Следует отметить, что и до этого существовали нетривиальные модели оценки предполагаемой стоимости опциона, например, в работе Sprenkle (1961) как раз была сконструирована такого рода модель. В целом, конечные формулы были похожи на формулы, полученные BlackиScholes, однако, содержали несколько неизвестных ненаблюдаемых параметров, что существенно затрудняло практическое использование полученных результатов. Black и Scholes усовершенствовали данную модель. Однако их исследование основывалось на нескольких жестких предпосылках, которые важно понимать и учитывать при разработке методологии. Итак, предпосылки следующие:

• · Процентная ставка известна и постоянна в краткосрочном периоде
• · Цена на базовый актив подчиняется закону логнормального распределения
• · Доходность базового актива постоянна в течение рассматриваемого промежутка времени
• · По базовому активу (акции) не выплачивается никаких дивидендов
• · Рассматриваются только европейские опционы
• · Транзакционные издержки на операции на фондовом рынке равны 0
• · Открытие депозита или взятие кредита возможно осуществить по ставке процента из пункта 1

Вычисляя цену опциона «call» посредством решения дифференциального уравнения, авторы приходят к следующим результатам:

Первая формула отражает цену опциона «call», вторая — цену опциона «put». Данные выражения эксплуатируются и авторами других работ, которые планируется рассмотреть в рамках данного исследования.

Одновременно с предыдущими авторами, свою работу в данной области представил не менее известный ученый Merton (1973). Он ставил перед собой задачу усовершенствовать модель Блэка-Шоулза, ослабляя предпосылки, данные предыдущими авторами. Он выделяет следующие предположения:

• · На рынке отсутствуют транзакционные издержки, ограничений на количество транзакций не существует, ставка по кредиту равна ставке по депозиту
• · Динамика цен акций подчиняется стохастическому Винеровскому процессу

Автор доказал, что оценочная модель Блэка-Шоулза выполняется и при более «слабых» предпосылках. Это послужило началом широкого использования модели для оценки как опционов, так и других, различных активов и показателей. Также он включил в модель возможные выплаты дивидендов по акциям. Как показано, в том числе и в работах, основывающихся на работе Мертона, формула модифицируется следующим образом.

Мертон в своем исследовании совершил попытку оценить американский опцион «put». Однако, полученные расчеты не несут в себе существенной практической пользы в виду сложности возможных расчетов. К тому же, другие исследователи, например, Hull (2005), не признает состоятельность такого рода модели для оценки американских опционов.

Популярной моделью оценки как европейских, так и американских опционов является биномиальная модель Кокса-Росса-Рубинштейна (Cox, Ross, Rubinstein (1979)). Следует отметить, что именно на ее основе были разработаны программы для оценки стоимости опционов, «греков» и подразумеваемой волатильности. Более подробно остановимся на рассмотрении данной модели. В ее основе лежит предположение о том, что цена базового актива может измениться к некоторому моменту времени в некотором направлении в соответствии с законом случайного блуждания. Таким образом, простейшей спецификацией является одноступенчатое биномиальное дерево в мире без риска. Вводится предположение о возможной будущей цене базового актива. Конструируется портфель из длинной позиции по некоторому количеству акций и короткой позиции по опциону «call». В случае падения цены актива, цена опциона становится равной нулю. Далее задача сводится к вычислению необходимого количества акций, чтобы в случае положительного и отрицательного шока цены базового актива стоимость портфеля была одинаковой. После этого полученное значение дисконтируется к настоящему моменту по безрисковой ставке и приравнивается к стоимости портфеля в настоящий момент. Поскольку цена базового актива в данный момент времени известна, то цена опциона может быть легко вычислена. В общем случае одноступенчатой модели стоимость европейского опциона можно вычислить согласно следующей формуле.

· - коэффициент, который будет отражать снижение стоимости базового актива в случае негативного сценария.

· - коэффициент, отражающий повышение стоимости базового актива в случае позитивного сценария.

· - прибыль, полученная от владения опционом в зависимости от сценария Отметим, что в квадратных скобках указано выражение, отражающее риск — нейтральную оценку вероятности наступления того или иного сценария.

Изложенная выше очевидная идея экстраполируется на более сложные спецификации модели. Например, можно вводить большее количество ступеней в биномиальном дереве. В этом случае вероятности наступления события с каждой «ветви» будет получено путем перемножения вероятностей предыдущих событий.

Представленный выше метод также является подходящим для вычисления теоретической стоимости американских опционов. Способ вычисления цены опциона в каждом узле аналогичен способу вычисления для европейского опциона, за исключением того, что необходимо сравнивать прибыль в случае, если опцион будет исполнен досрочно в момент времени, соответствующий узлу, и, если исполнен досрочно не будет. Таким образом, продвигаясь к основанию биномиального дерева вычисляется стоимость «call» опциона.

В завершение подраздела есть необходимость отметить, что существуют случаи, когда американский опцион, можно оценивать, как европейский, и результат данной оценки может быть получен с высокой степенью точности. В доказательство приведу доводы Hull из его книги «Опционы, фьючерсы и другие производные финансовые инструменты» (2005). Дело в том, что исполнять американский опцион call на покупку акции или любогодругого актива, по которому не выплачиваются дивиденды не представляется выгодным. Он объясняет это с помощью двух аргументов. Во-первых, наличие опциона на акцию страхует инвестора от возможного падения цены базового актива. Во-вторых, стоимость денег со временем уменьшается, а, значит, и цена исполнения через некоторое время будет ниже, чем сейчас, с учетом дисконт-фактора. Данное утверждение верно только для опциона call на бездивидендный актив, для опциона «put» это уже не является верным утверждением. Этот факт очень важен для построения методологии. Дело в том, что в работе планируется использовать методологию из статьи Ahmad & Wilmott (2005), которые при выводе доказательств положительной прибыли от стратегии арбитража на основе волатильности используют модель Блэка-Шоулза, предпосылкой к которой является анализ европейского опциона. Учитывая тот факт, что в качестве данных в настоящей работе рассматриваются опционы «call» на фьючерсы, то такого рода методология с некоторой погрешностью может оказаться жизнеспособной, и данное исследование призвано проверить арбитражную стратегию на практике.