Эмпирическое исследование. 
Арбитраж на рынке опционов на основе подразумеваемой волатильности

В данной главе решаются следующие задачи:

• · сбор и обработка современных и релевантных данных по котировкам опционов и фьючерсов, а также по величинам безрисковой ставки процента;
• · анализ, собранных данных в соответствии с построенной методологией

Данные В качестве рассматриваемого периода был взят короткий промежуток времени — 1 месяц, что является достаточным для выявления эффективности стратегии арбитражной торговли опционами с использованием дельта-хеджирования базовым активом на основе подразумеваемой волатильности. Данные были взяты по маржируемым американским опционам call на фьючерсные контракты на наиболее известные акции и товары. Объяснить это можно низкой ликвидностью российского рынка опционов и, соответственно, необходимостью выбирать контракты на самые «ходовые акции».

Были взяты данные по котировкам фьючерсов за рассматриваемый период с интервалом в один день, причем, в соответствии с методологией вычисления настоящей волатильности необходимы данные как по ценам закрытия, так и по ценам открытия, максимальным и минимальным ценам в течение дня. Несмотря на то, чтоне всегда есть необходимость менять дельту портфеля каждый день, ежедневные данные необходимы для вычисления подразумеваемой волатильности, величина которой является сигналом к изменению структуры портфеля. Также, были найдены данные о цене исполнения. Выбор страйка зависит в данном случае только от наличия непрерывного временного ряда данных по ценам опционов. Центральный страйк наилучшим образом подходит для решения такого рода проблемы. Необходимо уточнить, что по котировкам фьючерсов были взяты данные за некоторое время до начала рассматриваемого периода с целью вычисления прогнозируемой волатильности по выбранной методологии. Все выше перечисленные показатели были взяты с сайта Московской Биржи [http://moex.com]. Также были найдены данные по ставке ЦБ РФ кредита «overnight» (Сайт ЦБ РФ, http://www.cbr.ru).

Таблица 3. Фрагмент массива данных.

Стоит отметить, что в процессе расчетов была использована специальная программа DerivaGemDerivaGem — Version 2.00 для вычисления подразумеваемой волатильности и соответствующего коэффициента дельта. Она позволяет вычислять не только теоретические цены стандартных европейских опционов на основе аналитической модели Блэка-Шоулза, но и оценивать цену американских опционов с помощью методологии биномиальной модели. Общий массив данных состоит всего из котировок четырех опционов «call», у которых базовым активом является фьючерс на акции ПАО «Газпром», нефть марки Brent, и акции ПАО «Сбербанк». Данные по опционам были взяты за период времени в 1 месяц: для фьючерсов на акции «Газпрома» с 15.03.2016 по 12.04.2016, для фьючерсов на нефть марки Brent c 26.12.2016 по 25.01.2017. Также были взяты данные по двум опционам «call» на фьючерс на акцию ПАО «Сбербанк» за периоды с 15.08.2016 по 14.09.2016, с 13.09.2016 по 12.10.2016 и с 01.06.2016 по 01.07.2017. По некоторым опционам конец рассматриваемого периода был близок к сроку экспирации, по другим — отстоял от него на некоторое время.

Также рассматриваются опционы с разной степенью изменчивости цены базового актива в рассматриваемый промежуток времени. Общую информацию по всем опционам можно наблюдать в таблице ниже. Зеленым цветом выделены опционы, по которым до срока экспирации оставалось около месяца и больше, голубым — несколько дней, опционы, отмеченные красным, анализировались вплоть до даты исполнения. Разный период времени был выбран с целью проверить, какое влияние данный факт может оказать на прибыльность стратегии.

Таблица 4. Опционы и их характеристики.

В качестве стоимости транзакции рассматриваются данные о комиссии, взимаемой за регистрацию сделки. Все необходимые данные имеются на сайте Московской Биржи (http://moex.com).

Следует подчеркнуть, что здесь возникают два источника погрешности. Во-первых, торги по опционам и по фьючерсам могут заканчиваться в разное время, в результате чего отсутствует синхронность необходимых операций. Во-вторых, прибыль фиксируется по окончанию торгового дня, хотя по факту она фиксируется немного раньше. Данные виды погрешностей нивелировать не представляется возможным в рамках данной работы. Некоторые аспекты торговли могут быть увидены только непосредственно на практике.

Результаты эмпирического исследования Представим результаты эмпирического исследования в соответствии с построенной методологией. Начинать конструирование портфеля следует проверки того, какая из волатильностей наибольшая, реализованная или подразумеваемая, в настоящий момент. Среди анализируемых опционов наблюдаются разные случаи взаимного расположения величин волатильностей: либо одна превосходит другую, либо кривые зависимости волатильности от времени «переплетаются» или касаются друг друга в нескольких точках. Примеры такого рода случаев можно наблюдать на графиках ниже.

Рисунок 1. Распределение волатильностей.

Как видно из графиков волатильности, в случаях с опционами «Газпром-2» и «Сбербанк-2» будет занята короткая по волатильности позиция, однако, в случае «Газпром-2» в моменты их равенства друг другу, позицию необходимо будет закрыть, купив проданный опцион «call» и продав необходимое количество фьючерсов. Прибыль в таком случае фиксируется и ожидается момент, подходящий для открытия новой позиции. В ситуации с опционом «Сбербанк-3» занимаемые позиции будут чередоваться: короткие в моменты превышения подразумеваемой реализованную волатильность, длинные — в противоположном случае.

Как было показано в предыдущем разделе, имеются данные по опционам за разные периоды. Также для разных опционов, были взяты разные анализируемые периоды по отношению к сроку экспирации: некоторые близко к сроку экспирации или непосредственно перед ним, другие — отстоят от него на довольно продолжительный период. Такое разделение было сделано с целью увидеть, как данный факт влияет на подразумеваемую волатильность и, соответственно, на накопленную прибыль.

Также можно выделить различия для опционов в изменчивости цены базового актива в рассматриваемый период. Дело в том, что арбитражная стратегия, анализируемая в данной работе, заключается в двух аспектах. Во-первых, изменение цены опциона вследствие изменения цены подлежащего ему фьючерса нивелируется за счет дельта-хеджирования, основанного на подразумеваемой волатильности. Во-вторых, изменение подразумеваемой волатильности и ее взаимное расположение по отношению к настоящей волатильности вызывает движение цены опциона в определенном направлении. Таким образом, в периоды, когда цена базового актива по непонятным причинам сильно варьируется изо дня в день, в условиях реального мира такое воздействие может «перевесить» воздействие изменения подразумеваемой волатильности. В связи с этим, необходимо рассматривать различные фьючерсные контракты в аспекте изменчивости цен.

После определения занимаемой позиции происходит поэтапное вычисление прибыли от владения таковой. Сначала рассчитывается стоимость занимаемой позиции по фьючерсам и опционам и берется в долг необходимая сумма денежных средств, либо они, наоборот, появляются на счету инвестора. По прошествии одного дня, портфель корректируется в соответствии с методологией данной корректировки. Также начисляются процентные платежи за один день по безрисковой ставке. Данные начисления весьма условны, поскольку существуют некоторые ограничения на снятие процентов, однако, с целью обозначения временной стоимости денег, процентные платежи были учтены. Стоимость портфеля в каждый конкретный день подсчитывалась как сумма всех трех его компонент. Ежедневная прибыль вычислялась как разница стоимости портфеля за пройденный день. В конце каждого дня подсчитываются волатильности и происходит их сравнение, в результате чего принимается решение, продолжать ли обладать настоящей позицией, закрыть ее или изменить на противоположную. По итогу анализируемого периода, подводятся итоги общей накопленной, скорректированной на транзакционные издержки прибыли. Пример динамики таковой можно наблюдать из рисунка ниже. График предназначен для анализа соответствия изменений накопленной прибыли и, разности подразумеваемой и реализованной волатильностей. Следует отметить, что колебания прибыли на протяжении всего периода были крайне малы, кроме одного дня в начале. Этот резкий скачок был вызвансильным скачком в цене базового актива, цена фьючерса изменилась с 15 345 до 14 949 рублей за лот, что составило около 400 рублей, в то время как в предыдущие и последующие дни, когда позиция была занята, изменения цены происходили в пределах 100 рублей. Это говорит о том, что стратегия на основе сравнения волатильностей не всегда может брать во внимание сильные колебания рынка, соответственно, величина коэффициента дельта не успевает подстраиваться под движение цен.

опцион волатильность арбитражный портфель.

Рисунок 2. Накопленная прибыль и разность волатильностей.

Также можно наблюдать, что при уменьшении разности волатильностей, то есть при конвергенции таковых, наблюдался рост прибыли и, наоборот, при дивергенции величина накопленной прибыли становилась меньше. Можно для большей наглядности представить график ежедневной прибыли и разности волатильностей.

Рисунок 3. Прибыль и разность волатильностей.

Из графика отчетливо видно, что при конвергенции волатильностей (красная легенда), наблюдался рост прибыли. То есть, в те дни, когда различие между подразумеваемой и реализованной волатильностью сокращалось наблюдалась положительная прибыль, и наоборот. Данное наблюдение полностью соответствует концепции арбитражной торговли на основе волатильности, изменение цены опциона за счет движения цены базового актива было правильно хеджировано с использованием значения подразумеваемой волатильности.

Другим примером проявления описанной выше стратегии может являться динамика накопленной прибыли для опциона на фьючерс на акцию ПАО «Сбербанк» (четвертая строчка из таблицы описания данных).

Рисунок 4. Накопленная скорректированная прибыль и разность волатильностей.

Также как и на предыдущем графике, можно отметить противоположное направление изменений накопленной прибыли и разности волатильностей. Для убедительности представим результат в виде таблицы. В правой колонке представлена прибыль, в левойдивергенция волатильностей. Если параметр дивергенция отрицателен, то это означает, что в данный день произошла конвергенция подразумеваемой и настоящей волатильностей, что по предположению должно являться причиной роста прибыли. Зеленым цветом отмечены дни, когда такое предположение подтверждалось, красным — когда нет. Можно заметить, что очень редко данное правило было нарушено.

Таблица 5. Ежедневная прибыль и конвергенция (дивергенция) волатильностей.

Однако, в данном случае, итоговая прибыль, хоть и положительная, но невелика. Если для предыдущей позиции прибыль составляла 300 рублей в конце периода, то в данном приблизительно 53 рубля на позицию с одним опционом. Естественно, данные показатели можно увеличивать, занимая позиции в несколько раз большие. Из рассмотрения такого рода двух позиций одновременно можно сделать вывод, что имеет место быть некоторая «зависимость от пути следования», или, как определили ее Ahmad&Wilmott, «pathdependency». Данный феномен имел место быть как раз в случае составления портфеля, где хеджирование проводилось на основе подразумеваемой волатильности. По сути это означает, что при подсчете финального результата важен размер прибыли в каждый день, учитывая последовательность получения данной прибыли. На практике данный факт подтверждается. Представим результирующую прибыль по еще одному опциону, который в описании данных соответствует названию «Сбербанк-3».

Рисунок 5. Скорректированная накопленная прибыль.

Опять наблюдается, только один день, когда общая накопленная скорректированная на транзакционные издержки прибыль была отрицательной. Анализируемая стратегия принесла положительный результат практически с нулевым риском. В таблице ниже представлен фрагмент значений ежедневной прибыли для данного опциона и соответствующие значения разности волатильностей.

Таблица 6. Зависимость прибыли от разницы волатильностей.

Если значение параметра из правого столбца увеличивается по модулю, то это означает дивергенцию волатильностей, наоборот — конвергенцию. Как и в предыдущем примере, зеленым цветом отмечены те строчки, которые соответствуют дням, когда при конвергенции была положительная прибыль, красными — отрицательная, синими отмечены моменты перехода доминирования одной волатильности над другой, которые нельзя брать во внимание ввиду необходимости изменения занимаемой позиции на противоположную. Конвергенция будет максимальна в том случае, когда первоначальное различие между подразумеваемой и настоящей волатильностями максимально. То есть, существует наибольшая вероятность, что в дальнейшем будет происходить сближение волатильностей, что послужит причиной извлечения прибыли из операций. Об этом было сказано в работах Ahmad&Wilmott (2005) и Sinclair (2008).

Следует отметить, что данное наблюдение не справедливо для периодов, близких к экспирации, и, чем дальше заканчивается рассматриваемый период от срока исполнения, тем меньше проявляются арбитражные возможности. Согласно, проведенному в работе анализу те опционы, данные по которым были взяты непосредственно перед сроком экспирации, а именно, опционы на фьючерсные контракты на нефть марки Brent, не имели никакой возможности для реализации арбитражных стратегий: во-первых, была получена отрицательная прибыль, во-вторых, конвергенция волатильностей соответствовала как прибыли, так и убыткам в разные торговые дни. Например, в случае с опционом под условным обозначением «Нефть» к концу рассматриваемого периода был получен убыток в размере $ 16,63 даже без учета транзакционных издержек. Подытоживая все вышесказанное, мы предлагаем рассмотреть таблицу соответствия опционов и прибыли, полученной от стратегий с их применением, а также то, приводила ли конвергенция волатильностей к росту накопленной прибыли, а дивергенция — к ее уменьшению.

Таблица 7. Эффективность арбитражной стратегии для опционов с различным рассматриваемы периодом, относительно экспирации. *- результат, нескорректированный на транзакционные издержки, ввиду отсутствия прибыли без их учета.

Цветовыми легендами снова показана отдаленность конца анализируемого периода. Как можно наблюдать, наиболее отдаленный от экспирации опцион имеет 100% соответствие стратегии, в то время как при приближении к дате исполнения, правило, на котором строится арбитражная стратегия, рассматриваемая в данной работе, перестает работать. Процентный показатель около 50% означает, что не существует ярко выраженной зависимости конвергенции волатильностей и получения прибыли. Показатель выше 75% говорит о наличие такой зависимости. Соответственно, опционы, арбитражная стратегия по которым проводится недалеко от срока экспирации несостоятельна. Данный результат связан с сильными колебаниями подразумеваемой волатильности в те дни, когда до срока экспирации остается менее двух недель. Для сравнения приведем графики подразумеваемой волатильности для опциона «Газпром-2» и «Нефть-2».

Рисунок 6. Различия разброса подразумеваемой волатильности для разных опционов.

Для наглядности были взяты равные промежутки волатильности на вертикальной оси. Следовательно, можно заметить, что в случае с опционом «Нефть-2», колебания подразумеваемой волатильности значительно сильнее.

Также следует обратить внимание на соотношение цены опциона «call» и его подразумеваемой волатильности. Как можно заметить из графика ниже, не всегда, но существуют периоды, когда локальные экстремумы обоих кривых совпадают во времени. Конечно, есть дни, когда цена опциона вела себя непредсказуемо с точки зрения подразумеваемой волатильности.

Рисунок 7. Цена опциона и величина подразумеваемой волатильности.

Это означает, что в данные дни на цену опциона больше повлияли другие факторы, например, цена фьючерса.

Результат 1. Прибыльностьстратегии. Как и было сказано в работе Ahmad&Wilmott (2005), итоговый результат от реализации анализируемый стратегии невозможно предсказать наверняка. Согласно их исследованию, прибыль должна быть положительна на протяжении всего рассматриваемого периода, сильных ее изменений В проведенном эмпирическом анализе, делая поправки на погрешности и несовершенства реального мира, можно наблюдать, что подавляющее большинство времени накопленная скорректированная прибыль изменяется несильно. Были дни, когда инвестиции приносили значительные убытки. Это могло быть связано с тем, что подразумеваемая волатильность не является идеальным предиктором для будущей прибыли в реальном мире. Здесь имеется ввиду, что было сказано в работе MacMilan (2002) о том, что различные факторы могут влиять на подразумеваемую волатильность и цену опциона, например, поступившая инсайдерская информация. Хеджирование в рамках данной арбитражной стратегии предполагает только уменьшение воздействия изменений цены базового актива на цену соответствующего опциона. В любом случае, такого рода несовершенства рынка возникали на непродолжительное время, что по итогу позволило получить прибыль.

Транзакционные издержки не оказывали сильного влияния на наличие прибыли или убытков: в случае, когда арбитражные возможности присутствуют, прибыль является положительной, даже скорректированная на транзакционные издержки. Если арбитраж недоступен, прибыль получалась случайной, в данном исследовании рассматривались случаи убытков, которые наблюдались даже в отсутствии коррекции на издержки за проведение операций.

Результат 2. Период времени и арбитражные возможности. Анализ показал, что если рассматриваемые периоды времени заканчиваются за некоторое время до экспирации опциона, то арбитражные возможности благодаря подразумеваемой волатильности возникают. Конвергенция для отдаленных рассматриваемых периодов была связана с прибылью в 100% случаев, при приближении к сроку экспирации данный показатель уменьшался. То есть, колебания накопленной прибыли невелики, при этом, при соблюдении необходимых правил существует возможность извлечение положительной ее величины. Иначе дела обстоят с позициями, которые рассматривались близко к дате экспирации (до двух недель). Там наблюдались необъяснимые с точки зрения подразумеваемой волатильности скачки прибыли, что делало стратегию несоизмеримо рискованной. Как было показано выше, для опционов с рассматриваемым периодом, близким к экспирации, Конвергенция волатильностей не всегда означала прибыльность стратегии. Показатель таких совпадений был около 50%, что означает отсутствие зависимостиуменьшения разницы волатильностей и извлечения прибыли. Часто наблюдались скачки подразумеваемой волатильности близ непосредственно срока экспирации. Вся это совокупность факторов позволяет судить о некоторых механизмах воздействия на цену опциона, помимо волатильности. В данном случае хеджирующий коэффициент дельта, основанный на подразумеваемой волатильности, не снижал риски стратегии до той степени, что можно было бы ее причислить к арбитражной.