Оценка справедливой цены опциона для обобщенной модели Кокса-Росса-Рубинштейна в случае m-состояний

Оценка справедливой цены опциона для обобщенной модели Кокса-Росса-Рубинштейна в случае состояний

М.Н. Богачева, Л. И. Прянишникова.

В качестве модели эволюции цен основных ценных бумаг на финансовом рынке рассмотрим систему двух дискретных стохастических уравнений, описывающих безрисковый и рисковый активы.

Пусть и эволюционируют согласно формулам:

где и — постоянная процентная ставка;

где и — последовательность m-значных случайных величин:

Значения случайной величины проанализируем следующим образом:

• 1. пусть ;
• 2. обозначим

((1).

Будем считать, что каждый из атомов при переходе отого шага к дробится ровно на частей.

Таким образом, в соответствии с обозначениями (1), имеем Введем функцию (см. [1, стр. 46]).

.

где и — параметры рассматриваемой обобщенной модели Кокса-Росса-Рубинштейна, см. формулу (1). При этом находим из уравнения.

Рассмотрим европейский опцион на покупку с платежным обязательством.

.

В этом случае.

.

Ясно, что при функция и, следовательно,. Пусть. Тогда имеем:

получаем следующее следствие формулы Кокса-Росса-Рубинштейна [1, c.50].

Теорема. Для европейского опциона на покупку с платежным обязательством рассматриваемого в рамках модели (1), справедливая цена опциона определяется формулой.

где, причем .

Нахождение цены аналогично рассмотренному выше.

Теорема. Для европейского опциона на покупку с платежным обязательством рассматриваемого в рамках модели (1), справедливая цена опциона определяется формулой.

где, причем; , .

Рассмотрим оценку параметров обобщенной модели Кокса-Росса-Рубинштейна. Качественная оценка параметров модели позволит использовать результаты, полученные выше для дальнейшего исследования. Обычно рассматривают три вида оценки параметров: на основе метода максимального правдоподобия, на основе ранговых статистик, и на основе знаковых статистик. Однако, первые два метода требуют знание закона распределения. Поэтому в работе применена непараметрическая схема оценки параметров, которая была ориентирована на знаковые статистики [2].

Расчет параметров нашей модели произведем на основе статистической информации. Происходит статистическая обработка данных стоимости акций и курсов валют (доллар и евро) за 2010 год. Данные получены с сайта rbc.ru. Выборка содержит более 6 тыс. записей. Нами проанализированы следующие виды акций: Американский доллар, Аэрофлот, ДальЭнерго, Евро, ЕЭС России, ИркутскЭнерго, Лукойл, МосЭнерго, РБК, Ростелеком, Ростовэнерго, Самараэнерго, Саратовэнерго, Свердловэнерго, СибНефть, Сургутнефтегаз, Уралсвязь, УралСиб, ЮКОС.

Данные хранятся в базе данных Акции. dbf (файл инсталлируется вместе с программой).

В качестве параметров модели нами выбраны:

• · a — минимальная процентная ставка,
• · b — максимальная процентная ставка,
• · c — минимальное падение процентной ставки,
• · d — минимальный рост процентной ставки
• · r — среднее значение процентной ставки.

Вышеуказанные параметры модели анализируются для двух любых выбранных активов за период с 1.01.2010 по 31.12.2010.

При выборе активов из списка важно, какой из активов выбирается первым, а какой вторым. Первый выбранный актив играет роль рискового актива, второй же безрискового. При этом появляется возможность «перекачки» средств из одного актива в другой.

По результатам, полученным в статье, построено программное приложение, позволяющее произвести расчет справедливой верхней цены опциона и расчет нижней цены опциона. Таким образом, получен интервал цен, придерживаясь которого можно минимизировать риск при работе на финансовом рынке, модель которого совпадает с обобщенной моделью Кокса-Росса-Рубинштейна. Программное приложение позволяет:

• · выбрать тип ввода параметров модели: статистический или пользователем;
• · выбрать два вида актива при статистическом поиске параметров модели: в первом столбце пользователь выбирает рисковый актив, во втором списке безрисковый актив;
• · ввести данные для расчета: необходимо задать начальную цену акции; количество времен; контрактную цену.
• · получить справедливую цену опциона для верхнего и нижнего хеджа (рисунок 1).

Рисунок 1. Программный комплекс для расчета справедливой цены опциона.

опцион ценный бумага платежный Таким образом, были изучены основные методы оценки параметров модели (1), и в качестве оптимального выбран метод знаковых статистик.

• 1. Мельников А. В. Финансовые рынки: стохастический анализ и расчет производных ценных бумаг // М.: ТВП, 1997. — 126 с.
• 2. Болдин М. В., Симонова Г. И., Тюрин Ю. Н. Знаковый статистический анализ линейных моделей.// М.: ФИЗМАТЛИТ, 1997. — 288 с.
• 3. Красий Н. П., Павлов И. В. О безарбитражности и полноте обобщённой модели финансового рынка в случае скупки акций. // Обозрение прикладной и промышленной математики. Москва, ТВП. 1999. Т.6. № 1. с.162−163.
• 4. Мисюра В. В. Расчёт хеджирующих стратегий для опционов европейского типа в случае (B, S)-рынка относительно специальной хааровской фильтрации // Сборник научных трудов III Всероссийского симпозиума «Математическое моделирование и компьютерные технологии». Т.4. Кисловодск. 1999. с.62−64.
• 5. Белявский Г. И., Мисюра В. В., Павлов И. В. Исследование модели (В, S)-рынка относительно специальной хааровской фильтрации. // Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова. Тезисы докладов. Ростов-на-Дону, 1998, с. 179−181.
• 6. Белявский Г. И., Мисюра В. В., Павлов И. В. Ранговый критерий полноты одного финансового рынка при допущении арбитража // Обозрение прикладной и промышленной математики. Т.6, вып.1, 1999 г.
• 7. Красий Н. П. О вычислении спрэда для обобщённой модели (B, S)-рынка в случае скупки акций [Электронный ресурс] // «Инженерный вестник Дона», 2012 Режим доступа: http://ivdon.ru/magazine/archive/n4p2y2012/1378
• 8. Шишкова А. Н. Программный комплекс ф-полнота (B, S)-рынка в случае специальной хааровской фильтрации при допущении арбитража [Электронный ресурс] // «Инженерный вестник Дона», 2012, № 4 (часть 2). — Режим доступа: http://ivdon.ru/magazine/archive/n4p1y2012/1174
• 9. Cox J.C., Ross R.A., Rubinstein M. Option pricing a simplified approach. //Journal of Financial Economics. 1976. V.7 (september). p.229−263.