Проблемные ситуации на уроках геометрии

На уроках геометрии я придаю большое значение изучению учащимися начальных сведений по планиметрии в средних классах и стереометрии в старших, чтобы они уяснили как из первоначальных математических понятий и их свойств вытекают последующие утверждения. А когда первые простейшие разделы программы пройдены, я поступаю следующим образом. В начале урока восстанавливаю в памяти учащихся те знания, которые будут применяться при доказательстве новой теоремы. Затем строю чертёж, формулирую теорему и начинаю доказательство, а потом предлагаю учащимся продолжить его. При изучении более простых теорем я предоставляю им больше самостоятельности. Например, после знакомства учащихся с определением параллелограмма они должны были сами построить фигуру и вывести её свойства.

Конечно, учителю нельзя полагаться на самотёк, мысли учащихся нужно пробуждать и направлять. Здесь подчас получаются расхождения с планом урока. Так как иногда может затянуться пауза, нужно дать наводящие вопросы, получив ответ ученика, спросить, кто точнее выразит мысль, затем самому, а иногда с участием класса отшлифовать формулировку теоремы или формулу.

Приведу несколько примеров использования проблемного метода обучения на уроках геометрии.

Пример № 1. Урок в 7 классе по теме «Смежные углы».

Учитель: Постройте произвольный угол АОВ. Проведите луч ОС так, чтобы луч ОВ лежал между лучами ОА и ОС (рис. 1). Рассмотрите углы АОВ и ВОС. Что у них общего?

Учащиеся: У этих углов общая сторона ОС.

Учитель: Правильно. Мы построили два угла, у которых одна сторона общая. А какой угол еще есть на этом чертеже?

Учащиеся: Угол АОС.

Учитель: Чему равна градусная мера этого угла?

Учащиеся: Градусная мера этого угла равна сумме углов АОВ и ВОС.

Учитель: Верно. Это нам пригодится. А теперь еще раз построим угол АОВ и к полупрямой ОА построим дополнительную прямую ОD (рис. 2). Скажите, сколько углов мы построили?

Учащиеся: Мы построили три угла.

Учитель: Назовите их.

Учащиеся: угол АОВ, угол ВОD и угол АОD.

Учитель: Как называется угол АОD?

Учащиеся: Развернутый.

Учитель: Рассмотрим углы АОВ и ВОD. Что общего у этих углов?

Учащиеся: У них общая сторона ОВ.

Учитель: А какая еще особенность есть у этих углов?

Учащиеся: Стороны ОА и ОD являются дополнительными полупрямыми.

Учитель: Ребята, углы АОВ и ВОD называются смежными углами. Попробуйте дать их определение.

Учащиеся: Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а две другие стороны этих углов являются дополнительными полупрямыми.

Учитель: Ребята, как вы думаете, чему равна сумма смежных углов?

Учащиеся: Сумма смежных углов равна 1800, так как они составляют развернутый угол, а его градусная мера равна 1800.

Если учащиеся сразу не приходят к этому выводу учитель может продолжить работу с классом.

В обучении геометрии значительное место занимают доказательства, с помощью которых учащимся прививаются навыки правильного, аргументированного мышления. Доказательства, излагаемые в учебниках, как правило, состоят из цепи логически связанных друг с другом предложений, ведущих от посылки теоремы к ее заключению. Приведу пример доказательства теоремы о сумме углов треугольника. Здесь предпочтительнее так вести объяснение, чтобы ученик ясно понимал способы определения промежуточных целей доказательства и пути их достижения. При этом он будет учиться находить доказательства, учиться мыслить, нагрузка на его память значительно уменьшиться.

Учитель: Нам надо доказать, что сумма углов треугольника равна 1800. На какие аксиомы и теоремы мы можем опереться? Какие мы знаем теоремы, утверждающие, что сумма углов равна 1800?

Учащиеся: Сумма внутренних односторонних углов при пересечении пары параллельных прямых третьей прямой равна 1800.

Учитель: Но у нас нет параллельных прямых! Есть только треугольник.

Учащиеся: Через одну из вершин треугольника можно провести прямую, параллельную противолежащей стороне треугольника.

Учитель: Как же через вершину В треугольника АВС провести прямую, параллельную стороне АС?

Учащиеся: Прямые будут параллельными, если при пересечении их третьей прямой имеется пара равных накрест лежащих углов.

Учитель: Значит, нам надо построить угол, который будет накрест лежащим для угла ВСА и равный ему. Как это сделать?

Учащиеся: Через вершину В проведем луч ВD, лежащий с лучом СА в разных полуплоскостях относительно прямой ВС и составляющий со стороной ВС угол, равный углу ВСА.

Учитель: Как называются углы DВС и ВСА?

Учащиеся: Внутренние накрест лежащие при прямых DВ и СА и секущей ВС.

Учитель: Что можно сказать о прямых DВ и СА?

Учащиеся: Они параллельны.

Учитель: Какой можно сделать вывод о величине DВА и САВ.

Учащиеся: Так как прямые DВ и СА параллельны, значит DВА + САВ = 1800(равенство записывается на доске).

Учитель: Суммой градусных мер каких углов можно заменить DВА?

Учащиеся Градусная мера DВА равна сумме углов DВС и СВА.

Учитель: Записывает на доске соответствующие равенство: DВС + СВА + САВ = 1800. Ребята, какому углу треугольника равен DВС?

Учащиеся: ВСА.

Учитель: Исходя из этого, какое равенство мы получим?

Учащиеся: ВСА + СВА + САВ = 1800.

Учитель: Сумма, каких углов записана в левой части этого равенства?

Учащиеся: Сумма углов треугольника.

Учитель: Значит мы доказали, что сумма углов треугольника равна 1800. При таком изучении предмета приятно наблюдать как ученик или ученица, доказав у доски первый раз в жизни часть нового утверждения или всю теорему, были поражены свершившимся фактом, ребята испытывали наслаждение от творческого поиска, увенчавшегося успехом.