ΠŸΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒ Π² написании студСнчСских Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚
АнтистрСссовый сСрвис

Π Π°Π·Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚ΠΊΠ° Ρ‚Π΅ΠΌΡ‹ Β«ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Π² школьном курсС ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈΒ»

ΠšΡƒΡ€ΡΠΎΠ²Π°ΡΠŸΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒ Π² Π½Π°ΠΏΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠΈΠ£Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ ΡΡ‚ΠΎΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒΠΌΠΎΠ΅ΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹

На ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰ΠΈΡ… занятиях ΠΌΡ‹ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π»ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, Π² Ρ‡Π°ΡΡ‚ности ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ². Однако Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π° вычислСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, хотя ΠΈ ΡΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ся ΠΊ Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π°, трСбуСтся ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ большого объСма Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹: Π½Π°Π΄ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ 101 слагаСмоС ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ суммы. МоТно Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Π½ΠΎ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ этой ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… Π·Π°Π΄Π°Ρ‡, Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π² ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ… Π§ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Π΅Ρ‰Ρ‘ >

Π Π°Π·Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚ΠΊΠ° Ρ‚Π΅ΠΌΡ‹ Β«ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Π² школьном курсС ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈΒ» (Ρ€Π΅Ρ„Π΅Ρ€Π°Ρ‚, курсовая, Π΄ΠΈΠΏΠ»ΠΎΠΌ, ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ)

ΠΠΊΡ‚ΡƒΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ‚Π΅ΠΌΡ‹

«ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Π² ΡˆΠΊΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ курсС ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ» слСдуСт ΠΈΠ· Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‡Π΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊ Π² ΠΏΠΎΠ²ΡΠ΅Π΄Π½Π΅Π²Π½ΠΎΠΉ Π΄Π΅ΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ постоянно сталкиваСтся с Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ описаны с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π½Π° ΠΌΠ°Ρ‚СматичСском языкС, Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Ρ‚Π΅ΠΌ производная являСтся ΠΌΠΎΡ‰Π½Ρ‹ΠΌ ΠΎΡ€ΡƒΠ΄ΠΈΠ΅ΠΌ исслСдования Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. Π’Π΅ΠΌΠ° «ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Π² ΡˆΠΊΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ курсС ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ» являСтся ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ ΠΈΠ· ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Ρ… Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΎΠ² Π½Π°Ρ‡Π°Π» матСматичСского Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π°. Π’ ΡΠ²ΡΠ·ΠΈ с Π½Π΅Π΄ΠΎΡΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π·Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚ΠΊΠΎΠΉ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚Π΅ΠΌΡ‹ Π² ΠΌΠ΅Ρ‚одичСском ΠΏΠ»Π°Π½Π΅ эта Ρ‚Π΅ΠΌΠ° интСрСсуСт ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ… мСтодистов Π² Π½Π°ΡΡ‚оящСС врСмя. ΠšΡ€ΠΎΠΌΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π» ΠΏΠΎ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚Π΅ΠΌΠ΅ интСрСсСн с Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ зрСния истории. Π”Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚Π΅ΠΌΠΎΠΉ ΠΈ Π΅Π΅ Ρ€Π°Π·Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚ΠΊΠΎΠΉ занимались Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ Π²Π΅Π»ΠΈΠΊΠΈΠ΅ ΡƒΡ‡Π΅Π½Ρ‹Π΅, ΠΊΠ°ΠΊ Π›Π΅ΠΉΠ±Π½ΠΈΡ† ΠΈ ΠΡŒΡŽΡ‚ΠΎΠ½ — основополоТники Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ исчислСния. Π’ ΡΠ²ΡΠ·ΠΈ с ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ‡ΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ Ρ„Π°ΠΊΡ‚Π°ΠΌΠΈ эта Ρ‚Π΅ΠΌΠ° интСрСсна ΠΈ ΠΌΠ½Π΅.

ЦСль Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹: ΠΈΠ·ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π°ΡƒΡ‡Π½ΠΎ-ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ Π»ΠΈΡ‚Π΅Ρ€Π°Ρ‚ΡƒΡ€Ρƒ ΠΈ Π°Π΄Π°ΠΏΡ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ интСрСсный ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π» ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΡ†Π΅ΡΡΡƒ обучСния учащихся.

ΠžΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ΠΎΠΌ исслСдования явилась производная Π² ΡˆΠΊΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ курсС ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ.

ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠΌ исслСдования являСтся ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΈΠΊΠ° обучСния учащихся ΠΏΠΎ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚Π΅ΠΌΠ΅ исслСдования.

ΠžΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ исслСдования ΠΈ Ρ†Π΅Π»ΡŒ исслСдования обусловили Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… частных Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ исслСдования:

— ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅ΡΡ‚ΠΈ Ρ€Π΅Ρ„Π΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎ-ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΠΊΠΈΠΉ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ· тСорСтичСских основ изучСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π² ΡˆΠΊΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ курсС ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ;

— Ρ€Π°Π·Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„Π°ΠΊΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½Ρ‹ΠΉ курс ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅ΠΌΠ΅ исслСдования курсовой Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹;

— ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ систСму ΡƒΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΎΠ±Π΅ΡΠΏΠ΅Ρ‡ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΠΏΡ€ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ усвоСниС учащимися основным ΠΏΡ€ΠΈΠ΅ΠΌΠ°ΠΌ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.

Π‘Ρ‚Ρ€ΡƒΠΊΡ‚ΡƒΡ€Π° курсовой Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ: ΠΎΠ½Π° состоит ΠΈΠ· ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π³Π»Π°Π²Ρ‹, которая содСрТит Ρ‚Ρ€ΠΈ ΠΏΡƒΠ½ΠΊΡ‚Π°. ΠŸΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ ΠΏΡƒΠ½ΠΊΡ‚ содСрТит ΠΏΠΎΡΡΠ½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ записку, Π³Π΄Π΅ ΠΎΠ±ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Ρ†Π΅Π»ΠΈ ΠΈ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ Ρ„Π°ΠΊΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠ³ΠΎ курса. Π”Π°Π»Π΅Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΎ тСматичСскоС ΠΏΠ»Π°Π½ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅. Π’ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅ΠΌ ΠΏΡƒΠ½ΠΊΡ‚Π΅ содСрТатся Ρ€Π°Π·Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚ΠΊΠΈ занятий Ρ„Π°ΠΊΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠ³ΠΎ курса.

Π’Π΅ΡΡŒΠΌΠ° сущСствСнноС мСсто Π½Π° Π·Π°Π½ΡΡ‚иях ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°Π½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡, для Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠ³ΠΎ усвоСния ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Π°. ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Π΅Ρ‚ΡΡ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ любой Ρ‚Π΅ΠΌΡ‹ сопровоТдаСтся Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΡ… Ρ‡ΠΈΡΠ»Π°. Π‘ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΎΠ΅ количСство ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ‚ΠΈΠΏΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΌ ΡƒΠ·Π»ΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ Ρ‚Π΅ΠΌΠ°ΠΌ позволяСт Π²Ρ‹Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Ρƒ ΡƒΡ‡Π°Ρ‰ΠΈΡ…ся Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡ‹Π΅ практичСскиС Π½Π°Π²Ρ‹ΠΊΠΈ. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π΅ Ρ€Π°Π·Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π½Π° систСма Π·Π°Π΄Π°Ρ‡, для Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠ³ΠΎ усвоСния ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Π°.

Π“Π»Π°Π²Π° 1. Π Π°Π·Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚ΠΊΠ° Ρ„Π°ΠΊΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠ³ΠΎ курса ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅ΠΌΠ΅ «ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Π² ΡˆΠΊΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ курсС ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ «

1.1 ΠŸΠΎΡΡΠ½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ записка

Π”Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ Ρ„Π°ΠΊΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½Ρ‹ΠΉ курс Ρ€Π°Π·Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π½ ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅ΠΌΠ΅: «ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Π² ΡˆΠΊΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ курсС ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ». Он ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚авляСт собой систСму занятий, ΠΏΡ€Π΅Π΄Π½Π°Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… для Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ с ΡƒΡ‡Π°Ρ‰ΠΈΠΌΠΈΡΡ ΡΡ‚Π°Ρ€ΡˆΠΈΡ… классов ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ‡Ρ€Π΅ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΉ, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ использован для изучСния студСнтами ΠΎΠ±ΡƒΡ‡Π°ΡŽΡ‰ΠΈΡ…ΡΡ Π½Π° ΠΌΠ°Ρ‚СматичСских Ρ„Π°ΠΊΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π΅Ρ‚Π°Ρ… пСдагогичСских унивСрситСтов ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΎ людСй, ΡƒΠ²Π»Π΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΡ…ΡΡ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΎΠΉ. Π€Π°ΠΊΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½Ρ‹ΠΉ курс ΠΏΡ€ΠΈΠ·Π²Π°Π½ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‡ΡŒ всСм ΠΆΠ΅Π»Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΏΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈ ΡƒΠ³Π»ΡƒΠ±ΠΈΡ‚ΡŒ свои знания Π² ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΠΈ матСматичСского Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π°. Π”Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ Ρ„Π°ΠΊΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½Ρ‹ΠΉ курс состоит ΠΈΠ· 10 занятий. ПослС изучСния Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ курса учащиСся Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π½Π°ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ Π½Π° ΡΠΊΡΡ‚Ρ€Π΅ΠΌΡƒΠΌ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ, Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ, ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ матСматичСскиС понятия, Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹, Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρ‹, ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° стали Π±Ρ‹ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠΌ ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΎΠΉ Π΄Π΅ΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ учащихся, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΡ… Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π±Ρ‹ направляли ΠΈ ΡΠΈΡΡ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π»ΠΈ ΠΈΡ… Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ.

1.2 ВСматичСскоС ΠΏΠ»Π°Π½ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅

β„– ΠΏ.ΠΏ.

Π’Π΅ΠΌΠ°

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡ‹ контроля

ΠšΠΎΠ»ΠΈΡ‡Π΅ΡΡ‚Π²ΠΎ часов

ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ

Π²ΠΈΠ·ΡƒΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ основных элСмСнтарных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° диффСрСнцирования.

Π²ΠΈΠ·ΡƒΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°

ΠšΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΊ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

Π²ΠΈΠ·ΡƒΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ

ΠŸΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅ вычислСния с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ

Π²ΠΈΠ·ΡƒΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ

ΠŸΡ€ΠΈΠ·Π½Π°ΠΊ возрастания ΠΈ ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π½ΠΈΡ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°

ΠšΡ€ΠΈΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠ΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΡ‹ ΠΈ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡƒΠΌΡ‹

ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΊ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°

НаибольшСС ΠΈ Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ΅Π΅ значСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°

ВСкстовыС Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ Π½Π° ΡΠΊΡΡ‚Ρ€Π΅ΠΌΡƒΠΌ, Ρ€Π΅ΡˆΠ°Π΅ΠΌΡ‹Π΅ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ

Π²ΠΈΠ·ΡƒΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ

Π˜Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ

1.3 ΠœΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π» ΠΊ Π·Π°Π½ΡΡ‚иям

Π£Ρ€ΠΎΠΊ 1.

Π’Π΅ΠΌΠ°: ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ.

Π¦Π΅Π»ΠΈ:

— ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ: Ρ€Π°ΡΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ понятиС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ;

— Ρ€Π°Π·Π²ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‰Π°Ρ: Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΡ€ΡƒΠ³ΠΎΠ·ΠΎΡ€ учащихся;

— Π²ΠΎΡΠΏΠΈΡ‚Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ: Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ матСматичСской грамотности.

Π’ΠΈΠΏ занятия: ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Π°.

Π’ΠΈΠ΄ занятия: ΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΡƒΠΌ.

ΠœΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π» ΠΊ Π·Π°Π½ΡΡ‚ΠΈΡŽ.

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ ΠΌΡ‹ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ, ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ΅. ΠŸΡ€ΠΈ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° ΠΈΠ· ΡΡ‚ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ° функция ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅.

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ» Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΡ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° функция ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΡ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ:

ΠΏΡ€ΠΈ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ ;

ΠΏΡ€ΠΈ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ .

НайдСм ΠΏΡ€ΠΈΡ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ :

.

Боставим ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ приращСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΊ ΠΏΡ€ΠΈΡ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΡŽ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°:

.

НайдСм ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π» этого ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡ€ΠΈ. Если этот ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π» сущСствуСт, Ρ‚ΠΎ Π΅Π³ΠΎ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°ΡŽΡ‚. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΏΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ, ΠΈΠ»ΠΈ Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 1. Π”Π°Π½Π° функция Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π΅Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ .

РСшСниС. ΠŸΡ€ΠΈ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°, Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠΌ, ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ. ΠŸΡ€ΠΈ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°, Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠΌ, ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ. Находим ΠΏΡ€ΠΈΡ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ:

.

БоставляСм ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ :

.

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄Ρ ΠΊ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρƒ, Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ΠΎΡ‚ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ:

.

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, производная ΠΎΡ‚ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Ρ€Π°Π²Π½Π°

.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 2. Π”Π°Π½Π° функция, Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π΅Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ .

РСшСниС. РассуТдая Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ Π² ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ:

,

.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 3. Π”Π°Π½Π° функция, Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π΅Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ .

РСшСниС. Π”Π°Π΄ΠΈΠΌ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρƒ ΠΏΡ€ΠΈΡ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°

Учитывая, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ нСпрСрывная функция, ΠΎΠΊΠΎΠ½Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ:

.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 4. Π”Π°Π½Π° функция. Найти Π΅Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ .

РСшСниС. Π”Π°Π΄ΠΈΠΌ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρƒ ΠΏΡ€ΠΈΡ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°

Но Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ

Ρ‚ΠΎ

.

Π£Ρ€ΠΎΠΊ 2.

Π’Π΅ΠΌΠ°: ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ основных элСмСнтарных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° диффСрСнцирования.

Π¦Π΅Π»ΠΈ:

— ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ: Ρ€Π°ΡΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρƒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… основных элСмСнтарных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° диффСрСнцирования;

— Ρ€Π°Π·Π²ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‰Π°Ρ: ΡƒΠ³Π»ΡƒΠ±ΠΈΡ‚ΡŒ знания ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅ΠΌΠ΅;

— Π²ΠΎΡΠΏΠΈΡ‚Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ: Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ матСматичСски Π³Ρ€Π°ΠΌΠΎΡ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ€Π΅Ρ‡ΠΈ.

Π’ΠΈΠΏ занятия: ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ.

Π’ΠΈΠ΄ занятия: ΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΡƒΠΌ.

ΠœΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π» ΠΊ Π·Π°Π½ΡΡ‚ΠΈΡŽ.

Π£ΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ, Π²Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π΅, ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ основных элСмСнтарных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ:

1. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π³Π΄Π΅ — любоС Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число Ρ€Π°Π²Π½Π° ;

2. Ѐункция ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ, ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ, Ссли Π΄Π°Π½Π° функция, Ρ‚ΠΎ Π΅Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Ρ€Π°Π²Π½Π° ;

3. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ логарифмичСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Π°, ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ, производная Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Π° ;

4. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ соотвСтствСнно ΠΈ ;

5. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ соотвСтствСнно ΠΈ .

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Π²Ρ‹Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Π·Π° Ρ€Π°ΠΌΠΊΠΈ школьного курса ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ. Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Π΄Π²Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Ρƒ диффСрСнцирования слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ синуса ΠΈ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡƒΡΠ° Π±Ρ‹Π»ΠΈ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Ρ‹ Π½Π°ΠΌΠΈ Ρ€Π°Π½Π΅Π΅. ПослСдниС Π΄Π²Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Π΄ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ Π½ΠΈΠΆΠ΅, послС Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ рассмотрим ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° диффСрСнцирования.

ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° диффСрСнцирования:

1) производная постоянной Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ, Ρ‚. Π΅. Π³Π΄Π΅ ;

2) константу ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Π½ΠΎΡΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π° Π·Π½Π°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ, Ρ‚. Π΅.

;

3) производная суммы Ρ€Π°Π²Π½Π° суммС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…, Ρ‚. Π΅.

;

4) производная частного: .

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ этих свойств ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ, ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ лишь, Ρ‡Ρ‚ΠΎ всС ΠΎΠ½ΠΈ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π½Π° ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ опрСдСлСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 1. Найти ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

РСшСниС. На ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ» диффСрСнцирования Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ .

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 2. Найти ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ .

РСшСниС. Как извСстно. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Ρƒ диффСрСнцирования частного, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ:

.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 3. ВычислитС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΡ€ΠΈ .

РСшСниС. НайдСм ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ:

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΈ .

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 4. Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚Π΅ нСравСнство, Ссли .

РСшСниС. НайдСм ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ:

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Π΅ΠΌ нСравСнство:

.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: .

Π£Ρ€ΠΎΠΊ 3.

Π’Π΅ΠΌΠ°: ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

Π¦Π΅Π»ΠΈ:

— ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ: Ρ€Π°ΡΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ нахоТдСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ;

— Ρ€Π°Π·Π²ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‰Π°Ρ: Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΡ€ΡƒΠ³ΠΎΠ·ΠΎΡ€ учащихся;

— Π²ΠΎΡΠΏΠΈΡ‚Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ: воспитаниС внимания ΠΈ ΡƒΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΡƒΡ‡Π°ΡΡ‚Π²ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π² Π΄ΠΈΠ°Π»ΠΎΠ³Π΅ с Ρ‚ΠΎΠ²Π°Ρ€ΠΈΡ‰Π°ΠΌΠΈ, ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ.

Π’ΠΈΠΏ занятия: ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ.

Π’ΠΈΠ΄ занятия: ΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΡƒΠΌ.

ΠœΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π» ΠΊ Π·Π°Π½ΡΡ‚ΠΈΡŽ.

На ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰ΠΈΡ… занятиях ΠΌΡ‹ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π»ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, Π² Ρ‡Π°ΡΡ‚ности ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ². Однако Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π° вычислСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, хотя ΠΈ ΡΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ся ΠΊ Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π°, трСбуСтся ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ большого объСма Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹: Π½Π°Π΄ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ 101 слагаСмоС ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ суммы. МоТно Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Π½ΠΎ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ этой ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… Π·Π°Π΄Π°Ρ‡, Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π² ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ вычислСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

Если функция ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅, Π° Ρ„ункция ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅, Ρ‚ΠΎ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½Π°Ρ функция Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅, ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ

.

Для Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π° Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Π½Π°Π΄ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ ΠΈ ΡƒΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ. Π’Π²Π΅Π΄Π΅ΠΌ обозначСния:

Π’ΠΎΠ³Π΄Π° .

ΠΏΡ€ΠΈ, Ρ‚. ΠΊ. Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌΠ° Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ .

Π”Π°Π»Π΅Π΅ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ для Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, Ρƒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ окрСстности Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ. Π’ΠΎΠ³Π΄Π°

ΠΏΡ€ΠΈ, Ρ‚. ΠΊ. ΠΏΡ€ΠΈ, Π° ΠΏΡ€ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ .

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 1. Найти ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ .

РСшСниС. По ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Ρƒ диффСрСнцирования слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ:

.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 2. Найти ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ .

РСшСниС. ΠŸΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΠΌ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π² ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅:

.

Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ Π²Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ. НайдСм ΠΏΡ€ΠΈΡ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ :

.

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ этой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡΡΡŒ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ:

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΏΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Ρƒ диффСрСнцирования слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ:

.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 3. Найти ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ логарифмичСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ .

РСшСниС. ПокаТСм Π²Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ. По ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΠΎΠΌΡƒ логарифмичСскому тоТдСству, Ρ‚. Π΅. Π² ΡΡ‚ΠΎΠΌ равСнствС справа ΠΈ ΡΠ»Π΅Π²Π° стоит ΠΎΠ΄Π½Π° ΠΈ Ρ‚Π° ΠΆΠ΅ функция. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ ΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹, Ρ‚. Π΅.

Π˜Π·Π²Π΅ΡΡ‚Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΉ части вычисляСм ΠΏΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Ρƒ диффСрСнцирования слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ:. ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ Π² Ρ€Π°Π²Π΅Π½ΡΡ‚Π²ΠΎ, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ .

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄Π° ΠΊ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΌΡƒ основанию, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ:. Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ этой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ:

.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 4. Найти ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ .

РСшСниС. По ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Ρƒ диффСрСнцирования слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ:

Задания для ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹: Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ: Π°)

; Π±); Π²); Π³); Π΄) ;

Π£Ρ€ΠΎΠΊ 4.

Π’Π΅ΠΌΠ°: ΠšΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΊ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

Π¦Π΅Π»ΠΈ:

— ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ: Ρ€Π°ΡΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ понятиС ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΈ Π΅Π΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅;

— Ρ€Π°Π·Π²ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‰Π°Ρ: ΡƒΠ³Π»ΡƒΠ±ΠΈΡ‚ΡŒ знания ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅ΠΌΠ΅;

— Π²ΠΎΡΠΏΠΈΡ‚Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ: Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ умСния Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ.

Π’ΠΈΠΏ занятия: ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ.

Π’ΠΈΠ΄ занятия: ΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΡƒΠΌ.

ΠœΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π» ΠΊ Π·Π°Π½ΡΡ‚ΠΈΡŽ.

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ ΠΌΡ‹ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΡƒΡŽ ΠΈ Π½Π° Π½Π΅ΠΉ Ρ„ΠΈΠΊΡΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ. Π’ΠΎΠ·ΡŒΠΌΠ΅ΠΌ Π½Π° ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ΡΠ΅ΠΊΡƒΡ‰ΡƒΡŽ (рис. 1). Если Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π½Π΅ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎ приблиТаСтся ΠΏΠΎ ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠΉ ΠΊ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅, Ρ‚ΠΎ ΡΠ΅ΠΊΡƒΡ‰Π°Ρ Π·Π°Π½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ полоТСния, ΠΈ Ρ‚. Π΄.

Рис. 1

Если ΠΏΡ€ΠΈ Π½Π΅ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΏΠΎ ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠΉ ΠΊ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ с Π»ΡŽΠ±ΠΎΠΉ стороны сСкущая стрСмится Π·Π°Π½ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ прямой, Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΡΠΌΠ°Ρ называСтся ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΊ ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠΉ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ .

ΠšΡ€ΠΎΠΌΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Π½Π΅Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄Π½ΠΎ ΡƒΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ, Π³Π΄Π΅ — функция, Π·Π°Π΄Π°ΡŽΡ‰Π°Ρ Π΄Π°Π½Π½ΡƒΡŽ ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΡƒΡŽ, ΠΏΡ€ΠΈ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° равняСтся тангСнсу ΡƒΠ³Π»Π°, ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ с ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ оси ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΊ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ .

Π’ ΡΡ‚ΠΎΠΌ Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅Ρ‚ΡΡ гСомСтричСский смысл ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ.

Π’Ρ‹Π²Π΅Π΄Π΅ΠΌ Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΊ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ .

Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ прямой с ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ коэффициСнтом ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄:

.

Для вычислСния Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡΡ Ρ‚Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ :

ΠΎΡ‚ΠΊΡƒΠ΄Π° ,

Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄:

ΠΈΠ»ΠΈ

.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 1. Найти тангСнсы ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΊ ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠΉ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ…

РСшСниС. Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ гСомСтричСский смысл ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ:

для Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ: ;

для Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ: .

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 2. Найти ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΊ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΊ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ с Π°Π±ΡΡ†ΠΈΡΡΠΎΠΉ 2.

РСшСниС. Π—Π΄Π΅ΡΡŒ. ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡ эти числа Π² ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ:

Ρ‚.Π΅.

.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 3. вывСсти ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΊ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Π΅ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ с Π°Π±ΡΡ†ΠΈΡΡΠΎΠΉ .

РСшСниС. ИмССм, Π°. ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡ эти значСния Π² ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ, Ρ‚. Π΅.. НапримСр, ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ, ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰ΡƒΡŽ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ .

НайдСм ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ пСрСсСчСния ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΊ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Π΅ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ осью абсцисс. Если — ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Ρ‚ΠΎ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ, ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ. Если, Ρ‚ΠΎ .

ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ Π΄Π°Π΅Ρ‚ простой способ построСния ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΊ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Π΅ ΠΊ Π»ΡŽΠ±ΠΎΠΉ Π΅Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ (ΠΊΡ€ΠΎΠΌΠ΅ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρ‹): достаточно ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ с Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ, дСлящий ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ оси с ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π°ΠΌΠΈ 0 ΠΈ ΠΏΠΎΠΏΠΎΠ»Π°ΠΌ; прямая — искомая ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ. ΠŸΡ€ΠΈ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ — ось абсцисс.

Π£Ρ€ΠΎΠΊ 5.

Π’Π΅ΠΌΠ°: ΠŸΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅ вычислСния с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ.

Π¦Π΅Π»ΠΈ:

— ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ: Ρ€Π°ΡΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅ вычислСния с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ;

— Ρ€Π°Π·Π²ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‰Π°Ρ: Ρ€Π°Π·Π²ΠΈΡ‚ΠΈΠ΅ алгоритмичСского ΠΌΡ‹ΡˆΠ»Π΅Π½ΠΈΡ;

— Π²ΠΎΡΠΏΠΈΡ‚Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ: воспитаниС умСния Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅.

Π’ΠΈΠΏ занятия: ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ.

Π’ΠΈΠ΄ занятия: ΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΡƒΠΌ.

ΠœΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π» ΠΊ Π·Π°Π½ΡΡ‚ΠΈΡŽ.

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, трСбуСтся Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅. Π—Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Π±Π»ΠΈΠ·ΠΊΠΎΠΉ ΠΊ 2,02 Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ находится Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ:. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π² ΠΎΠΊΡ€Π΅ΡΡ‚ности Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ 2 Π±Π»ΠΈΠ·ΠΎΠΊ ΠΊ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΠΉ

— ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΊ Π½Π΅ΠΌΡƒ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ с Π°Π±ΡΡ†ΠΈΡΡΠΎΠΉ 2. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ. ИмССм

.

ВычислСниС Π½Π° ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€Π΅ Π΄Π°ΡŽΡ‚ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ .

Π’ΠΎΠΎΠ±Ρ‰Π΅ для Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌΠΎΠΉ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΡ€ΠΈ, ΠΌΠ°Π»ΠΎ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π°ΡŽΡ‰ΠΈΡ…ΡΡ ΠΎΡ‚ Π½ΡƒΠ»Ρ, Π΅Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π±Π»ΠΈΠ·ΠΎΠΊ ΠΊ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ (ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° с Π°Π±ΡΡ†ΠΈΡΡΠΎΠΉ), Ρ‚. Π΅. ΠΏΡ€ΠΈ ΠΌΠ°Π»Ρ‹Ρ…

Если Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ²Π°, Ρ‡Ρ‚ΠΎ значСния ΠΈ Π½Π΅Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄Π½ΠΎ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° позволяСт Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅ значСния ΠΏΡ€ΠΈ, достаточно Π±Π»ΠΈΠ·ΠΊΠΈΡ… ΠΊ. Π’Π°ΠΊ, ΠΏΡ€ΠΈ вычислСнии значСния СстСствСнно Π²Π·ΡΡ‚ΡŒ Π² ΠΊΠ°Ρ‡Π΅ΡΡ‚Π²Π΅ число 4, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ 4,08 Π±Π»ΠΈΠ·ΠΊΠΎ ΠΊ 4 ΠΈ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈ Π½Π΅Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄Π½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ:. По Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ:

.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 1. Π’Ρ‹Π²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ΠΈΠ· Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ

.

РСшСниС. Π’ΠΎΠ·ΡŒΠΌΠ΅ΠΌ. ИмССм, ΠΎΡ‚ΠΊΡƒΠ΄Π°. По Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅

.

Π’ Ρ‡Π°ΡΡ‚ности, .

Π—Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅:

.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 2. Π’Ρ‹Π²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ΠΈΠ· Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ

.

РСшСниС. ПолагаСм, ΠΈ. Находим, ΠΎΡ‚ΠΊΡƒΠ΄Π°. По Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅

.

НапримСр,. Π—Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅, вычислСнноС Π½Π° ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€Π΅, Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 1,10 512.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 3. Для вычислСния значСния ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎ Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΈ :

.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 4. Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ .

РСшСниС. Для вычислСния ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎ Π²Π·ΡΡ‚ΡŒ, ΠΏΡ€ΠΈ этом. ИмССм ΠΈ

Π’. Π΅.. Вычисляя Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€Π΅, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ .

Π£Ρ€ΠΎΠΊ 6.

Π’Π΅ΠΌΠ°: ΠŸΡ€ΠΈΠ·Π½Π°ΠΊ возрастания ΠΈ ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π½ΠΈΡ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.

Π¦Π΅Π»ΠΈ:

— ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ: Ρ€Π°ΡΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈΠ·Π½Π°ΠΊ возрастания ΠΈ ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π½ΠΈΡ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ;

— Ρ€Π°Π·Π²ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‰Π°Ρ: Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΡ€ΡƒΠ³ΠΎΠ·ΠΎΡ€ учащихся;

— Π²ΠΎΡΠΏΠΈΡ‚Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ: ΠΏΠΎΠ΄Π΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅ интСрСса ΠΊ ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ°ΠΌ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ.

Π’ΠΈΠΏ занятия: ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ.

Π’ΠΈΠ΄ занятия: ΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΡƒΠΌ.

ΠœΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π» ΠΊ Π·Π°Π½ΡΡ‚ΠΈΡŽ.

1. Достаточный ΠΏΡ€ΠΈΠ·Π½Π°ΠΊ возрастания Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ: Если Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π°, Ρ‚ΠΎ Ρ„ункция возрастаСт Π½Π° .

2. Достаточный ΠΏΡ€ΠΈΠ·Π½Π°ΠΊ убывания Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ: Если Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π°, Ρ‚ΠΎ Ρ„ункция ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π½Π° .

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ этих ΠΏΡ€ΠΈΠ·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² проводится Π½Π° ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Π›Π°Π³Ρ€Π°Π½ΠΆΠ°. Π’ΠΎΠ·ΡŒΠΌΠ΅ΠΌ Π΄Π²Π° Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ… числа ΠΈ ΠΈΠ· ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π°. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ. По Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ Π›Π°Π³Ρ€Π°Π½ΠΆΠ° сущСствуСт число, Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ

.

Число ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Ρƒ, Ρ‚. ΠΊ. всС ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚. Если для, Ρ‚ΠΎ, ΠΈ ΠΏΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ, Ρ‚. ΠΊ.. Π­Ρ‚ΠΈΠΌ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ возрастаниС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π°. Если ΠΆΠ΅ для, Ρ‚ΠΎ ,

ΠΈ ΠΏΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ, Ρ‚. ΠΊ.. Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° .

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 1. Найти ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠΈ возрастания ΠΈ ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π½ΠΈΡ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ .

РСшСниС. Данная функция ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π° Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²Π΅ всСх Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл. Из Ρ€Π°Π²Π΅Π½ΡΡ‚Π²Π° слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ, Ссли. РСшая это нСравСнство ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»ΠΎΠ², ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅, ΠΈ, Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, Π½Π° ΡΡ‚ΠΎΠΌ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ возрастаСт.

Аналогично Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π°Ρ… ΠΈ, поэтому Π½Π° ΡΡ‚ΠΈΡ… ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π°Ρ… ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 2. Найти ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠΈ возрастания ΠΈ ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π½ΠΈΡ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ .

РСшСниС. ИмССм Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ 0 ΠΈ 1 Ρ€Π°Π·Π±ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‚ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния Π½Π° Ρ‚Ρ€ΠΈ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π°:

ΠŸΡ€ΠΈ функция возрастаСт;

ΠŸΡ€ΠΈ функция ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚;

ΠŸΡ€ΠΈ функция возрастаСт.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 3. Найти ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠΈ возрастания ΠΈ ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π½ΠΈΡ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ .

РСшСниС. Ѐункция ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π° Π½Π° Π²ΡΠ΅ΠΉ числовой прямой ΠΈ Π΅Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ:

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ, Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ для всСх Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… .

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 4. Найти ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠΈ возрастания ΠΈ ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π½ΠΈΡ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ .

РСшСниС. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Π°:

Находим ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ:

ΠŸΡ€ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ, Ρ‚. Π΅. Π½Π° Ρ„ункция возрастаСт.

ΠŸΡ€ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ, Ρ‚. Π΅. Π½Π° Ρ„ункция ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚.

ΠŸΡ€ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ, Ρ‚. Π΅. Π½Π° Ρ„ункция возрастаСт.

Задания для ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹: Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠΈ возрастания ΠΈ ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π½ΠΈΡ ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ: Π°); Π±); Π²); Π³) .

Π£Ρ€ΠΎΠΊ 7.

Π’Π΅ΠΌΠ°: ΠšΡ€ΠΈΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠ΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΡ‹ ΠΈ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡƒΠΌΡ‹.

Π¦Π΅Π»ΠΈ:

— ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ: Ρ€Π°ΡΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ нахоТдСния ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ;

— Ρ€Π°Π·Π²ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‰Π°Ρ: Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΡ€ΡƒΠ³ΠΎΠ·ΠΎΡ€ учащихся;

— Π²ΠΎΡΠΏΠΈΡ‚Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ: Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ матСматичСской грамотности.

Π’ΠΈΠΏ занятия: ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Π°.

Π’ΠΈΠ΄ занятия: ΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΡƒΠΌ.

ΠœΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π» ΠΊ Π·Π°Π½ΡΡ‚ΠΈΡŽ.

Рассмотрим Π²Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π΅ понятия максимума ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅. Ѐункция Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ максимум, Ссли Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ большС, Ρ‡Π΅ΠΌ Π΅Π΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡ Π²ΠΎ Π²ΡΠ΅Ρ… Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π° содСрТащСго Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ. Π˜Π½Π°Ρ‡Π΅ говоря, функция ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ максимум ΠΏΡ€ΠΈ, Ссли ΠΏΡ€ΠΈ Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ…, достаточно ΠΌΠ°Π»Ρ‹Ρ… ΠΏΠΎ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π΅.

Π’Π°ΠΊ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, функция, Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ Π½Π° Π ΠΈΡ. 1, ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ максимум ΠΏΡ€ΠΈ

Рис. 2

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅. Ѐункция ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ ΠΏΡ€ΠΈ, Ссли ΠΏΡ€ΠΈ Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ…, достаточно ΠΌΠ°Π»Ρ‹Ρ… ΠΏΠΎ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π΅.

НапримСр, функция (Рис 3) ΠΏΡ€ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… значСниях .

Рис. 3

Π’ ΡΠ²ΡΠ·ΠΈ с ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ максимума ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° слСдуСт ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΠΎΠ±ΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π°:

1. Ѐункция, опрСдСлСнная Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅, ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π΄ΠΎΡΡ‚ΠΈΠ³Π°Ρ‚ΡŒ максимума ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ значСниях, Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ рассматриваСмого ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°;

2. НС ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΠ΅Ρ‚ Π΄ΡƒΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ максимум ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ, соотвСтствСнно, наибольшим ΠΈ Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠΈΠΌ значСниями Π½Π° Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°Π΅ΠΌΠΎΠΌ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅: Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ максимума функция ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ наибольшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ лишь ΠΏΠΎ ΡΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡŽ с Ρ‚Π΅ΠΌΠΈ значСниями, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΎΠ½Π° ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²ΠΎ Π²ΡΠ΅Ρ… Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ…, достаточно Π±Π»ΠΈΠ·ΠΊΠΈΡ… ΠΊ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ максимума, Π° Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° — наимСньшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ лишь ΠΏΠΎ ΡΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡŽ с Ρ‚Π΅ΠΌΠΈ значСниями, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΎΠ½Π° ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²ΠΎ Π²ΡΠ΅Ρ… Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ…, достаточно Π±Π»ΠΈΠ·ΠΊΠΈΡ… ΠΊ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ°.

Π’Π°ΠΊ, Π½Π° Ρ€ΠΈΡ. 3 ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½Π° функция, опрСдСлСнная Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅, которая Π½Π° ΡΡ‚ΠΎΠΌ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ максимум, ΠΏΡ€ΠΈ ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ, Π½ΠΎ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΡ€ΠΈ большС максимума Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΡ€ΠΈ. ΠŸΡ€ΠΈ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ большС любого максимума Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°Π΅ΠΌΠΎΠΌ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅.

Рис. 4

ΠœΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡƒΠΌΡ‹ ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΡ‹ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ экстрСмумами Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠΊΡΡ‚Ρ€Π΅ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ значСниями Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

Π­ΠΊΡΡ‚Ρ€Π΅ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ значСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ ΠΈΡ… Ρ€Π°ΡΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ Π² ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡ‚Π½ΠΎΠΉ стСпСни Ρ…Π°Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ·ΡƒΡŽΡ‚ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΠΈ ΠΎΡ‚ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°.

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° 1 (Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΠ΅ условиС сущСствования экстрСмума). Если диффСрСнцируСмая функция ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ максимум, Ρ‚ΠΎ Π΅Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ обращаСтся Π² Π½ΡƒΠ»ΡŒ Π² ΡΡ‚ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅, Ρ‚. Π΅. .

Из ΡΡ‚ΠΎΠΉ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ слСдуСт ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½Ρ‹ΠΉ гСомСтричСский Ρ„Π°ΠΊΡ‚: Ссли Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… максимума ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° функция Π² ΡΡ‚ΠΈΡ… Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Π° оси. Π”Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΈΠ· Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ, Π³Π΄Π΅ — ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΈ ΠΎΡΡŒΡŽ, слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ. (рис. 4)

Рис. 5

Из Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ 1 нСпосрСдствСнно Π²Ρ‹Ρ‚Π΅ΠΊΠ°Π΅Ρ‚ слСдствиС: Ссли ΠΏΡ€ΠΈ всСх рассматриваСмых значСниях Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° функция ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ, Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½Π° ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ экстрСмум Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ Ρ‚Π΅Ρ… значСниях, ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… производная обращаСтся Π² Π½ΡƒΠ»ΡŒ. ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ: Π½Π΅ ΠΏΡ€ΠΈ всяком Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ, ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ производная обращаСтся Π² Π½ΡƒΠ»ΡŒ, ΠΎΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ сущСствуСт максимум ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ.

ΠšΡ€ΠΎΠΌΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, функция ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π΄ΠΎΡΡ‚ΠΈΠ³Π°Ρ‚ΡŒ максимума ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° Π² Ρ‚Π΅Ρ… Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ…, Π³Π΄Π΅ производная Ρ‚Π΅Ρ€ΠΏΠΈΡ‚ Ρ€Π°Π·Ρ€Ρ‹Π². Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли производная Π½Π΅ ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΠ΅Ρ‚ Π² ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ (Π½ΠΎ ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΠ΅Ρ‚ Π² Π±Π»ΠΈΠ·Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΡ… Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ…), Ρ‚ΠΎ Π² ΡΡ‚ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ производная Ρ‚Π΅Ρ€ΠΏΠΈΡ‚ Ρ€Π°Π·Ρ€Ρ‹Π².

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, функция ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ экстрСмум лишь Π² Π΄Π²ΡƒΡ… случаях: Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π² Ρ‚Π΅Ρ… Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ…, Π³Π΄Π΅ производная сущСствуСт ΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ; Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π² Ρ‚Π΅Ρ… Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ…, Π³Π΄Π΅ производная Π½Π΅ ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΠ΅Ρ‚.

ЗначСния Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°, ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… производная обращаСтся Π² Π½ΡƒΠ»ΡŒ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅ ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΠ΅Ρ‚, Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ критичСскими Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ критичСскими значСниями.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 1. Найти Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ экстрСмума Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ .

РСшСниС. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ этой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ равная, ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π° Π²ΠΎ Π²ΡΠ΅Ρ… Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… ΠΈ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‰Π°Π΅Ρ‚ся Π² Π½ΡƒΠ»ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΈ. Π’ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ производная мСняСт Π·Π½Π°ΠΊ с ΠΌΠΈΠ½ΡƒΡΠ° Π½Π° ΠΏΠ»ΡŽΡ. Π’ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ производная мСняСт Π·Π½Π°ΠΊ с ΠΏΠ»ΡŽΡΠ° Π½Π° ΠΌΠΈΠ½ΡƒΡ. Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, ΠΏΡ€ΠΈ функция ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ, Π° ΠΏΡ€ΠΈ — максимум.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 2. Π˜ΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π° ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡƒΠΌ ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ

.

РСшСниС. Находим ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ:

Находим Π΅Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ:

ΠŸΡ€ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄Π΅ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ производная мСняСт Π·Π½Π°ΠΊ с ΠΏΠ»ΡŽΡΠ° Π½Π° ΠΌΠΈΠ½ΡƒΡ. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΏΡ€ΠΈ функция ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ максимум.

ΠŸΡ€ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄Π΅ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ производная мСняСт Π·Π½Π°ΠΊ с ΠΌΠΈΠ½ΡƒΡΠ° Π½Π° ΠΏΠ»ΡŽΡ. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΏΡ€ΠΈ функция ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 3. Найти наимСньшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ .

РСшСниС. Π­Ρ‚Ρƒ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Однако эту Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€Π½Ρ‹ΠΌ способом, Ρ‚Π΅ΠΌ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ примСняСмый здСсь ΠΏΡ€ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠ΅ΠΌΠ»Π΅ΠΌ для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ… Ρ‚ΠΈΠΏΠΎΠ² Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.

Π€ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ прСдставим Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅:

.

Числа ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ, поэтому

.

ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° всС Ρ‡Π»Π΅Π½Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ собой Π’ΠΎΠ³Π΄Π° .

Задания для ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹: Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΡ‹ ΠΈ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡƒΠΌΡ‹ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ: Π°); Π±); Π²); Π³) ;

Π£Ρ€ΠΎΠΊ 8.

Π’Π΅ΠΌΠ°: ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΊ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.

Π¦Π΅Π»ΠΈ:

— ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ: Ρ€Π°ΡΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΊ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ;

— Ρ€Π°Π·Π²ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‰Π°Ρ: ΡƒΠ³Π»ΡƒΠ±ΠΈΡ‚ΡŒ знания ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅ΠΌΠ΅;

— Π²ΠΎΡΠΏΠΈΡ‚Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ: воспитаниС внимания ΠΈ ΡƒΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΡƒΡ‡Π°ΡΡ‚Π²ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π² Π΄ΠΈΠ°Π»ΠΎΠ³Π΅ с Ρ‚ΠΎΠ²Π°Ρ€ΠΈΡ‰Π°ΠΌΠΈ, ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ.

Π’ΠΈΠΏ занятия: ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Π°.

Π’ΠΈΠ΄ занятия: ΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΡƒΠΌ.

ΠœΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π» ΠΊ Π·Π°Π½ΡΡ‚ΠΈΡŽ.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 1. Π˜ΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ

.

РСшСниС.

1) Находим ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ:

.

2) Находим критичСскиС значСния Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°:

a) Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… функция обращаСтся Π² Π½ΡƒΠ»ΡŒ:

.

b) Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… производная Ρ‚Π΅Ρ€ΠΏΠΈΡ‚ Ρ€Π°Π·Ρ€Ρ‹Π² (Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ случаС обращаСтся Π² Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ). Π’Π°ΠΊΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚, ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°:

.

(ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ рассматриваСмая функция ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π° ΠΈ Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½Π°). Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… критичСских Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Π½Π΅Ρ‚.

3) Π˜ΡΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΠ΅ΠΌ Ρ…Π°Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π΅Ρ€ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… критичСских Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ. Π˜ΡΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΠ΅ΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ

.

Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ

.

Π—Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ функция ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ. Π—Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ

.

Π˜ΡΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΠ΅ΠΌ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΠΊΡ€ΠΈΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ

.

Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠ², Ρ‡Ρ‚ΠΎ

,

Π—Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ функция ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ максимум, ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ

.

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ исслСдуСмой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ Π½Π° (рис. 6).

Рис. 6.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 2. Π˜ΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ

.

РСшСниС. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ функция являСтся пСриодичСской ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Π°, Ρ‚ΠΎ Π΄ΠΎΡΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ .

1) Находим ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ:

2) Находим критичСскиС значСния Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°:

, , .

3) Π˜ΡΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΠ΅ΠΌ Ρ…Π°Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π΅Ρ€ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ критичСской Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ:

.

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ максимум:

.

Π”Π°Π»Π΅Π΅, Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½ΠΎ:

Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ:

ΠΏΡ€ΠΈ функция ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ максимум:

Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ:

На ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ этих Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ эскиз Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° (рис. 7)

Рис. 7

Задания для ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹: ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΡ… Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ: Π°); Π±) ;

Π£Ρ€ΠΎΠΊ 9.

Π’Π΅ΠΌΠ°: НаибольшСС ΠΈ Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ΅Π΅ значСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

Π¦Π΅Π»ΠΈ:

— ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ: Ρ€Π°ΡΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΡ… ΠΈ Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠΈΡ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ;

— Ρ€Π°Π·Π²ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‰Π°Ρ: Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΡ€ΡƒΠ³ΠΎΠ·ΠΎΡ€ учащихся;

— Π²ΠΎΡΠΏΠΈΡ‚Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ: Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ способности Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ, вСсти Π΄ΠΈΠ°Π»ΠΎΠ³ с ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ, классом.

Π’ΠΈΠΏ занятия: ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ.

Π’ΠΈΠ΄ занятия: ΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΡƒΠΌ.

ΠœΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π» ΠΊ Π·Π°Π½ΡΡ‚ΠΈΡŽ.

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ функция Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½Π° Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π° ΡΡ‚ΠΎΠΌ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ мСсто ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ°: Ссли функция Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½Π° Π½Π° Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅, Ρ‚ΠΎ Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ найдСтся, ΠΏΠΎ ΠΊΡ€Π°ΠΉΠ½Π΅ΠΉ ΠΌΠ΅Ρ€Π΅, ΠΎΠ΄Π½Π° Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° такая, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² ΡΡ‚ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΡƒΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅Ρ‚Π²ΠΎΡ€ΡΡ‚ΡŒ ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡŽ

Π³Π΄Π΅ — любая другая Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°, ΠΈ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Ρ‚ся, ΠΏΠΎ ΠΊΡ€Π°ΠΉΠ½Π΅ΠΉ ΠΌΠ΅Ρ€Π΅, ΠΎΠ΄Π½Π° Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° такая, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² ΡΡ‚ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΡƒΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅Ρ‚Π²ΠΎΡ€ΡΡ‚ΡŒ ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡŽ

.

Π’ΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΏΠΎ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ΅, функция достигаСт Π½Π° ΡΡ‚ΠΎΠΌ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ своСго наибольшСго значСния. Π‘ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π° ΡΡ‚ΠΎΠΌ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ функция ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠ΅ число критичСских Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ. Если наибольшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ достигаСтся Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°, Ρ‚ΠΎ ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ ΠΈΠ· ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡƒΠΌΠΎΠ² (Ссли имССтся нСсколько максимумов), Π° ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ, наибольшим максимумом. Но ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΡΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ наибольшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π΄ΠΎΡΡ‚ΠΈΠ³Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΠ½Ρ†ΠΎΠ² ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°.

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, функция Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅, достигаСт своСго наибольшСго значСния Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΠ½Ρ†ΠΎΠ² ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°, Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π² Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½Π΅ΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ этого ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°, которая являСтся Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ максимума.

Π’ΠΎ ΠΆΠ΅ ΡΠ°ΠΌΠΎΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈ ΠΎ Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ΅ΠΌ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ: ΠΎΠ½ΠΎ достигаСтся Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΠ½Ρ†ΠΎΠ² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°, Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π² Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½Π΅ΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅, которая являСтся Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ°.

Из ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅Π³ΠΎ Π²Ρ‹Ρ‚Π΅ΠΊΠ°Π΅Ρ‚ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ: Ссли трСбуСтся Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ наибольшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ функция Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅, Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π΄ΠΎ:

1. Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ всС максимумы Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅;

2. ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ значСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π°Ρ… ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°, Ρ‚. Π΅. Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈ ;

3. ΠΈΠ· Π²ΡΠ΅Ρ… ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ наибольшСС; ΠΎΠ½ΠΎ ΠΈ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡ‚ΡŒ собой наибольшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ .

Аналогичным ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ слСдуСт ΠΏΠΎΡΡ‚ΡƒΠΏΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ наимСньшСго значСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 1. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ наибольшСС ΠΈ Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ΅Π΅ значСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

.

РСшСниС. 1) Находим ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΡ‹ ΠΈ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡƒΠΌΡ‹ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ :

Π’ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ мСсто ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ:

.

Π’ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ мСсто максимум:

.

2) ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΠΌ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π°Ρ… ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°:

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, наибольшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ рассматриваСмой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ Π΅ΡΡ‚ΡŒ

Π° Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ΅Π΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ рассматриваСмой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ Π½Π° Ρ€ΠΈΡ. 8.

Рис. 8.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 2. Найти наибольшСС ΠΈ Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ΅Π΅ значСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ .

РСшСниС. Π‘Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ критичСскиС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ производная ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π° для любого, остаСтся Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π•Π³ΠΎ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΈ .

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ наибольшСС ΠΈ Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ΅Π΅ ΠΈΠ· Ρ‡ΠΈΡΠ΅Π», ΠΈ. Ясно, Ρ‡Ρ‚ΠΎ наимСньшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ достигаСтся Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ 2 ΠΈ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ -1, Π° Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠ΅Π΅ — Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ -2 ΠΈ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 4,5, Ρ‚. Π΅.

Задания для ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹: Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ наибольшСС ΠΈ Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ΅Π΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π½Π° ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°Ρ…: Π°) Π½Π°; Π±) Π½Π°; Π²) Π½Π°; Π³) Π½Π° ;

Π£Ρ€ΠΎΠΊ 10.

Π’Π΅ΠΌΠ°: ВСкстовыС Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ Π½Π° ΡΠΊΡΡ‚Ρ€Π΅ΠΌΡƒΠΌ, Ρ€Π΅ΡˆΠ°Π΅ΠΌΡ‹Π΅ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ.

Π¦Π΅Π»ΠΈ:

— ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ: Ρ€Π°ΡΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΈΠΏΡ‹ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ;

— Ρ€Π°Π·Π²ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‰Π°Ρ: Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΡ€ΡƒΠ³ΠΎΠ·ΠΎΡ€ учащихся;

— Π²ΠΎΡΠΏΠΈΡ‚Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ: ΠΏΠΎΠ΄Π΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅ интСрСса ΠΊ ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ°ΠΌ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ.

Π’ΠΈΠΏ занятия: ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Π°.

Π’ΠΈΠ΄ занятия: ΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΡƒΠΌ.

ΠœΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π» ΠΊ Π·Π°Π½ΡΡ‚ΠΈΡŽ.

Π‘ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ максимума ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° Ρ€Π΅ΡˆΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ ΠΌΠ΅Ρ…Π°Π½ΠΈΠΊΠΈ, Π΄ΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈΠΊΠΈ ΠΈ Ρ‚. Π΄. Рассмотрим ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ· Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 1. Π”Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ (рис. 14) ΠΏΠΎΠ»Π΅Ρ‚Π° ядра (Π² ΠΏΡƒΡΡ‚ΠΎΡ‚Π΅), Π²Ρ‹ΠΏΡƒΡ‰Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ с Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ ΠΈΠ· ΠΎΡ€ΡƒΠ΄ΠΈΡ, Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π΅Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ ΠΏΠΎΠ΄ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ ΠΊ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Ρƒ, опрСдСляСтся Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ

.

(- ускорСниС силы тяТСсти). ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΠ³ΠΎΠ», ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ Π΄Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ наибольшСй ΠΏΡ€ΠΈ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ скорости .

РСшСниС.

Рис. 9

Π’Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° прСдставляСт собой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°. Π˜ΡΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΠ΅ΠΌ эту Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π½Π° ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡƒΠΌ Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ .

критичСскоС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ;

.

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΏΡ€ΠΈ Π΄Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»Π΅Ρ‚Π° ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ максимум

.

ЗначСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π°Ρ… ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹:

.

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ максимум ΠΈ Π΅ΡΡ‚ΡŒ искомоС наибольшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ ΠΏΠΎΠ»Π΅Ρ‚Π° .

Π”ΠΎ ΡΠΈΡ… ΠΏΠΎΡ€ ΠΌΡ‹ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠ»ΠΈ наимСньшиС ΠΈ Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΠ΅ значСния Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°Ρ…, ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… трСбуСтся Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ ΡΠΊΡΡ‚Ρ€Π΅ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ значСния Π½Π° Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹Ρ… ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π°Ρ…, Π»ΠΈΠ±ΠΎ просто Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π°Ρ…. Рассмотрим Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ случаи.

1.. Π’ ΡΡ‚ΠΎΠΌ случаС ΠΏΠΎΡΡ‚ΡƒΠΏΠ°Ρ‚ΡŒ слСдуСт, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ это описано Π²Ρ‹ΡˆΠ΅, Ρ‚. Π΅.

Π°) Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π°Ρ… ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° ΠΈ Π² ΠΊΡ€ΠΈΡ‚ичСских Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ…;

Π±) Ссли Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ ΠΎΠ΄Π½Π° критичСская Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°, Ρ‚ΠΎ Π΅Π΅ ΠΏΠΎΠ΄Π²Π΅Ρ€Π³Π°ΡŽΡ‚ исслСдованию Π½Π° ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡƒΠΌ ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ ΠΈ Π΄Π΅Π»Π°ΡŽΡ‚ Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄.

2.. Π’ ΡΡ‚ΠΎΠΌ случаС слСдуСт ΠΏΠΎΡΡ‚ΡƒΠΏΠ°Ρ‚ΡŒ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ:

Π°) вмСсто ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π° Π±Π΅Ρ€ΡƒΡ‚ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ ΠΈ ΠΏΠΎΡΡ‚ΡƒΠΏΠ°ΡŽΡ‚, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π² ΠΏ. 1Π° ΠΈ Π΅ΡΠ»ΠΈ наибольшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ достигаСтся Π² ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅Π²ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅, Ρ‚ΠΎ Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠ΅Π³ΠΎ значСния Π½Π΅Ρ‚;

Π±) Ссли Π½Π° Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠ΅Π΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ достигаСтся Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°, Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ΠΎ ΠΈ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ наибольшим Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅;

Π²) Ссли Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ ΠΎΠ΄Π½Π° критичСская Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°, Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΡΡ‚ΡƒΠΏΠ°Π΅ΠΌ ΠΊΠ°ΠΊ Π² ΡΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ 1Π±.

3.

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°:

Π°) Ссли Π½Π° ΡΡ‚ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ΅ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ критичСской Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Ρ‚ΠΎ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π» разбиваСтся Π½Π° Π΄Π²Π°: ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹ΠΉ ΠΈ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹ΠΉ. На Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ΅ ΠΏΠΎΠΌΠ΅Ρ‰Π°ΡŽΡ‚ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΠ΄Π½Ρƒ ΠΊΡ€ΠΈΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ. ВсС ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΏΠΎΠΌΠ΅Ρ‰Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π² ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹ΠΉ.

Рис. 10

Π±) Ссли Π½Π° Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠΌ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ ΠΎΠ΄Π½Π° критичСская Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°, Ρ‚ΠΎ Π΅Π΅ ΠΏΠΎΠ΄Π²Π΅Ρ€Π³Π°ΡŽΡ‚ исслСдованию Π½Π° ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ ΠΈ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡƒΠΌ ΠΈ Π΄Π΅Π»Π°ΡŽΡ‚ Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 2. КакиС Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ΄Π°Ρ‚ΡŒ Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Ρƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ объСмС Π΅Π³ΠΎ полная ΠΏΠΎΠ²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π±Ρ‹Π»Π° наимСньшСй.

РСшСниС. ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Ρ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· радиус основания Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π° ΠΈ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· высоту Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π°, Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ

.

Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ объСм Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π° Π·Π°Π΄Π°Π½, Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ радиусС Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° опрСдСляСтся Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ ΠΎΡ‚ΠΊΡƒΠ΄Π°

.

ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡ это Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ для, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ

Π—Π΄Π΅ΡΡŒ — Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ число. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΌΡ‹ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ нСзависимого ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ .

НайдСм наимСньшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ этой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ΅ :

.

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ функция ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ. Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠ², Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ, Ρ‚. Π΅. Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ стрСмлСнии ΠΊ Π½ΡƒΠ»ΡŽ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΠΈ ΠΏΠΎΠ²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π½Π΅ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎ возрастаСт, ΠΏΡ€ΠΈΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΊ Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄Ρƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ функция ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ наимСньшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅.

Но Π΅ΡΠ»ΠΈ, Ρ‚ΠΎ

.

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ объСмС полная ΠΏΠΎΠ²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π° Π±Ρ‹Π»Π° наимСньшСй, высота Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π° Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° Ρ€Π°Π²Π½ΡΡ‚ΡŒΡΡ Π΄ΠΈΠ°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρƒ.

Часто Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ тСкстовыС Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ Π½Π° ΡΠΊΡΡ‚Ρ€Π΅ΠΌΡƒΠΌΡ‹, особСнно Π½Π° Π²ΡΡ‚ΡƒΠΏΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΈ Π²Ρ‹ΠΏΡƒΡΠΊΠ½Ρ‹Ρ… экзамСнах ΠΈ, Π² Ρ‡Π°ΡΡ‚ности Π•Π“Π­. Алгоритм Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ выглядит Ρ‚Π°ΠΊ:

1. ΡƒΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Π² Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅ всС постоянныС Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹, ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ ΠΈ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ, которая исслСдуСтся;

2. ΠΈΠ· Π²ΡΠ΅Ρ… ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½ ΠΎΠ΄Π½Ρƒ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ Π·Π° Π½Π΅Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΡƒΡŽ ΠΈ ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ Π΅Π΅ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡ;

3. Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΠ΅ΠΌΡƒΡŽ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅ΠΉ Π²Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Π½Π½ΡƒΡŽ Π½Π΅Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΡƒΡŽ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡƒΡŽ

4. Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ критичСскиС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΠΈ измСнСния Π΅ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°

5. Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ наибольшСС ΠΈΠ»ΠΈ наимСньшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ этой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

6. Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Π² наимСньшСС ΠΈΠ»ΠΈ наибольшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡŒΡ‚Π΅ Π½Π° Π²ΠΎΠΏΡ€ΠΎΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 3. ΠšΠΎΡ€Π°Π±Π»ΡŒ отстаСт ΠΎΡ‚ Π±Π΅Ρ€Π΅Π³Π° (Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° А) Π½Π° Ρ€Π°ΡΡΡ‚оянии 3 ΠΊΠΌ. Π‘ ΠΊΠΎΡ€Π°Π±Π»Ρ ΠΎΡ‚ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ Π³ΠΎΠ½Π΅Ρ† с Π΄ΠΎΠ½Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π² ΡˆΡ‚Π°Π± Π’, находящСгося ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, А ΠΏΠΎ Π±Π΅Ρ€Π΅Π³Ρƒ Π½Π° Ρ€Π°ΡΡΡ‚оянии 10 ΠΊΠΌ. К ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΌΡƒ ΠΏΡƒΠ½ΠΊΡ‚Ρƒ Π±Π΅Ρ€Π΅Π³Π° Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° ΠΏΡ€ΠΈΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Π»ΠΎΠ΄ΠΊΠ°, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ донСсСниС Π² ΡˆΡ‚Π°Π± Π±Ρ‹Π»ΠΎ доставлСно Π² ΠΊΡ€Π°Ρ‚Ρ‡Π°ΠΉΡˆΠ΅Π΅ врСмя. Если .

РСшСниС.

Рис. 11.

1) АВ, АК, ;

АМ, ΠœΠ’, КМ — ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹;

2) ;

3) ;

4) Находя ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΡ€Π°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Ρ Π΅Π΅ ΠΊ Π½ΡƒΠ»ΡŽ, Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΊΡ€ΠΈΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ. Π―Π²Π½ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ эта Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ°.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚ 4 ΠΊΠΌ.

Π—Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅

Π’ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ курсовой Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π΅ Π±Ρ‹Π»ΠΈ рассмотрСны основныС полоТСния, связанныС с ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π² ΡˆΠΊΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ курсС ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π»ΠΎΡΡŒ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅, прСдставляСт собой ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ ΠΈΠ· ΠΌΠΎΡ‰Π½Ρ‹Ρ… ΠΎΡ€ΡƒΠ΄ΠΈΠΉ исслСдования, поэтому данная Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° спланирована Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΈΠ·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π» прСдставлял собой интСрСсный ΠΈ ΠΎΡΠ²ΠΎΠ±ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΎΡ‚ ΠΈΠ·Π»ΠΈΡˆΠ½ΠΈΡ… трудностСй для учащихся.

Π‘Ρ‡ΠΈΡ‚Π°ΡŽ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΠ» поставлСнныС ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄ собой Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ, Π° ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ:

ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ‹ΠΉ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ· тСорСтичСской основы изучСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ;

Ρ€Π°Π·Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π½ Ρ„Π°ΠΊΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½Ρ‹ΠΉ курс ΠΏΠΎ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚Π΅ΠΌΠ΅ исслСдования курсовой Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹;

ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Ρ€Π°Π½Π° гибкая систСма ΡƒΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΎΠ±Π΅ΡΠΏΠ΅Ρ‡ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‰Π΅Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ усвоСниС учащихся основных ΠΏΡ€ΠΈΠ΅ΠΌΠΎΠ² Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.

Π’ Ρ†Π΅Π»ΠΎΠΌ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ поставлСнная Ρ†Π΅Π»ΡŒ исслСдования, сформулированная, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π°ΡƒΡ‡Π½ΠΎ-мСтодичСской Π»ΠΈΡ‚Π΅Ρ€Π°Ρ‚ΡƒΡ€Ρ‹ ΠΈ Π°Π΄Π°ΠΏΡ‚ация Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ интСрСсного ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Π° ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΡ†Π΅ΡΡΡƒ обучСния учащихся Π±Ρ‹Π»Π° достигнута.

ΠšΡƒΡ€ΡΠΎΠ²Π°Ρ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° содСрТит тСорСтичСский ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π» Π½Π° Π΄ΠΎΡΡ‚ΡƒΠΏΠ½ΠΎΠΌ языкС для учащихся, Π½ΠΎ Π² Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ врСмя Π½Π° Π²Ρ‹ΡΠΎΠΊΠΎ Π½Π°ΡƒΡ‡Π½ΠΎΠΌ языкС. ΠšΡ€ΠΎΠΌΠ΅ этого, Ρ€Π°Π·Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ Ρ„Π°ΠΊΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½Ρ‹ΠΉ курс, ΠΎΡ‚Ρ€Π°ΠΆΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΠΉ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΈΠΊΡƒ изучСния Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚Π΅ΠΌΡ‹, ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ использован Π² ΠΊΠ°Ρ‡Π΅ΡΡ‚Π²Π΅ основного ΠΏΡ€ΠΈ рассмотрСнии Π½Π° Π·Π°Π½ΡΡ‚иях Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚Π΅ΠΌΡ‹.

Данная Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½Π° Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ учащимся, Π½ΠΎ ΠΈ ΡΡ‚ΡƒΠ΄Π΅Π½Ρ‚Π°ΠΌ Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΎ-матСматичСских Π’Π£Π—ΠΎΠ², учитСлям, прСподаватСлям Π’Π£Π—ΠΎΠ², Π° Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅ просто ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π΅ΡΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΌΡƒΡΡ Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŽ.

ΠΎΠ±ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ тСматичСский производная

БиблиографичСский список ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΠΎΠΉ Π»ΠΈΡ‚Π΅Ρ€Π°Ρ‚ΡƒΡ€Ρ‹

1. ΠΠ²Π΅Ρ€ΡŒΡΠ½ΠΎΠ² Π”. И., Алтынов П. И. ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°. Π‘ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΎΠΉ справочник для школьников ΠΈ ΠΏΠΎΡΡ‚ΡƒΠΏΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΡ… Π² Π’Π£Π—Ρ‹. — Πœ.: Π”Ρ€ΠΎΡ„Π°, 2002 Π³.

2. Π‘ΡƒΠ³Ρ€ΠΎΠ² Π―. Π‘., Никольский Π‘. М. Π’Ρ‹ΡΡˆΠ°Ρ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°.- Π’3. М.: Π”Ρ€ΠΎΡ„Π°, 2003 Π³.

3. Π’ΠΈΠ½ΠΎΠ³Ρ€Π°Π΄ΠΎΠ²Π° А. И. Π‘Π±ΠΎΡ€Π½ΠΈΠΊ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚СматичСскому Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Ρƒ. — Π’2. М.: ΠŸΡ€ΠΎΡΠ²Π΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅, 2000 Π³.

4. Выгодский М. Π―. Π‘ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ ΠΏΠΎ Π²Ρ‹ΡΡˆΠ΅ΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅. — Π­Π»ΠΈΡΡ‚Π°: Π”ΠΆΠ°Π½Π³Π°Ρ€, 1986 Π³.

5. Π”Π°Π½ΠΊΠΎ П. Π•., Попов А. Π“., КоТСвникова Π’. Π―. Π’Ρ‹ΡΡˆΠ°Ρ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° Π² ΡƒΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΡΡ… ΠΈ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π°Ρ…. — Π§1. — Πœ., 1999

6. Π”Π΅ΠΌΠΈΠ΄ΠΎΠ²ΠΈΡ‡ Π‘. П. Π‘Π±ΠΎΡ€Π½ΠΈΠΊ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ ΠΈ ΡƒΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚СматичСскому Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Ρƒ. — Πœ., 1990

7. Π—Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ ΠΈ ΡƒΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚СматичСскому Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Ρƒ для Π’Π’Π£Π—ΠΎΠ²/ Под Ρ€Π΅Π΄. Π”Π΅ΠΌΠΈΠ΄ΠΎΠ²ΠΈΡ‡Π° Π‘. П., — М., 2002

8. Никольский Π‘. М. ΠšΡƒΡ€Ρ матСматичСского Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π°. — Πœ., 2001

9. ΠŸΠΈΡΠΊΡƒΠ½ΠΎΠ² Н. Π‘. Π”ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΈ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ исчислСниС. — Π’1. М.: Π˜Π½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» — прСсс, 2004 Π³.

10. Π€ΠΈΡ…Ρ‚Π΅Π½Π³ΠΎΠ»ΡŒΡ† Π“. М. ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Ρ‹ матСматичСского Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π°.-Π’1. — Π‘Пб.: Π›Π°Π½ΡŒ, 1999 Π³.

ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ вСсь тСкст
Π—Π°ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ Ρ‚Π΅ΠΊΡƒΡ‰Π΅ΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚ΠΎΠΉ