Методика обучения учащихся рациональным способам решения задач по теме «Исследование функций с помощью производной»

Процесс решения задачи представляет собой поиск выхода из затруднения или обхода препятствия, — это процесс достижения цели. Умение делать правильный, оптимальный выбор в различных ситуациях это есть рациональный способ решения задач, т. е. наиболее простой, красивый способ решения.

Цель обучения учащихся рациональным способам решения задач — это научить учащихся жить, т. е. научить учащихся рационально мыслить, рационально подходить к решению жизненных проблем, подготовить к практической деятельности.

Известный методист Д. Пойа писал: «Разумно решая задачу, человек, прежде всего старается, возможно, полнее и легче уяснить ее себе» [22], т. е. необходимо научить учащихся из различных вариантов решения задачи, найти именно тот, который и будет рациональным для него.

При нахождении рациональных способов решения задач у учащихся развивается логическое мышление (анализ, синтез, индукция, дедукция), развиваются творческие способности, формируется познавательный интерес, вырабатываются исследовательские навыки.

Требование, не просто решить задачу, а решить ее рационально, должно сопровождаться соответствующим обучением. Это обучение в основном основывается на связи с ранее изученным материалом, на алгебраическом методе решения геометрических задач, на применение различных формул, которые значительно упрощают решения задач, на применении вспомогательных утверждений.

Методика обучения учащихся рациональным способам решения задач, предполагает использование таких методов обучения, как объснительно-иллюстративных (беседа, объяснение), проблемных (постановка проблемных вопросов), стимулирующих (методы стимулирования и мотивации учебной деятельности).

Существует ряд приемов для нахождения рациональных способов решения задач, рассмотрим некоторые из них.

1. Прием отыскания рациональных способов решения задач при выполнении устных упражнений. Учащимся предлагаются задания на распознавание, т. е. даны два способа решения одной задачи, необходимо из предложенных решений выбрать рациональный.

Методическая схема:

• 1. провести анализ предложенных решений, и выяснить какой из способов:
  • а) содержит наименьшее количество действий;
  • б) не требует дополнительных вычислений и является наиболее простым и наглядным.
• 2. сделать вывод о том, какой из способов является рациональным.

Фрагмент урока № 2. Тема «Построение графиков функций».

Цель: ввести понятие рациональности, выяснить какой из способов исследования функции является наиболее рациональным.

Задание. Даны два способа построения графика функции у=х2 — 2х+1. Какой из способов является наиболее рациональным? [см. задание 1, уровень 1 из системы задач].

Деятельность учителя.	Деятельность учащихся.
1. Беседа. Какое решение задачи называется рациональным? 2. Постановка проблемных вопросов. На доске представлены два способа построения графика. Какой из них рациональный и почему? А еще почему? Как эта парабола получается? Дана функция у=х3 — 4х +5. Можно сразу построить график? А преобразовать данную функцию к более простому виду? Значит, какой вывод можно сделать? 3. Вывод. Таким образом, первый способ является рациональным, т. к. решение содержит наименьшее количество действий и не требует дополнительных вычислений.	Отвечают: Это наиболее простое и короткое решение. Анализируют: Первый, т. к. решение более короткое. Т. к. дана функция графиком, которой является парабола. Сдвигом вершины на 1 по оси ох. Нет Нет Делают вывод. Если дана функция график, которой известен, нет необходимости исследовать функцию с помощью производной.

2. Прием отыскания рациональных способов решения задач при выполнении устных упражнений. Учащимся предлагаются нерациональные способы решения задач, которые необходимо представить в рациональном виде.

Методическая схема:

• 1. провести анализ условия задачи;
• 2. выяснить, как выполнить рациональное решение, т. е. найти план решения;
• 3. реализовать план решения;
• 4. сделать вывод.

Фрагмент урока № 6. Тема «Наибольшее и наименьшее значение функции».

Цель: актуализировать знания учащихся, найти наиболее рациональный способ вычисления производной.

Задание. Найти производную функции .

Деятельность учителя.	Деятельность учащихся.	Вид доски.
1. Беседа Что дано? Что необходимо сделать? Прежде, чем находить производную, что необходимо сделать? Т. е. представить функцию в рациональном виде. 2. Постановка проблемных вопросов. Что можно сделать? Что тогда получим? В начале какая была дана функция? В каком виде ее представили? Чему равна производная этой функции? 4. Вывод Рационально ли сначала преобразовывать функцию, а затем найти производную?	Отвечают: Дробно-рациональная функция Найти производную Преобразовать данную функцию Анализируют: вынести за скобку, а затем раскрыть скобки Дробно-рациональная В виде разности. Делают вывод. Конечно, рационально.

Фрагмент урока № 8. Тема «Наибольшее и наименьшее значение функции»

Цель: актуализировать знания учащихся, найти наиболее рациональный способ вычисления производной.

Задание. Найти производные функций.

Деятельность учителя.	Деятельность учащихся.	Вид доски.
1. Беседа Что дано? Что необходимо сделать? 2. Постановка проблемных вопросов. Посмотрите на вид 1-й функции. Что записано в правой части? Можно преобразовать данную функцию, т. е. представить ее в рациональном виде? Как это сделать? 3. Чему равна производная? 4. Вывод Для чего мы используем рациональность? 5. Постановка проблемных вопросов. Рассмотрим вторую функцию. Как найти производную? Какой вид примет функция, после преобразований? Чему равна производная? В третьем примере, чему равна производная? Как получили? 6. Общий вывод. Обобщим все вышесказанное. Для чего преобразовывали функции? К какому виду приводили функции? Если в следующий раз будут даны подобные примеры, что вы сделаете?	Отвечают. Функции Найти производные Анализируют Произведение. Да Это формула разности квадратов, т. е. можно свернуть и получим у=4×2−9. 8х Делают вывод Чтобы было легче найти производную Анализируют. Можно сначала преобразовать используя формулу разности квадратов. у=х-4. y`=1. 8х Преобразовали функцию к виду у=2×4−1. Делают вывод. Чтобы проще найти производные функций К рациональному Приведем функции к рациональному виду.	Найти производные функций. 1. у=(2х-3)(2х+3) 2. 3. 1. у=4×2−9. у`=8x. 2. у=х-4. y`=1. 3. у=2×4−1. у`=8x.

3. Прием отыскания рациональных способов решения задач при решении упражнений. Учащимся предлагались нерациональные способы решения задач, которые необходимо представить в рациональном виде.

Методическая схема:

• 1. провести анализ условия задачи;
• 2. выяснить, как выполнить рациональное решение, т. е. найти план решения;
• 3. реализовать план решения;
• 4. сделать вывод.

Фрагмент урока № 3. Тема «Построение графиков функций».

Цель: научить учащихся находить наиболее рациональные пути решения задач.

Задание. Построить график функции .

Деятельность учителя.	Деятельность учащихся.	Вид доски.
1. Беседа Что дано? Что необходимо сделать? Чтобы построить график, что необходимо найти? Производную, от какой функции, необходимо найти? 2. Постановка проблемных вопросов. Как преобразовать данную функцию, чтобы находить производную от суммы, а не от частного? Что еще можно сделать? 3. Выносим 1/х за скобку и раскрываем скобки. Итак, функция упростилась? Функция представлена в виде чего? Проще найти производную от данной функции? 4. Вывод. Если дана функция, то прежде чем находить производную от этой функции, необходимо преобразовать данную функцию к более простому виду и затем находить производную. А теперь строим график.	Отвечают Дробно-рациональная функция. Построить график функции Производную. От дроби Анализируют Записывают Вынести 1/х за скобку Раскрыть скобки Да Разности Да Делают вывод. Строят график.	Проводится исследование функции с помощью производной и строится график.

Фрагмент урока № 4. Тема «Построение графиков функций».

Цель: научить учащихся находить наиболее рациональные способы решения задач.

Задание. Построить график функции.

Деятельность учителя.	Деятельность учащихся.	Вид доски.
1. Беседа Что нам дано? Что необходимо сделать? 2. Постановка проблемных вопросов. Прежде чем строить можно преобразовать данную функцию? Какая дана функция? Можно привести ее к виду, чтобы в правой части была сумма или разность выражений? 3. Как это сделать? Вызывает ученика к доске. Объясни, что делаем Что можно еще сделать? К какому виду преобразовали функцию? 4. Теперь проще проводить исследовать функцию? Почему? 5. Эвристическая беседа Проведем исследование данной функции. Находим производную. Что делаем дальше? Что для этого необходимо сделать? Наносим точки на числовую прямую. Где функция возрастает, а где убывает? Что делаем дальше? Строим график. Как будем строить? Если функция возрастает, то как проходит график? 6. Вывод. Верно, запомните это и не торопитесь сразу строить график.	Отвечают Дробно-рациональная функция Найти производную Анализируют Да Дробно-рациональная Записывают Отвечают Да Вынести за скобку. Выходит к доске. Выносим за скобку Раскрыть скобки Разности Делают вывод Да Т. к. дана степенная функция, легче найти производную и построить график. Записывают. Область определения R. Находим стационарные точки. Отвечает. Находим значения функции в точках экстремумах. Нанесем точки пересечения с осями. Поднимается вверх, убывание аналогично. Делают вывод При построении графика функции необходимо сначала преобразовать функцию, если это возможно, а затем строить график.	1. D (y)=R 2. 3., 4×3 — 16х=0 х=0 или х=±2. 4. 5. f (-2)=-16 f (0)=0. f (2)=-16. 6., (0;0), — с ох 7.

Фрагмент урока № 10. Тема «Подготовка к контрольной работе» Цель: проверить умения учащихся решать задачи рациональными способами.

Задание. Найти производную функции.

Деятельность учителя.	Деятельность учащихся.	Вид доски.
1. Беседа Что дано? Что необходимо сделать? 2. Постановка проблемных вопросов. Какая дана функция? Какой вид функции? Что необходимо сделать? 3. Что можно сделать? Как будем преобразовывать? 4. Дает задание преобразовать функцию Можно найти производную? Находим. 5. Вывод. Зачем мы приводили функцию к рациональному виду? Способствует ли рациональность облегчению решения?	Отвечают Функция Найти производную Анализируют Сложная Нерациональный Привести функцию к рациональному виду. Преобразовать функцию, затем найти производную. Используя тождественные преобразования. Выполняют преобразования Да Делают вывод Чтобы проще было находить производную. Да.	=.

4. Прием отыскания рациональных способов решения задач при решении упражнений. Учащимся предлагаются задания вариативного уровня, т. е. задания на нахождение различных способов решения задачи и выбора рационального из них.

Методическая схема:

• 1. провести анализ условия задачи;
• 2. выяснить, какими способами можно решить данную задачу;
• 3. решить задачу несколькими способами;
• 4. сделать вывод о том, какой из способов является рациональным.

Фрагмент урока № 7. Тема «Исследование функций с помощью производной».

Цель: проверить умения учащихся находить наиболее рациональные способы построения графиков функций.

Задание. Дана функция. Построить график функции двумя способами и найти наиболее рациональный.

Деятельность учителя.	Деятельность учащихся.	Вид доски.
1. Беседа. Что дано? Что необходимо сделать? 2. Какими способами можно построить график данной функции. Решаем самостоятельно. Запишите на доске решение 1-м способом. 3. Постановка проблемных вопросов. Каким способом решали? Обратите внимание, здесь нет стационарных точек, т. е. производная ни при каких х не обращается в ноль. Какая дана функция? Эта функция всегда? 4. Запишите другой способ решения. Объясни решение. Поясняет: обратите внимание на график, необходимо было просто вспомнить свойства показательной функции и вид графика. 5. Вывод. Какой из способов является рациональным? Делает обобщение: 2-й способ легче, т. к. решение более короткое и простое. Исследовать функцию с помощью производной в данном случае не рационально.	Отвечают Функция Построить график С помощью производной и аналитически. Решают Выходит к доске и записывает. Анализируют. С помощью производной Показательная Возрастает. Выходит к доске и записывает. Объясняет: построим график показательной функции: известно, что показательная функция возрастает и проходит через точку (0;1), а затем сместим график на 3 единицы вниз по оси у до точки (0;-2). Делают вывод. Второй, т. к. содержит меньшее количество действий и не надо производить дополнительных вычислений.	1 способ. 1. D (y)=R 2. 3. , Ш нет стационарных точек. 4. х=0, у=-2, (0;-2) — с оу у=0, х=log23,. (log23;0) — с ох.

5. Прием отыскания рациональных способов решения задач при выполнении самостоятельной работы. Учащимся предлагаются задания на нахождение различных способов решения задачи или выбора рационального способа.

Методическая схема:

• 1. Учащимся предлагаются варианты заданий.
• 2. Предлагается прочитать, и выясняются, какие вопросы возникают по тексту заданий.
• 3. Определяется время на выполнение.
• 4. Предлагаются критерии оценивания.
• 5. Выполняется проверка.

Самостоятельная работа № 1. Тема «Построение графиков функций».

Цель: проверить умения учащихся решать задачи рациональными способами.

Самостоятельнаяработа по двум вариантам, в каждом варианте по 3 задания и одно дополнительное задание для обоих вариантов, на нахождение рационального способа решения задач [см. приложение 4].

Дополнительное задание. Построить график функции у =(х + 2)2 — 4 двумя способами и найти наиболее рациональный.

Критерии оценивания: 3 задания на оценку «5», 2 задания — «4» и одно задание — «3». Дополнительное задание на оценку «5».

Самостоятельная работа № 2. Тема «Исследование функций с помощью производной».

Цель: проверить умения учащихся решать задачи рациональными способами.

Самостоятельная работа № 2 по двум вариантам, в каждом варианте по 8 заданий [см. приложение 5]. Восьмое задание одинаковое для обоих вариантов.

Представлен нерациональный способ нахождения производной функции, привести решение к рациональному виду: Критерии оценивания: 8 заданий на оценку «5»; 6, 7 заданий на оценку «4»; 4, 5 заданий — «3».

Самостоятельная работа № 3. Тема «Наибольшее и наименьшее значение функции».

Цель: проверить умения учащихся решать задачи рациональными способами.

Самостоятельная работа по двум вариантам, в каждом варианте по 3 задания, последнее задание одинаковое для обоих вариантов, на нахождение рационального способа решения задач [см. приложение 6].

Пример. Найти производную функции.

Критерии оценивания: 3 задания на оценку «5», 2 задания — «4» и одно задание — «3».

Самостоятельные работы предполагают проверку умений учащихся решать задачи рациональными способами, и предназначены для отработки основных приемов нахождения рациональных способов решения задач.

Рассмотренные примеры обучения учащихся рациональным способам решения задач способствуют овладению основными приемами нахождения рациональных решений задач. Разработанная методика обучения учащихся рациональным способам решения задач может быть использована в работах учителей математики.