Описание эксперимента. 
Исследование функций с помощью производной

1. Констатирующий этап.

Цель: определить наличие проблемы обучения учащихся рациональным способам решения математических задач.

Виды групп: константная организация эксперимента.

Требования комплектования групп: наличие 1 группы (класса).

Измерительные величины: уровень умений рационально решать задачи.

Перечень экспериментальных действий: изучение и анализ школьной документации, разработка анкеты, интервью.

Методы: теоретические методы (анализ, обобщение, интерпретационные методы).

Средства и материалы: контрольные задания, листы опроса, протоколы наблюдений.

На данном этапе осуществлялось наблюдение за методикой работы учителя при обучении учащихся рациональным способам решения задач на уроках математики.

Наблюдение проводилось за работой двух учителей: Латыповой З. Г. и Репиной А. Б. [см. приложение 8.].

Критерии, по которым проводилось наблюдение: использование учителем рациональных способов решения задач; рациональные способы предлагаются учителем; рациональные способы предлагаются учащимися.

Было организовано наблюдение 8 уроков математики, из них рассмотрено решение задач в рациональном виде 10 раз, все эти решения предлагались учителями в готовом виде. При решении задач рациональные способы не предлагаются, т. е. учащиеся не обучаются делать выбор. Учащиеся не предлагают рациональные способы решения задач.

Проанализировав уроки учителей, можно заметить, что на отдельных этапах урока прослеживаются некоторые элементы рациональности: оформление решения задачи, составление алгоритмов, переход от словесной формулировки определения к буквенной.

Таким образом, можно сделать вывод, что учащиеся не обучаются выбору рациональных способов решение. При решении задач необходимо учитывать, то, что каждый ученик индивидуален и то решение, которое для одного ученика является простым, для другого может быть сложным и непонятным, поэтому необходимо предлагать различные варианты решения одной и той же задачи и пусть учащиеся сами выбирают, то решение какое наиболее приемлемо для них. Многие учителя это не учитывают, что приводит к снижению успеваемости.

На данном этапе эксперимента изучалась школьная документация, разрабатывались анкеты для учащихся и вопросы для интервью с учителем.

Цель констатирующего этапа эксперимента достигнута. Учащиеся не обучаются рациональным способам решения задач на уроках математики.

2. Диагностирующий этап.

Цель: установить уровень умений учащихся решать задачи рациональными способами.

Виды групп: константная организация эксперимента.

Требования комплектования групп: наличие 1 группы (класса).

Измерительные величины: уровень умений рационально решать задачи.

Перечень экспериментальных действий: проведение контрольного среза, анкеты, интервью.

Методы: теоретические методы (анализ, обобщение), эмпирические методы (метод контроля, измерения).

Средства и материалы: контрольные задания, листы опроса.

Анкета Цель: установить, что известно учащимся о понятии рациональный способ решения задач.

Анкета состоит из 10 вопросов, из них 7 вопросов по проблеме исследования [см. приложение 9]. Анкету выполняли 20 учеников.

На вопрос: «Для чего вы изучаете математику», 15 учеников ответили, что она пригодится в будущем, 3 ученика — математику должен знать каждый уважающий себя человек и 2 ученика ответили, что их заставляют ее изучать.

На вопрос: «Что вам больше всего нравится на уроках математики», 17 человек ответили — самостоятельно решать задачи, 2 ученика — решать задачи у доски и 2 ученика — изучать теоретический материал.

При выполнении домашней работы учащиеся выполняют только то, что задали, так ответили 14 учащихся класса, частично выполняют домашнюю работу — 6 учеников, при этом никто из учащихся не подбирает дополнительный материал по теме и не решает никакие дополнительные задачи по теме.

При ответе на вопрос, что такое рациональность мнения учащихся разделились: 15 учеников ответили, что это нахождение наиболее простого решения задач, 4 ученика ответили, что это быстрое решение задачи, с наиболее короткой записью решения. И один ученик из класса не знает, что такое рациональные способы решения задач.

Половина учащихся в классе предпочитает решать несколько однотипных задач, чем одну задачу несколькими способами, при этом 2 ученика ответили, что вообще решать не будут.

14 человек из класса ответили, что особого интереса они не испытывают при решении задач различными способами, 3ученика любят находить новые способы решения задач и 3-х человек из класса раздражает решать одну и ту же задачу различными способами.

Большая часть класса, т. е. 17 человек ответили, что рациональные способы решения задач необходимо использовать на уроках и 3 человека не знают ответ на этот вопрос.

Учащиеся очень редко пытаются самостоятельно отыскать другие способы решения задач.

При этом 14 человек считают, что умение решать задачи рациональными способами поможет при написании ЕГЭ, 3 человека считают, что эти умения им не пригодятся, и 3 ученика не знают ответ на данный вопрос.

И на последний вопрос, где необходимо было привести пример из жизни, где применяется рациональность, учащиеся привели следующие примеры: рациональность применяется в питании и трате денег, а также при постройке теплицы.

Вывод. По итогам анкетирования можно сделать вывод, что большинство учащихся класса знают, что такое рациональность, они часто сталкиваются с этим понятием. В жизни они не любят решать задачи различными способами и предпочитают решать однотипные задачи, практически никогда не пытаются найти другой путь решения, а руководствуются лишь тем, что дает учитель.

Интервью.

Цель: выяснить обучает ли учитель учащихся рациональным способам решения задач [см. приложение 10].

Из интервью следует, что учитель работает над данной проблемой, т. е. обучает учащихся рациональным способам решения задач. При этом он рассматривает различные способы решения задач на уроках геометрии. Учитель поощряет учащихся положительными оценками при нахождении нового способа решения задач. У учащихся появляется стимул и интерес находить другие способы решения, при этом учитель акцентирует внимание учащихся на то, какой более рациональный способ в данной задаче. Учитель считает, что рациональные способы решения задач способствуют повышению уровня успеваемости учащихся.

Самостоятельная работа № 1.

Цель: выяснить умения учащихся решать задачи рациональными способами.

Было предложено 3 задания на повторение и одно дополнительное задание на нахождение рационального способа решения задачи [см. приложение 4].

Дополнительное задание. Построить график функции у =(х + 2)2 — 4 двумя способами и найти наиболее рациональный.

Критерии оценивания: 3 задания на оценку «5», 2 задания — «4» и одно задание — «3». Дополнительное задание на оценку «5».

Работу выполняли 20 учащихся. Из них только 2 ученика выполнили дополнительное задание. При этом у одного ученика представлен только один способ решения наиболее рациональный, т. е. учащийся сразу заметил рациональный способ решения задачи, и другой способ не рассматривал. Второй ученик представил оба способа решения: один — это исследование функции с помощью производной, а второй — аналитический (по точкам). Так же был представлен вывод, о том какой из данных способов рациональный и почему.

Представим результаты по умениям учащихся находить рациональные способы решения задач в виде диаграммы.

Итак, из диаграммы видно, что учащиеся в основном не умеют решать задачи рациональными способами.

Таким образом, цель диагностирующего этапа эксперимента достигнута.

3. Формирующий этап.

Цель: формирование умений находить рациональные способы решения математических задач.

Виды групп: константная организация эксперимента.

Требования комплектования групп: наличие 1 группы (класса).

Измерительные величины: уровень умений рационально решать задачи.

Перечень экспериментальных действий: система задач и упражнений, проведение контрольного среза.

Методы: теоретические методы (анализ, обобщение), эмпирические методы (метод контроля, проблемные ситуации).

Средства и материалы: контрольные задания, листы опроса.

На данном этапе формировались умения учащихся решать задачи рациональными способами, фрагменты уроков представлены в приложении 7, и проводился промежуточный контрольный срез.

При выполнении устных упражнений учащимся были предложены два способа решения задачи и необходимо было найти рациональный.

Наблюдения показали, что практически все учащиеся класса сразу заметили, что 1-й способ является рациональным. И на вопрос: «Почему?», ответили, что в 1-м способе решение более короткое. Да с одной стороны это верный ответ, но он не полный и точного обоснования учащиеся дать не смогли. Один ученик из класса сказал, что графиком является парабола, и нет необходимости проводить исследование функции с помощью производной.

При решении устных упражнений применялись реконструктивные задания, т. е. предлагались нерациональные способы решения задач и необходимо было представить данные решения в рациональном виде.

Пример 1. Найти производную функции. С данным заданием все учащиеся справились успешно. Учащиеся сразу заметили, что можно упростить данную функцию, свести ее к более простому виду и только потом находить производную.

Для развития навыков учащихся приводить функции к рациональному виду предлагалось следующее задание.

Пример 2. Найти производные функций: а) у = (2х — 3)(2х+3); б); в). При нахождении производной первой функции не все учащиеся класса заметили, что сначала можно упростить данную функцию, а затем находить производную. В данном случае применяется формула разности квадратов для упрощения функции. При нахождении производных следующих функций, учащиеся сразу увидели рациональный способ решения, благодаря которому функции свелись к простейшему виду.

При письменном решении упражнений учащимся предлагались реконструктивные и вариативные задания.

Учащимся предлагались готовые нерациональные решения задач и необходимо представить их в рациональном виде.

Пример 3. Построить график функции. При выполнении данного задания, никто из учащихся не заметил, что данную функцию сначала можно упростить. Учащиеся сразу начали проводить исследование функции и строить график. Учитель обратил внимание на вид функции и предложил, упростить данную функцию. Проблема в данном задании возникла в том, что многие из учащихся класса не поняли для чего упрощать функцию. Но, проанализировав вид функции, был сделан вывод, что благодаря приведению функции к простому виду проводить исследование функции с помощью производной гораздо проще.

Пример 4. Построить график функции. Решается аналогично, здесь в отличие от предыдущего задания учащиеся заметили, что вид функции можно привести к простому виду, т. е. упростить. Вопрос: «Для чего это?», ни у кого не возникал, так как после упрощения функции, проводить исследование и строить график стало проще. После выполнения данного задания был сделан вывод, что большинство учащихся в классе видят рациональные пути решения.

Пример 5. Найти производную. Функция кажется «огромной» и «сложной», но после преобразования функция имеет простой вид. Затруднений у учащихся при выполнении данного задания не возникло, так как подобные задания уже решались не однократно. Так как это задание было дополнительное, то большинство из учащихся его выполнять не стали. Решение данного задания разбиралось у доски, после чего выяснилось, что если сразу находить производную функции, то решение получится громоздким и можно допустить ошибки, а после преобразования функции находить производную проще.

Пример 6. Дана функция. Построить график функции двумя способами и найти наиболее рациональный. Первым способом, т. е. исследование функции с помощью производной решили 10 учеников класса, а вторым, т. е. аналитическим — 2 ученика.

После самостоятельного решения, построение графиков двумя способами рассматривалось у доски, у учащихся была возможность проверить свои решения.

Два человека из класса заметили рациональный способ решения данной задачи, т. е. они сместили график функции у=2х на 3 единицы вниз по оси оу. При разборе решения 2-м способом, рассматривались основные случаи смещения графиков, и учащиеся сразу заметили, что данную функцию не рационально исследовать с помощью производной. После представления на доске обоих способов решения, был сделан вывод о том, что не всегда исследование функции с помощью производной является рациональным способом построения графика.

Рассмотренные примеры способствовали формированию умений учащихся рационально решать задачи. Чтобы проверить данные умения проводился промежуточный контроль, цель которого — проверить умения учащихся решать задачи рациональными способами.

В работе было 8 заданий по пройденной теме, в основном вопросы теоретического характера. И последнее задание на нахождение рационального способа решения задачи [см. приложение 5].

Пример 7. Представлен нерациональный способ нахождения производной функции, привести решение к рациональному виду:

Критерии оценивания: 8 заданий на оценку «5», 6, 7 заданий на оценку «4», 4, 5 заданий — «3».

Выполняли работу 20 учащихся. Из них 5 человек нашли рациональный способ решения, но допустив при этом некоторые недочеты и только один ученик из класса выполнил это задание правильно, т. е. он сразу увидел, что это тригонометрическое тождество и преобразовал функцию к простому виду и нашел производную.

4 человека, также заметили, что это тригонометрическое тождество, но при преобразовании потеряли общий множитель, следовательно, при нахождении производной были допущены ошибки.

Если сравнивать данную работу с предыдущей, то можно заметить, что уже больше учащихся умеют находить рациональные способы решения задач.

Таким образом, цель формирующего этапа эксперимента достигнута, умения решать задачи рациональными способами у учащихся сформированы.

4. Диагностирующий этап.

Цель: установить изменения уровня сформированности умений находить рациональные способы решения задач под воздействием экспериментального обучения и определить результаты экспериментального обучения.

Виды групп: константная организация эксперимента.

Требования комплектования групп: наличие 1 группы (класса).

Измерительные величины: уровень сформированности умений рационально решать задачи.

Перечень экспериментальных действий: проведение контрольного среза, анкеты.

Методы: теоретические методы (анализ, обобщение), эмпирические методы (метод контроля, измерения).

Средства и материалы: контрольные задания, листы опроса.

Самостоятельная работа № 3.

Цель. Проверить умения учащихся решать задачи рациональными способами.

Работа состоит из 3-х заданий: 2 задания на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции и 1 задание на нахождение рационального способа решения [см. приложение 6].

Пример. Найти производную функции.

Работу выполняли 17 учащихся.

Критерии оценивания: 3 задания на оценку «5», 2 задания — «4» и одно задание — «3».

Из 17 человек попытались найти рациональный способ решения задачи 5 человек, и все с этим заданием успешно справились, но при нахождении производной все допустили ошибку, т. е. данное задание никто верно не решил.

Остальные учащиеся даже не дошли до этого задания и остановились на нахождении наибольшего и наименьшего значения функции.

Из тех, кто пытался решить задание с рациональностью на оценку «4» решили 2 ученика и на оценку «3» — 3 ученика.

Вся сложность и проблема в том, что учащиеся не умеют находить производную, т. е. они видят и находят рациональные способы решения задач, но допускают ошибки по ходу решения: при вычислении, при нахождении производной.

Результаты самостоятельной работы можно представить на следующей диаграмме.

Таким образом, 29% учащихся умеют находить рациональные способы решения задач. Если сравнить данный контрольный срез с первым, который проводился на 2-м этапе экспериментального исследования, можно сделать вывод, что процент учащихся, которые научились находить рациональные способы решения задач, увеличился на 19%, при этом и увеличилась успеваемость данных учеников.

Анкета.

Цель: выяснить изменилось ли отношение учащихся к математике, что понравилось на уроках математики, какое представление у них сложилось о рациональных способах решения задач и как понимают, что такое рациональные способы решения задач.

Анкета состоит из 10 вопросов, из них 6 вопросов по проблеме исследования [см. приложение 11]. Анкету выполняли 18 учащихся.

У 11 человек из класса отношение к математике за последний месяц осталось прежним, при этом из них 6 человек ответили, что их знания по математике улучшились, и у 5-ти человек — осталось прежним.

У 5 человек из класса отношение к математике улучшилось, и качество знаний по математике повысилось. 2 человек из класса ответили, что отношение и знания по математике ухудшились.

Для более наглядного представления результатов ответов на первые два вопроса анкеты рассмотрим диаграмму:

10 человек из класса считают, что математика и рациональность это одно целое, что в математике все должно быть рационально и 8 человек считают, что математика и рациональность связаны, но рациональность не всегда приемлема и без нее можно обойтись. Более наглядное представление данных показаны на следующей диаграмме:

Знания рациональных способов решения задач помогли 11 учащимся при написании самостоятельных работ; двум — при написании контрольных работ, одному ученику при написании и контрольных и самостоятельных работ. И 4 человека из класса ответили, что никогда на уроках не использовали рациональность.

8 учащихся при решении задач сначала попытаются найти наиболее простой путь решения, 7 человек — начнут сразу решать задачу, не взирая ни на что, и 3 человека вообще решать не будут.

• 12 учащихся считают, что рациональность при решении алгебраических задач может применяться практически везде, 4 человека ответили, что только при решении уравнений и 2 человека считают, что рациональность нигде не применяется, что она абсолютно не нужна в математике.
• 13 человек, прежде чем строить график сложной функции сначала приведут ее к более простому виду, и только потом будут строить график, 4 же учащихся будут пытаться построить, пока хватит терпения и один ученик испугается «страшной функции» и строить не будет.

При проведении нестандартного урока 8 человек ответили, что он им не понравился, т. к. они получили не ту оценку, которую хотели, и 7 ученикам понравился урок, т. к. работа была организована по группам и 2 человека ответили, что на данном уроке у них была возможность показать себя.

И в последнем вопросе необходимо было написать пожелания и предложения по организации и проведения уроков математики.

• 4 учащихся написали, что хотят, чтобы уроки чаще проводились в нестандартной форме, работа организовывалась по группам.
• 3 учащихся считают, что на уроках проводится слишком много самостоятельных работ, и они хотели бы, чтобы их вообще не было, и математика проводилась 1 раз в неделю.

Одна девочка из класса написала, что ей очень понравились уроки математики в последнее время.

Из данной анкеты, можно сделать вывод, что за период исследования качество знаний по математике у учащихся повысилось. У учащихся были выработаны навыки выбора рациональных способов решения задач. И учащиеся, прежде чем решать какую-то задачу, сначала попытаются найти рациональный способ решения.

Внедренная методика обучения учащихся рациональным способам решения задач дала положительные результаты, т. е. учащиеся научились находить рациональные способы решения задач. Это можно увидеть, проанализировав и сравнив результаты первого и последнего контрольного среза. Эти результаты представлены на следующих диаграммах.

Количество учащихся нашедших рациональный способ решения задач.

Изменение уровня сформированности умений учащихся решать задачи рациональными способами представлено в журнале оценивания учащихся [см. приложение 12].

Рассмотрим сравнительную характеристику ответов учащихся, на основе проведенных анкет.

Из диаграммы видно, что количество учащихся, которые попытаются найти рациональный способ решения задачи, увеличилось на 33%. Отсюда можно заключить, что количество учащихся овладевших приемами рациональных способов решения задач возросло с 11% до 44%.

§ 4.

Заключение

по эксперименту Разработанная методика обучения учащихся рациональным способам решения задач была успешно реализована на практике и дала положительные результаты.

За период исследования было разработано и проведено: две анкеты, три контрольных среза, интервью с учителем математики, проведено наблюдение уроков математики 8 раз, разработана система задач, состоящая из 17 заданий.

На уроках учащиеся обучались рациональным способам решения задач, при этом некоторые ученики класса пытались самостоятельно отыскать рациональные способы решения. При нахождении рационального способа решения задач у учащихся развивается мышление, повышается интерес, вырабатываются исследовательские навыки.

Таким образом, методика обучения учащихся рациональным способам решения задач способствует повышению успеваемости учащихся с 10 — 29%, развитию интереса к математике. Обучение учащихся рациональным способам решения задач готовит их к практической деятельности.