Теоретические аспекты развития интереса к математическому творчеству учащихся основной школы относительно подобий

Понятие и содержание развития интереса к математическому творчеству у учащихся основной школы относительно подобий плоскости.

Идея геометрических преобразований как основы геометрии установлена еще немецким математиком Феликсом Клейном на базе теории групп в «Эрлангенской программе» 1872 года. Этот документ свидетельствует о том, что понятие геометрического преобразования играет в геометрии основополагающую роль и может быть положено в основу самого определения геометрии как науки. Понятие преобразования тесно связано с фундаментальными понятиями функции и группы. Поэтому одной из основных идей реформы математического образования 1967 года была идея внедрения в школьный курс математики геометрических преобразований. Она диктуется и методическими соображениями: доказательство многих геометрических теорем, связанных с геометрическими преобразованиями, доступнее учащимся, чем дедуктивные выводы из аксиом. Многие задачи на построение и доказательство решаются более естественно и просто, исходя из идеи геометрических преобразований.

" Многие из существующих курсов планиметрии неудачны, прежде всего, потому, что отсутствуют понятные учителям и ученикам, цементирующие курс математические идеи. Ученики знакомятся с наборами теорем, а не их системам. Одна из таких «цементирующих идей» — геометрические преобразования" .

В программе по геометрии сформулированы цели и задачи обучения этому предмету в средней школе, в соответствии с которыми основными из них являются:

• 1) систематическое изучение основных фактов геометрии, методов их получения и возможностей их применения;
• 2) развитие умений и навыков учащихся, обеспечивающих применение полученных знаний для изучения смежных дисциплин и в сфере производства;
• 3) развитие пространственного воображения и логического мышления учащихся.

Особая роль в решении этих задач отводится последовательному применению в школьном курсе геометрии наряду с другими традиционными методами идеи геометрических преобразований и формированию понятия геометрического преобразования.

Понятия являются одной из главных составляющих содержания любого предмета, в том числе и геометрии. Начиная изучать геометрию, учащиеся сразу же встречаются с понятием точки, линии, угла, а далее — с целой системой понятий, связанных с видами геометрических объектов (линий, углов, треугольников и др.). Задача обучения в общеобразовательной школе обеспечить полноценное усвоение вводимых понятий.

Понятие преобразования является одним из фундаментальных понятий в геометрии. Это обусловлено, во-первых, ведущей ролью практических операций в мышлении (согласно Ж. Пиаже, все мыслительные операции образуют структуру группы, подобную группе преобразований в геометрии). Во-вторых, с понятием преобразования связан «групповой подход» к геометрии, в соответствии с которым геометрия — это наука, занимающаяся изучением свойств фигур, являющихся инвариантами фундаментальной группы преобразований.

Логика в любом понятии различает объем и содержание. Под объемом понимают тот класс объектов, которые относятся к этому понятию, объединяются им. Так, в объем понятия «преобразование» входят преобразования всех известных групп независимо от их конкретных характеристик: движения, подобия, аффинные, проективные, топологические, гиперболические, эллиптические преобразования. Под содержанием понятий понимается та система существенных свойств, по которой происходит объединение данных объектов в единый класс. Содержание понятия «преобразование» составляют свойства: отображение пространства на себя (при котором каждая точка пространства переходит в некоторую точку этого же пространства); взаимнооднозначное (биективное) отображение.

В совокупности свойства, по которым объекты объединяются в один класс, называется необходимыми и достаточными признаками. Важно отметить, что отношение между этими признаками в разных понятиях разное. Различают понятия с конъюнктивной и дизъюнктивной связью признаков. В понятиях с конъюнктивной связью эти признаки дополняют друг друга, образуя вместе то содержание, по которому и объединяются объекты в единый класс. Так, у объектов, относящихся к понятию «преобразование плоскости», обязательно должны быть два выше указанных признака (отображение плоскости на себя и биективность отображения), по отдельности ни один из них не позволяет опознать объекты этого класса. Как уже говорилось, в логике понятия с такой связью называются конъюнктивными: признаки связаны союзом «и» (в случае преобразования отображение должно быть и взаимнооднозначным и отображением плоскости на себя).

Итак, под преобразованием в геометрии понимают, например, в случае плоскости отображение всей плоскости на себя, при котором каждая точка X отображается в единственную точку X₁, а каждой точке У₁ соответствует единственная точка У.

Понятие не может быть передано учащимся в готовом виде, они должны получить его сами, взаимодействуя с относящимися к нему известными понятиями. Определение задает как бы точку зрения — ориентировочную основу — для оценки понятий, с которыми взаимодействует обучаемый. Так, получая определение понятия преобразования, ученик может анализировать различные преобразования с точки зрения наличия или отсутствия в них тех признаков, которые содержатся в определении. При этом, например, он может использовать аналогию между понятием движения в геометрии и равномерного прямолинейного движения предметов (твердых тел) в механике. Такая реальная работа по оценке различных предметов с точки зрения, заданной определением, и создает постепенно в голове учащихся идеальное понятие как обобщенный и абстрактный образ.

Обязательная программа не предусматривает широкого изучения различных свойств геометрических преобразований. Вопрос использования преобразований при решении геометрических задач предлагается вынести, как вариативный компонент, на факультативные занятия и внеклассную работу.

Геометрические преобразования являются обобщением понятия о функции, и поэтому позволяют «обозреть с одной точки зрения, как отдельные части геометрии, так и их взаимные связи» (Ф. Клейн) — это значит, что изучение геометрических преобразований открывает возможность подчинить единой идее — идее функциональной зависимости — всю школьную математику. Большая общность геометрических преобразований позволяет значительно упростить доказательство многих теорем. Также изучение преобразований вооружает учащихся способами (методами) решения задач на построение, которые являются одним из средств развития геометрического мышления учащихся.

Ф. Клейн (1849−1925) знаменит своей общей концепцией геометрии, в основу которой положил учение об «автоморфизмах» соответствующей геометрической теории. Хотя точка зрения Ф. Клейна не исчерпывает всего богатства современной геометрии, — в ее рамки не укладывается ряд современных геометрических теорий, — теоретико-групповой подход к построению геометрии охватывает практически все геометрические теории, изучаемые в высшей школе. Однако групповая точка зрения не была реализована в практике массового школьного обучения.

Приобщая школьников к основным идеям геометрии, можно доступно изложить им основные положения группового подхода, которые составляют вводную часть знаменитой лекции Ф. Клейна «Эрлангенская программа» (1872), примерно так.

" Что такое геометрия? Наука о геометрических свойствах фигур. Какие же свойства следует называть геометрическими? Те, что не зависят от положения, занимаемого фигурой в пространстве, от ее абсолютных размеров и, наконец, от ориентации (под этим понимают то свойство расположения, которое является источником различия между данной фигурой и ее зеркальным изображением). Отсюда вытекает, что геометрические свойства фигуры не изменяются от параллельных переносов и поворотов, от преобразований подобия, от зеркального отражения и от всех преобразований, которые могут быть составлены из перечисленных. Отметим, что все они в совокупности образуют группу. Можно сказать, геометрические свойства — это те, которые не изменяются в результате любого преобразования из группы перечисленных выше.

Будем говорить теперь о произвольной группе преобразований. Как обобщение геометрии тогда получится следующая задача. Дано пространство и в нем группа преобразований. Нужно исследовать те свойства фигур, которые не изменяются при преобразованиях этой группы. Иными словами, требуется развить теорию инвариантов этой группы. Это — общая задача, включающая в себя не только обыкновенную геометрию, но и новейшие геометрические теории. Так говорил Клейн. С тех пор каждую геометрию, порождаемую некоторой группой преобразований, называют клейновской геометрией.

Так, например, школьная евклидова геометрия порождена группой преобразований подобия, как отметил сам Клейн. Как одну из других клейновских геометрий было бы любопытно изложить неевклидову геометрию Лобачевского или Римана" .

Итак, понятие преобразования как основной операции, охватывающей не только математические, но и другие, более широкие отношения, является важным основанием для развития геометрического мышления учащихся.

С понятием преобразования связывают различные представления у школьников. Одни из них опираются на представление перемещения некоторого материального «твердого» тела. Такую точку зрения принято называть механической или динамической, связанной с представлениями о силе, вызывающей движение (перемещение). Другая точка зрения, кинематическая, опирается на более отвлеченное представление о движении, не связанное с представлениями о силе, вызывающей это движение. На него опираются в школьном курсе геометрии при доказательстве признаков равенства треугольников наложением, при установлении равенства отрезков и углов и т. п. Наконец, принятая сейчас в школьном обучении точка зрения на преобразование опирается на теоретико-множественный подход к геометрии, несмотря на то, что ввиду методологической сложности он отсутствует в современных школьных учебниках.

Понятие геометрического преобразования неразрывно связано с развитием функционального мышления учащихся. Геометрическое преобразование трактуется с теоретико-множественной точки зрения как отображение (функция). Как известно, понятие функции — одно из фундаментальных математических понятий, непосредственно связанных с реальной действительностью. В нем ярко воплощены изменчивость и динамичность реального мира, взаимная обусловленность реальных объектов и явлений. Именно в понятии функции в определенной степени отображается бесконечное многообразие явлений реального мира.

В настоящее время существует несколько вариантов определения понятия функции. При одном из них под числовой функцией понимается отображение одного числового множества в другое, что адекватно сочетается с определением геометрического преобразования как точечного отображения плоскости (пространства) на себя.

Ф. Клейн считал понятие функции центральным понятием всей математики. По его мнению, оно должно играть руководящую роль в курсе средней школы, должно быть выяснено учащимися очень рано и пронизывать все преподавание алгебры и геометрии. С точки зрения Ф. Клейна, всякое научное знание не может быть усвоено школьниками без обращения к наглядности. Поэтому введение понятия функции с помощью геометрических образов, в геометрической форме, в частности с помощью элементарных геометрических преобразований, является наиболее целесообразной в школьном обучении.

Условия для введения понятий функции, геометрического преобразования создает теоретико-множественная концепция как основа школьного курса. В этой связи очень коротко остановимся на проблеме использования теории множеств в методике школьного обучения геометрии.

А.Н. Колмогоров и др. в своем учебнике включил теорию множеств в обучение геометрии, что в целом не сумела преодолеть общеобразовательная школа. В последующих учебниках геометрии (А.В. Погорелов, Л. С. Атанасян и др.) методология была достаточно умеренной, был сделан шаг назад, в частности, отказ от теоретико-множественного подхода. Это связано с определенными достоинствами и недостатками методологического подхода и методических принципов построения школьного курса геометрии и, в частности, методики введения понятия геометрических преобразований. Но в преподавании геометрии до сих пор не уделяется должного внимания геометрическим преобразованиям, в то время как развитие геометрической науки давно показало, что преобразования являются одной из фундаментальных областей научной геометрии, тесно связанной с курсом алгебры.

Геометрия — одна из наиболее древних математических наук, первые упоминания о которой можно найти в египетских папирусах (III тыс. до н.э.) и вавилонских клинописях.

Одним из важнейших обогащений геометрии стало создание теории геометрических преобразований и, в частности, движений (перемещений).

Движение и, в частности, наложение, было основным методом доказательства у Фалеса, а также играет существенную роль в «Началах» Евклида. Определение равенства фигур у Евклида основано на совмещении фигур. Евклид постоянно производит перенос отрезков с помощью циркуля, да и само описание прямых линий и окружностей производится с помощью движений. Например, Евклид определяет сферу как результат вращения полуокружности вокруг диаметра. Однако во всех случаях, когда Евклид может обойтись без движений, он так и поступает. Евклид не определяет движение и его виды.

Стремясь уточнить изложение геометрии у Евклида, Д. Гильберт в «Основаниях геометрии» (1899) отказался от самого понятия движения. Вместе с тем, существует вариант аксиоматики геометрии, предложенный Ф. Шуром, в которой гильбертовские аксиомы конгруэнтности заменены аксиомами движения.

Идея геометрических преобразований как основы геометрии выросла на базе теории групп. Впервые теорию групп применил к геометрии немецкий математик Ф. Клейн. В своей «Эрлангенской программе» (1872) он высказал идею построения геометрии на основе геометрических преобразований и определил геометрию как предмет, изучающий инварианты некоторой группы преобразований.

После публикации «Эрлангенской программы» Ф. Клейна реформисты постарались использовать идею геометрических преобразований при построении школьного курса геометрии. В учебниках геометрии идея движения находит свое отражение уже в XIX веке.

В Германии в 1882—1883 годах выходит «Учебник элементарной геометрии» Генрицы и Трейтлейна, в основу которого положена идея геометрического преобразования.

Наиболее полно геометрические преобразования представлены в учебнике А. Н. Глаголева «Элементарная геометрия» (1895). Автор вводит аксиому движения и при доказательстве ряда теорем пользуется наложением фигур. Наряду с симметрией в учебнике рассматривается параллельный перенос и вращение вокруг точки.

Использование геометрических преобразований при решении задач на построение находит широкое отражение в учебной литературе второй половины XIX века в книгах Ю. Петерсена «Методы и теории для решения геометрических задач на построение» (1866), И. И. Александрова «Методы решения геометрических задач на построение» (1883). Авторы дают характеристику каждому методу и иллюстрируют его на примере решения задач. В «Элементарной геометрии» Ж. Адамара (1898−1901) рассматриваются такие виды геометрических преобразований, как симметрия, поступательное перемещение, гомотетия и подобие, вращение, теория полюсов и другое. Однако геометрические преобразования не связываются с основным материалом курса.

Таким образом, геометрические преобразования присутствуют во многих учебниках XIX века, хотя применение они находят при незначительном числе доказательств и решении отдельных видов задач.

В начале XX века возрастает интерес к геометрическим преобразованиям и в русской школе. В учебнике «Элементарной геометрии» (1909) К. Н. Рашевский рассматривает такие виды геометрических преобразований, как симметрия относительно точки и прямой, параллельное перенесение, вращение около точки, гомотетия. Идея геометрических преобразований не охватывает весь курс геометрии. В «Геометрии пространства» Б. А. Марковича (1910) показывается применение движения при доказательстве теорем и построении курсов планиметрии и стереометрии. В 1911 году выходит работа Н. А. Извольского «Первые шаги курса геометрии», в которой автор при изучении материала пользуется наложением, вращением вокруг точки.

В 1911;1914 годах на I и II Всероссийских съездах преподавателей математики России в числе других вопросов был поставлен вопрос о внедрении в школьный курс геометрических преобразований. С докладом «Об упрощении построения курса геометрии и расширении ее содержания» выступил А. В. Годнев, где высказался за введение в курс геометрии движений. Аналогичную точку зрения осветил в докладе «Идея движения в современной геометрии и область ее применимости в курсе средней школы» А. Р. Кулишер.

Учебник А. П. Киселева «Элементарная геометрия для средних учебных заведений» (1923), который являлся долгое время основным учебником для средней школы, очень сдержан в применении геометрических преобразований. В нем присутствовали указания на применение параллельного переноса, вращения или симметрии относительно прямой к решению задач на построение. С 1938 года учебник А. П. Киселева выходит под редакцией Н. А. Глаголева, который выдвинул на первый план основные геометрические идеи о движении, о симметрии, о подобии, как геометрическом преобразовании.

В первом издании «Элементарной геометрии» (1944) Н. А. Глаголева усиливается роль геометрических преобразований. Наиболее полно рассматриваются гомотетия и симметрия, которые используются автором для доказательства соответственно признаков подобия треугольников и признаков равенства треугольников, что явилось значительным продвижением в реализации этой идеи в школьном преподавании геометрии.

Учебник «Геометрия» для 6−9 классов Н. Н. Никитина и А. И. Фетисова (1956) содержит материал о геометрических преобразованиях. Авторы рассматривают осевую и центральную симметрии, гомотетию и подобие.

К началу 60-х годов была объявлена реформа школьного образования. Основными среди целей геометрического образования были названы систематичность и научность. Академик А. Н. Колмогоров, возглавивший реформу, предпринял радикальную перестройку курса геометрии: он создал новую аксиоматику, которая готовила учащихся к лучшему пониманию геометрических положений. В учебном пособии под редакцией А. Н. Колмогорова преобразования занимали центральное место, именно они служили основой доказательства многих теорем, их обоснованию была посвящена специальная аксиома подвижности.

В 1963;1964 учебном году в программу по геометрии 9 класса была включена тема «Геометрические преобразования». Целью изучения этой темы явилось ознакомление учащихся с идеей и методом геометрических преобразований. Учебным пособием являлся учебник «Геометрия» В. Г. Болтянского и И. М. Яглома, где авторы рассматривают осевую и центральную симметрии, поворот, параллельный перенос, гомотетию. Раздел «Осевая симметрия» начинается с рассмотрения конкретных симметричных фигур. Далее дается определение точек, симметричных относительно прямой. При изложении теории центральной симметрии, параллельного переноса и поворота значительное место уделяется наглядности. Большое внимание в учебном пособии уделяется учению о гомотетии, которая рассматривается как с положительным, так и с отрицательным коэффициентом. После рассмотрения отдельных видов преобразований авторы знакомят читателя с понятием геометрического преобразования. В итоге дается определение движения и раскрывается его роль в курсе геометрии. В учебнике содержатся примеры на формирование у учащихся приемов метода геометрических преобразований.

В соответствии с действующей в настоящее время программой для средней общеобразовательной школы, геометрические преобразования плоскости включены в качестве обязательного материала в курс планиметрии 8−9 классов. Геометрические преобразования представляют собой некоторую часть (главу или отдельные параграфы) учебника геометрии.