Виды задач с пропорциональной зависимостью в начальном курсе математики

Ребенок с первых дней занятий в школе встречается с задачей. Сначала и до конца обучения в школе математическая задача неизменно решает образовательные, развивающие и воспитательные цели. Ю. М. Колягин выделяет основные из них:

«1. Текстовые задачи являются важным средством обучения математике. С их помощью учащиеся получают опыт работы с величинами, постигают взаимосвязи между ними, получают опыт применения математики к решению практических задач.

• 2. Использование арифметических способов решения задач развивает смекалку и сообразительность, умение ставить вопросы, отвечать на них, то есть развивает естественный язык, готовит школьников к дальнейшему обучению.
• 3. Арифметические способы решения текстовых задач позволяют развивать умения
• — анализировать задачные ситуации,
• — строить план решения, с учетом взаимосвязей между известными и неизвестными величинами (с учетом вида задачи),
• — истолковывать результат каждого действия в рамках условия задачи,
• — проверять правильность решения с помощью составления и решения обратной задачи, то есть формировать и развивать важные общеучебные умения.
• 4. Арифметические способы решения текстовых задач приучают детей к первым абстракциям, позволяют воспитывать логическую культуру, могут способствовать созданию благоприятного эмоционального фона обучения, развитию у школьников эстетического чувства применительно к решению задачи (красивое решение!) и изучению математики, вызывая интерес сначала к процессу поиска решения задачи, а потом и к изучаемому предмету"[7].

Как мы уже говорили в первом параграфе нашей работы, существует много видов задач, как простых, так и составных. Особую сложность для младших школьников представляют задачи с пропорциональными величинами. Но именно задачи с пропорциональной зависимостью готовят учащихся к обучению математике в среднем и старшем звене школы.

Среди этих задач методист Н. Б. Истомина выделяет такие основные виды:

• 1) задачи на нахождение четвертого пропорционального;
• 2) задачи на пропорциональное деление;
• 3) задачи на нахождение неизвестного по двум разностям[6].

В задачах, как мы увидели в учебниках математики третьих и четвертых классов, рассматриваются группы пропорциональных величин: масса одного предмета, число предметов, общая масса; емкость одного сосуда, число сосудов, общая емкость; выработка в единицу времени, время работы, общая выработка; расход материи на одну вещь, количество вещей, общий расход материи и т. д.

Мы выделили основные процессы, изучаемые с помощью задач с пропорциональной зависимостью, по степени частотности их использования при решении задач и составили таблицу. В таблице хорошо прослеживается, на наш взгляд, зависимость между величинами в этих процессах.

Рассмотрим перечисленные нами виды задач и приведем образцы.

Задачи на нахождение четвертого пропорционального.

К задачам такого вида относятся задачи, в которых рассматриваются две прямо и обратно пропорциональные величины при постоянной третьей. В них известно одно значение одной величины и два значения другой и требуется найти второе значение другой. Для демонстрации таких видов задач методист Н. Б. Истоминой предложены таблицы:

Рассмотрим этот вид на примере процесса купля-продажа с величинами — количество, цена, стоимость.

Задача: За 6 карандашей заплатили 40 руб. Сколько стоят 3 таких карандаша?

Итак, здесь три величины, одна из них постоянна, а две другие — переменные. Известно два значения одной из них (количества) и одно значение другой (стоимости). Это задача на нахождение четвертого пропорционального. Обозначим k — цена, x — количество, y — стоимость, так как формула пропорциональной зависимости y=kx, где x — независимая переменная, y — функция, k — действительное число. Возьмем два значения количества x₁; x₂, соответствующие значения y₁ = k₁x (1), y₂ = k₂x (2). Поделим равенство (2) на равенство (1): y1/y2 = x1/x2.

Получим равенство двух отношений, или пропорцию, в которой известны три значения (y_1,x₁, x₂), находим четвертый пропорциональный. Используя любые три величины, связанные пропорциональной зависимостью, можно составить шесть видов задач на нахождение четвертого пропорционального.

Т.Е.Демидова, А. П. Тонких считают, что «на первом этапе обучения новому типу задач целесообразно подвести учащихся к самостоятельному нахождению способа решения на основе выполнения системы практических действий, которые служат средством анализа, выявления отношений между предметами. После практических упражнений полезно предложить задачи с сюжетом, которые представляют большую трудность. В связи с этим необходимо использовать схемы, рисунки, чертежи, возникающие в совместной деятельности"[4].

Итак, здесь три величины, одна из них постоянна, а две другие — переменные. Известно два значения одной из них (количества) и одно значение другой (стоимости). Ясно, что стоимость карандашей уменьшится во столько же раз, во сколько уменьшится их количество. Это можно увидеть в таблице:

Следовательно можно записать и решение по действиям с пояснениями:

• 1) 6: 3 = 2 (раза) — во столько раз карандашей стало меньше;
• 2) 40: 2 = 20 (р.) — стоимость трех карандашей.

Ответ: 20 рублей.

Задачи на пропорциональное деление.

К задачам этой группы относятся задачи, в которых данное значение некоторой величины требует разделить на части пропорционально заданным числам. В некоторых из них части представлены ясно, а в других эти части надо суметь выделить, приняв одно из значений этой величины за одну часть и определив, сколько таких частей приходится на другие ее значения:

В основе задач на пропорциональное деление лежат задачи на нахождение четвертого пропорционального. К этой группе относятся следующие виды задач:

• — задачи на части, или задачи, решаемые делением пропорционально ряду данных чисел;
• — задачи на нахождение чисел по сумме и кратному отношению;
• — задачи, решаемые делением числа пропорционально нескольким рядам чисел.

«Основным признаком задач на пропорциональное деление является содержащееся в них требование распределить одно числовое значение величины (например, стоимости) пропорционально данным числам (например, числу предметов в одной совокупности и числу предметов в другой совокупности)» — указывает А. В. Белошистая [3].

Задачи на части, или задачи, решаемые делением пропорционально ряду данных чисел.

К задачам данного типа относятся задачи, в которых значение некоторой величины нужно разделить на части прямо пропорционально ряду чисел. Приведем образец такой задачи.

Задача: Туристическая фирма располагает четырьмя базами отдыха, которые имею корпуса одинаковой вместимости. На территории 1-й базы отдыха расположены 6 корпусов, 2-й — 4 корпуса, 3-й — 5 корпусов, 4-й — 7 корпусов. Сколько отдыхающих может разместиться на каждой базе, если на всех 4 базах может разместиться 2112 человек?

Чтобы ответить на вопрос задачи, сколько отдыхающих может разместиться на каждой базе, нужно знать, сколько отдыхающих разместиться в одном корпусе, а также, сколько корпусов расположено на территории каждой базы. Число корпусов на каждой базе дано в условии. Чтобы узнать, сколько отдыхающих может разместиться в одном корпусе, надо знать, сколько отдыхающих может разместиться на всех 4 базах (это дано в условии) и сколько корпусов расположено на территории всех 4 баз. Последнее можно определить, зная из условия, сколько корпусов расположено на территории каждой базы.

Запишем, в соответствии с этим решение с пояснениями:

• 1) 6 + 4 + 5 + 7 = 22 (к.) — расположено на территории 4 баз;
• 2) 2112: 22 = 96 (ч.) — может разместиться в одном корпусе;
• 3) 96 • 6 = 576 (ч.) — может разместиться на первой базе;
• 4) 96 • 4 = 384 (ч.) — может разместиться на второй базе;
• 1) 96 • 5 = 480 (ч.) — может разместиться на третьей базе;
• 2) 96 • 7 = 672 (ч.) — может разместиться на четвертой базе.

Ответ: на первой базе может разместиться 576 отдыхающих, на второй — 384 отдыхающих, на третьей — 480 отдыхающих, на четвертой — 672 отдыхающих.

Задачи на нахождение чисел по сумме и кратному отношению.

Чаще задачи этого вида можно увидеть в учебниках программ развивающего обучения — «Гармония» (учебник Н. Б. Истоминой, «Школа 2000…» (учебник Л.Г.Петерсон) и др.

Дадим образец задачи с пропорциональной зависимостью и этого вида.

Задача: На оборудование детской площадки, теплицы и спортивного зала администрацией школы было израсходовано 49 000 р. Оборудование детской площадки обошлось вдвое дешевле, чем теплицы, а теплицы в 3 раза дешевле, чем спортивного зала и детской площадки вместе. Сколько денег было израсходовано на оборудование каждого из указанных объектов?

Чтобы узнать количество денег, израсходованных на оборудование каждого объекта, надо знать, сколько частей всех израсходованных денег приходилось на оборудование каждого объекта и сколько рублей приходилось на каждую часть. Число частей израсходованных денег на оборудование каждого объекта определяется из условия задачи. Определив число частей на оборудование каждого объекта в отдельности, а затем, найдя их сумму, вычислим величину одной части.

Принимаем за одну часть — количество денег, израсходованных на оборудование детской площадки. По условию на оборудование теплицы израсходовано в 2 раза больше, т. е. 1 • 2 = 2 (ч.); на оборудование детской площадки и спортивного зала вместе израсходовано в 3 раза больше, чем на теплицу, т. е. 2 • 3 = 6 (ч.), следовательно, на оборудование спортивного зала израсходовали 6 — 1 = 5 (ч.).

На оборудование детской площадки израсходована одна часть, теплицы — 2 части, спортивного зала — 5 частей. Весь расход составлял 1 + 2 + 5 = 8(ч.).

8 частей составляют 49 000 р., одна часть меньше этой суммы в 8 раз: 49 000: 8 = 6125 (р.). Следовательно, на оборудование детской площадки израсходовали 6125 р.

На оборудование теплицы израсходовано в 2 раза больше: 6125 • 2 = 12 250 (р.).

На оборудование спортивного зала израсходовано 5 частей: 6125 • 5 = 30 625 (р.).

Ответ: 6125 рублей; 12 250 рублей; 30 625 рублей.

Существуют и задачи, решаемые делением числа пропорционально нескольким рядам чисел.

К задачам данного типа относятся задачи, в которых значение некоторой величины нужно разделить на части пропорционально нескольким рядам чисел.

Задача: Двое рабочих получили 1800 р. Один работал 3 дня по 8 ч, другой 6 дней по 6 ч. Сколько заработал каждый, если за 1 ч работы они получали поровну?

Чтобы узнать, сколько получал каждый рабочий, надо знать сколько рублей платили за 1 ч работы и сколько часов работал каждый рабочий. Чтобы узнать, сколько рублей платили за 1 ч работы, надо знать, сколько заплатили за всю работу (дано в условии) и сколько часов работали оба рабочих вместе. Чтобы узнать общее число часов работы, надо знать о том, сколько часов работал каждый, а для этого необходимо знать — сколько дней работал каждый и по сколько часов в день. Эти данные в условии имеются. Запишем решение по действиям с пояснением:

• 1) 8 • 3 = 24 (ч) — работал первый рабочий;
• 2) 6 • 6 = 36 (ч) — работал второй рабочий;
• 3) 24 + 36 = 60 (ч) — работали оба рабочих вместе;
• 4) 1800: 60 = 30 (р.) — получали оба рабочих за 1 ч работы;
• 5) 30 • 24 = 720 (р.) — заработал первый рабочий;
• 6) 30 • 36 = 1080 (р.) — заработал второй рабочий.

Ответ: первый рабочий заработал 720 рублей; а второй — 1080 рублей.

Задачи на нахождение неизвестного по двум разностям.

К задачам данного вида относятся задачи, в которых рассматривается две прямо и обратно пропорциональные величины, такие, что известны два значения одной величины и разность соответствующих значений другой величины, а требуется найти сами величины.

Задача: Два поезда прошли с одинаковой скоростью — один 837 км, другой 248 км, причем первый был в пути на 19 ч больше второго. Сколько часов был в пути каждый поезд?

Для ответа на вопрос задачи, сколько часов был в пути тот или другой поезд, надо знать пройденное им расстояние и скорость. Расстояние дано в условии. Чтобы узнать скорость, надо знать расстояние и время, за которое это расстояние пройдено. В условии сказано, что первый поезд шел на 19 ч дольше — это первая разность между величинами в данной задаче, а пройденное им за это время расстояние можно найти — это и будет вторая разность. Используя две разности, вычислим скорость первого поезда, а уже следующими действиями — время движения поездов.

Запишем решение по действиям с пояснениями:

• 1) 837 — 248 = 589 (км) — на столько километров больше прошел первый поезд;
• 2) 589: 19 = 31 (км/ч) — скорость первого поезда;
• 3) 837: 31 = 27 (ч) — был в пути первый поезд;
• 1) 248: 31 = 8 (ч) — был в пути второй поезд.

Ответ: первый поезд был в пути 27 часов, второй поезд — 8 часов.

Исходя из материалов проанализированной нами методической литературы, мы можем сказать, что задачи с пропорциональной зависимостью, решаемые в младших классах, имеют следующую классификацию:

• 1) задачи на нахождение четвертого пропорционального;
• 2) задачи на пропорциональное деление:
  • — задачи на части, или задачи, решаемые делением пропорционально ряду данных чисел;
  • — задачи на нахождение чисел по сумме и кратному отношению;
  • — задачи, решаемые делением числа пропорционально нескольким рядам чисел;
• 3) задачи на нахождение неизвестного по двум разностям.