Методика обучения геометрическим величинам

Вопросы для обсуждения.

• 1. В чем значимость изучения геометрических величин?
• 2. Как разъяснить учащимся сущность процедуры измерения?
• 3. С какими единицами длины, площади, объема целесообразно познакомить детей?
• 4. Как объяснить школьникам, что единица величины может быть любой величиной того же рода?
• 5. Надо ли знакомить школьников с историей возникновения метрических единиц геометрических величин?
• 6. В чем трудности усвоения понятий «равновеликие и равносоставлеиные многоугольники»? Как можно способствовать их уменьшению?
• 7. Как можно разъяснить детям различие понятий «величина», «единица величины», «числовое значение или мера величины»?

Сравнение длин отрезков с помощью выбранной мерки, в качестве которой выступает либо длина клеточки, либо длина полоски, либо величина раствора циркуля, сводится к подсчету числа мерок, которые без пропусков и наложений покрывают отрезок, и сравнению полученных чисел. На этом этапе дети усваивают: а) разное число мерок не означает неравенство отрезков; б) при равных мерках равное их число означает равенство длин отрезков; в) для сравнения длин отрезков по числам, полученным в результате измерения, надо выбирать одну и ту же мерку.

Одной из возможных таких мерок является сантиметр, измерительным инструментом выступает линейка. С ее помощью решаются три задачи: 1) измерить длину отрезка (найти меру длины) в сантиметрах, правильно записать результат; 2) начертить отрезок, длина которого в сантиметрах известна; 3) находить длину отрезка, являющегося суммой отрезков.

Известно, что распространенной ошибкой при измерении линейкой является приложение начала измеряемого отрезка к единице вместо нуля.

Введение

числовой прямой (числового луча, числового отрезка), когда дети сами строят прямую, произвольно выбирают единицу длины и проводят отрезки, определенной меры в этих единицах, позволяет предупредить ошибки такого рода.

Ознакомление с понятием «ломаная» позволяет решать задачи вычисления длин таких линий, как сумму мер длин отрезков, являющихся звеньями ломаной (рис. 9.8).

Рис. 9.8. Представление длины ломаной суммой длин ее звеньев Если «многоугольник» рассматривается как простая замкнутая ломаная, звенья которой — стороны многоугольника, то периметр многоугольника — это длина этой ломаной. Числовое значение периметра — сумма числовых значений длин его сторон. Если же многоугольник рассматривается как часть плоскости, ограниченной простой замкнутой ломаной, то периметр многоугольника — длина границы, числовое значение которой находится в точности так же. Овладение детьми умением находить числовые значения длин ломаной и периметра многоугольника позволяет абстрагировать действия сложения и вычитания числовых значений длины, т. е. выполнять арифметические действия над такими значениями безотносительно к определенной геометрической ситуации. При этом формируются умения производить действия сложения, вычитания числовых значений длин. Полезно обсуждать разные способы действий, с переводом в единицы одинаковых наименований или без перевода:

• 6 м 8 дм 4 см + 6 см = 6 м 9 дм;
• 4 см + 6 см = 10 см = 1 дм;
• 6 м 8 дм + 1 дм = 6 м 9 дм;
• 684 см + 6 см = 690 см = 6 м 9 дм;
• 4 м — 23 см = 3 м 77 см;
• 400 см — 23 см = 377 см = 3 м 77 см; 4 м = 3 м + 100 см;
• 3 м + 100 см — 23 см = 3 м 77 см.

Умножение и деление числовых значений длины на число выполняются при решении задач вида: «Аллею в парке удлинили в два раза. Какой стала ее длина, если первоначально она равнялась 27 м?» Здесь следует обратить внимание учащихся на то, что 27 м — это длина, числовое значение которой выражено в метрах, а 2 — это отвлеченное число, увеличенная в 2 раза длина — это тоже длина. Запись решения: 27 м • 2 = 54 м. Аналогичная ситуация с делением числового значения величины на число.

Еще одной геометрической величиной является величина угла. Угол — два луча с общим началом. Общее начало — вершина угла, лучи — стороны угла. В начальной школе принято рассматривать углы, не превышающие развернутого — угла, стороны которого лежат на одной прямой. Использование предметных моделей плоских углов позволяет решать две задачи: 1) сравнивать углы наложением; 2) делить угол пополам. Результат сравнения углов: углы равны, если совпадают их стороны и вершины, либо тот из углов меньше, у которого при совпадении вершин и одной из сторон, вторая сторона проходит внутри другого угла. Деление угла пополам осуществляется совмещением сторон его предметной модели. Освоение детьми этих задач служит подготовкой к построению модели прямого угла, которая строится делением пополам развернутого угла. Острые и тупые углы определяются сравнением с прямым углом.

Числовые меры углов аналогичны числовым значениям длин отрезков. Для этого выбирается некоторый угол, принимаемый за единицу величины угла. Такой единицей, восходящей к глубокой древности, принят угол, равный одной девяностой части прямого. Он называется градусом и записывается 1°. Измерительный инструмент — транспортир. Углы транспортиром измеряют аналогично тому, как измеряют отрезки линейкой. Только шкала располагается не на прямой, а на дуге половины окружности. Сравнение углов наложением можно заменить сравнением их числовых значений. Если угол А = 32°, угол В = 56°, то угол А < угла В, так как 32° < 56°. Углы, так же как и отрезки, складываются и вычитаются, и, соответственно, складываются и вычитаются числовые значения их мер. Например, чтобы построить сумму углов АВС и CBD_y надо совместить их вершины и одну из сторон. Угол ABD — сумма углов ЛВС и CBD, а угол ЛВС — разность углов ABD и CBD (рис. 9.9).

Рис. 9.9. Мера суммы углов равна сумме мер этих углов Если угол АВС = 24°, угол CBD = 49°, то угол ABD = 24° + 49° = 73°.

Здесь важно подчеркнуть, измерение углов и действия с их мерами вполне аналогичны измерению отрезков и действиям с мерами длин.

Обучение измерению площади многоугольника начинается, так же как и обучение измерению любой величины, с формирования умений сравнивать площади способом наложения. Достаточно быстро устанавливается ограниченность такого способа (рис. 9.10).

Рис. 9.10. Сравнение площадей методом наложения Проблемная ситуация преобразуется в учебную задачу: найти способ измерения площадей плоских фигур и сравнивать площади по их числовым значениям. Эта задача содержит подзадачу: выбрать единицу площади. Мы знаем, что за единицу площади можно взять площадь любой плоской фигуры. Удобно за единицу площади взять площадь квадрата. В математике установлено, что наиболее подходящей единицей площади является площадь квадрата со стороной, равной одной единице длины, при таком выборе формулы площадей различных фигур принимают наиболее простой вид. Такая единица называется квадратной. Площадь квадрата со стороной 1 см называется квадратным сантиметром.

Дети получают предметную модель квадратного сантиметра и 3—4 предметные модели многоугольников (не прямоугольников), составленных из квадратов со стороной 1 см, площади которых требуется измерить квадратными сантиметрами. Накладывая модель квадратного сантиметра и обводя се карандашом, дети разбивают многоугольники на клеточки площадью в 1 см² и подсчитывают их число. Среди многоугольников должны быть не равные, но равновеликие, т. е. имеющие равные площади. Понятие равновеликое™ закрепляется при решении задач вида: а) по клеточкам в тетради постройте равновеликие и неравные многоугольники; б) среди данных многоугольников укажите пары равновеликих; в) из трех данных треугольников (даны предметные модели треугольников) составьте два равновеликих неравных многоугольника (здесь возникает понятие равносоставленности, заострять внимание детей на нем не обязательно).

На листе в клеточку дети рисуют квадратный сантиметр и квадратный дециметр. С помощью рисунка находят равенство 1 дм² = 100 см². Целесообразно дать каждому ученику предметную модель квадратного дециметра и лист бумаги не в клеточку размером 20×20 (см), площадь которого дети измеряют квадратным дециметром, обводя модель дециметра карандашом. Результат записывается так: площадь листа = 4 дм².

Чтобы вывести формулу площади прямоугольника в том случае, когда длины сторон выражаются целым числом линейных единиц, разбиваем прямоугольник на квадратные единицы. Каждый ученик выполняет такое разбиение самостоятельно (у детей имеются предметные модели прямоугольника на клетчатой бумаге). Находим рациональный способ подсчета полученных квадратных единиц. Перемножаем их число в одном ряду и число рядов. Обращаем внимание детей на то, что число квадратов в одном ряду и число рядов — это длины сторон прямоугольника. Делаем вывод: площадь прямоугольника равна произведению длин его соседних сторон, если числовые значения длин выражены в одной и той же единице.

Решение задач^[1] на вычисление площадей многоугольников, вершины которых расположены в узлах квадратной сетки (рис. 9.11), в единицах, равных площади одного квадрата сетки, способствуют поиску нестандартных решений и формированию практических умений.

Рис. 9.11. Вычисление площади многоугольников, вершины которых расположены в узлах квадратной сетки Для закрепления знаний о периметре и площади многоугольника целесообразно предлагать задачи, решение которых включают выделение таких частей многоугольника, что искомая площадь является суммой или разностью площадей этих частей. Например, вычислить периметр и площадь каждой из фигур (рис. 9.12) в единицах, задаваемых квадратной сеткой^[2], на основе свойства аддитивности меры.

Рис. 9.12. Вычисление площади многоугольников на основе свойства аддитивности меры Значительное внимание в курсах математики для начальной школы уделяется ознакомлению учащихся с телами и вычислению объемов прямоугольного параллелепипеда и многогранников, составленных из кубов. Вычисление объемов многогранников (рис. 9.13) сводится к подсчету числа составляющих их кубов — кубических единиц.

Рис. 9.13. Вычисление объемов непосредственным подсчетом составляющих многогранник кубических единиц Трудность подсчета заключается в том, что не все составляющие многогранник кубы видимы на рисунке. Обращаем внимание детей на то, что многогранник слева симметричен, верхний и нижний слои его одинаковы, в каждом, но пять кубических единиц, а в среднем слое девять кубических единиц. Многогранник справа представляет собой прямоугольный параллелепипед, ребра которого 2, 3 и 3 ед. длины. Из такого параллелепипеда «вырезаны» три кубические единицы.

Общепринятые кубические единицы: объемы кубов, ребра которых равны единице длины 1 см³, 1 дм³, 1 м³ и т. д. Единица вместимости 1 л = 1 дм³.

Объем прямоугольного параллелепипеда, ребра которого равны целому числу единиц длины, нетрудно подсчитать (у прямоугольного параллелеиииеда все грани прямоугольники). Площадь его основания равна произведению длин сторон прямоугольника в основании (это число кубических единиц в нижнем слое), число таких слоев равно числовому значению ребра боковой грани (не ребра основания). Если числовые значения длин ребер а, Ь, с выражены в одной единице, то объем параллелепипеда равен произведению а? b? с.

Полезными являются задачи на нахождение соотношения между единицами объема. Чтобы найти число кубических сантиметров в одном кубическом дециметре, надо вспомнить, что 1 дм = 10 см, а кубический дециметр — это куб, ребра которого 10 см, поэтому 1 дм³ =10−10−10 см³ = 1000 см³. Аналогично 1 м³ = 1000 дм³ = 1 000 000 см³.

Задание может быть сформулировано следующим образом: «Выразить:

а) в кубических сантиметрах 8 дм³, 25 дм³, 2 м³; б) в кубических дециметрах 12 м³, 5 м³, 16 дм³".

Способствовать усвоению знаний о вычислениях объема может решение задач вида: «Коробка с мороженым имеет форму прямоугольного параллелепипеда, ребра которого 3, 15 и 20 дм. Сколько килограммов мороженого привезли в буфет в этой коробке, если килограмм мороженого занимает объем 2 дм³?».

Примером задачи, решение которой способствует формированию представлений о движениях первого и второго рода, является следующая: «Какие из данных фигур можно совместить с фигурой F7 Вершины, обозначенные одинаковыми буквами, должны совпадать. (Фигуры можно двигать по листу, но нельзя переворачивать.)^[3]» (рис. 9.14).

Рис. 9.14. Движение первого и второго рода Нельзя совместить фигуру б: ее обход в направлении от А к В совершается по часовой стрелке, а у остальных фигур — против часовой стрелки. Обращаем внимание детей на то, что при перемещении фигуры по листу все ее размеры и углы сохраняются.

Первые представления о центральной симметрии (повороте фигуры вокруг некоторой точки на угол, равный 180°), могут формироваться в процессе решения следующих задач.

• 1. Точки А и В расположены на прямой. Изобразите на этой прямой точки, симметричные А относительно В.
• 2. Точка О расположена на отрезке А В. Изобразите отрезок, симметричный АВ относительно О. Рассмотрите три случая: а) О — центр отрезка;
• б) О совпадает с одним из концов; в) О находится между А и В, но не посередине отрезка АВ.
• 3. Найдите центр симметрии отрезка.

Решение задачи «Дорисуй и раскрась» формирует первые представления об осевой симметрии (рис. 9.15). Здесь также обращается внимание детей на то, что совместить обе части рисунка возможно, только выйдя за пределы листа.

Рис. 9.15. Знакомство с осевой симметрией Задание «Продолжи орнамент. Найди центрально-симметричные фигуры» знакомит с переносной симметрией (рис. 9.16).

Рис. 9.16. Переносная симметрия Центрально-симметричные фигуры заключены между вертикальными линиями, их центр симметрии обозначен кружочком. Симметрия геометрических фигур — это свойство, которое наглядно выражается в гармоничности, в соразмерности всех частей фигуры, и представляет собой такое преобразование фигуры в себя, при котором сохраняются ее размеры.

Задания для самостоятельной работы

• 1. Составьте учебный диалог, убеждающий детей в необходимости сравнения величин с помощью величины-посредника. Подготовьте сообщение.
• 2. Подготовьте сообщение, разъясняющее аналогию между измерением длины и измерением величины угла.
• 3. Подберите систему заданий, выполняя которые дети убеждаются в практической необходимости измерений геометрических величин. Подготовьте презентацию.
• 4. Составьте учебный диалог, коммуникативная цель которого — в формулировке детьми вывода: периметр многоугольника — это длина, равная сумме длин его сторон. Числовое значение периметра многоугольника равно сумме числовых значений длин сторон. Подготовьте презентацию.
• 5. Подготовьте рассуждение, доказывающее:
  • • для вычисления периметров и площадей прямоугольника школьникам необходимо знать формулы Р = 2а + 26, S = а • Ь
  • • противоположную точку зрения — оперирование формулами затрудняет понимание изучаемого знания.
• 6. Приведите рассуждение, доказывающее целесообразность использования предметных моделей геометрических фигур при обучении их метрическим свойствам. Подготовьте сообщение.
• 7. Подготовьте рассуждение, доказывающее целесообразность ознакомления младших школьников с симметрией плоских фигур. Подготовьте презентацию.
• 8. Знания о каких метрических свойствах геометрических фигур способствуют достижению результатов обучения, требуемых ФГОС НОО? Подготовьте рассуждение, отвечающее на данный вопрос.
• 9. Опишите методику работы над задачей: «Сторона DF треугольника DFE равна 8 см. Это в два раза больше, чем длина стороны FE. Найти длину стороны DE треугольника DFE, если его периметр равен 21 см». Подготовьте презентацию.
• 10. Опишите методику работы над задачей: «Какую часть площадь четырехугольника LKTM составляет от площади прямоугольника ABCD» (рис. 9.17). Подготовьте презентацию.

Рис. 9.17. К заданию 10.

• 11. Какие ошибки могут допустить школьники при работе над задачей: «Среди многоугольников найди прямоугольники»? Как можно предупредить такие ошибки?
• 12. Опишите организацию поисковой деятельности детей при решении задачи: «Начерти прямоугольник, площадь которого в два раза меньше 16 см²». Подготовьте презентацию.
• 13. Опишите организацию поисковой деятельности детей при решении задачи: «Из кубиков сложили куб, ребро которого равно трем ребрам одного кубика. Сколько кубиков потребовалось? Этот куб распилили на бруски, состоящие из трех кубиков. Сколько получилось брусков?» Какие рисунки вы подготовите? Какие рисунки, по вашему мнению, могут нарисовать дети сами по этому тексту? Подготовьте презентацию.
• 14. Объясните, почему решение следующей задачи связано с представлениями о симметрии: «Проведи две прямые по сторонам клеточек так, чтобы они разбили фигуру (рис. 9.18) на четыре равные части. Найди площадь этой фигуры».

Рис. 9.18. К заданию 14

Какими симметриями обладает данная фигура? Подготовьте презентацию.

• [1] Шадрина И. В. Решаем геометрические задачи. 3 класс: рабочая тетрадь. М.: Школьная пресса, 2003.
• [2] Демидова Т. ?., Козлова С. А., Топких А. П. Математика. 4 класс. Ч. 3. М.: Баласс, 2008.С. 82.
• [3] Демидова Т. ?., Козлова С. А., Тонких А. П. Математика. 4 класс. Ч. 2. М.: Баласс, 2009.С. 87.