Обучение младших школьников решению задач пропорциональной зависимостью

Текстовая задача и процесс ее решения

Термин задача используется в жизни и в науке очень широко. Этим термином обозначаются очень многие и различные понятия. До настоящего времени нет общего определения понятия «задача».

Задача может рассматриваться как с бытовой точки зрения, так и в разных науках: психологии, педагогике, логике и других.

Г. А.Балл, анализируя различные трактовки, дает такую последовательность определений задачи:

• 1. Задача есть ситуация, требующая от субъекта некоторого действия.
• 2. Мысленная задача — ситуация, требующая от субъекта некоторого действия, направленного на нахождение неизвестного на основе использования его связей с известным.
• 3. «Проблемная задача или „проблема“ — ситуация, требующая от субъекта некоторого действия, направленного на нахождение неизвестного на основе использования его связей с известным в условиях, когда субъект не обладает способом (алгоритмом) этого действия» [1].

Эта последовательность определений не охватывает всех точек зрения на понятие «задача», имеющихся в педагогической литературе.

С точки зрения А. Ф. Эсаулова, задача определяется как «более или менее определенные системы информационных процессов, несогласованное или даже противоречивое отношение, между которыми вызывается потребность в преобразовании» [12].

С позиции А. Ф. Эсаулова задача является «изложением требования „найти“ по „данным“ вещам другие „искомые“ вещи, находящиеся друг к другу и к данным вещам в указанных отношениях». При этом понятие «вещь», «найти», «искомые» определяются не особо.

По характеру требований можно выделить следующие задачи:

• 1) на нахождение искомого;
• 2) на доказательство или объяснение;
• 3) на преобразование и построение.

Кроме данной классификации существует много других, например по способам решения (арифметические, практические, логические и др.).

Система современных методов и средств обучения математике младших школьников рассматривает, в основном, текстовые задачи, которые занимают одно из ведущих мест в начальной школе.

«Текстовая задача — это математическая задача, в которой есть хотя бы один объект, являющийся реальным предметом. Она представляет собой словесную модель ситуации, явления, события, процесса и т. п. Как в любой модели, в текстовой задаче описывается не все событие или явление, а лишь его количественные и функциональные характеристики.» — это мнение Т. Е. Демидовой, А. П. Тонких [4].

В каждой задаче, утверждают математики, можно выделить:

«1) числовые значения величин, которые называются данными, или известными (их должно быть не меньше двух);

• 2) некоторую систему функциональных зависимостей в неявной форме, взаимно связывающих искомое с данными и данные между собой;
• 3) требование или вопрос, на который надо найти ответ.

Числовые значения величин и существующие между ними зависимости, т. е. количественные и качественные характеристики объектов задачи и отношение между ними, называют условием задачи. В задаче обычно не одно, а несколько условий, которые называют элементарными.

Требования могут быть сформулированы как в вопросительной, так и в повествовательной форме, их также может быть несколько. Величину, значения которой требуется найти, называют искомой величиной, а числовые значения искомых величин — искомыми, или не известными.

Систему взаимосвязанных условий и требований называют взыскательной моделью задачи" [4].

В начальных классах ведущую роль играют простые задачи, которые представляют собой частный случай элементарных задач (содержащих только одно основное соотношение), т. к. выполняют функцию формирования математических понятий. В связи с этим, в зависимости от тех понятий, которые рассматриваются в начальном курсе математики, М. А. Бантова и Г. В. Бельтюкова предлагают следующую классификацию простых задач.

Первая группа включает простые задачи, при решении которых дети усваивают конкретный смысл каждого из арифметических действий:

• 1) нахождение суммы;
• 2) нахождение остатка;
• 3) нахождение суммы одинаковых слагаемых;
• 4) деление на равные части;
• 5) деление по содержанию.

Вторая группа включает в себя простые задачи, при решении которых учащиеся усваивают связь между компонентами и результатами арифметических действий. Это простые задачи на нахождение неизвестного компонента сложения, вычитания, умножения и деления (8 видов).

Третья группа включает простые задачи, при решении которых раскрываются понятия разности (6 видов) и кратного отношения (6 видов).

Также в систему входят сложные задачи (содержащие систему двух и более взаимосвязанных соотношений), называющиеся «составными» [2].

С помощью решения простых задач формируется одно из центральных понятий начального курса математики — понятие об арифметических действиях и ряд других понятий. Умение решать простые задачи является подготовительной ступенью овладения учащимися умением решать составные задачи, так как решение составной задачи сводится к решению ряда простых задач. При решении простых задач происходит первое знакомство с задачей и её составными частями.

Рассмотрим основные вопросы процесса обучения решению текстовых задач. По мнению С. Е. Царевой, «обучение решению задач — это специально организованное взаимодействие учителя и учащихся, цель которого — формирование у учащихся умения решать задачи»[10].

Чтобы раскрыть данный аспект, показать его механизм в действии, необходимо определить те понятия, которыми мы привычно пользуемся в методике.

Термином «решение задачи», указывает С. Е. Царева, «мы пользуемся в различных смыслах:

• 1) обозначая процесс перехода от условия к выполнению требования задачи, т. е. к ответу на вопрос задачи, или процесс выполнения плана решения;
• 2) обозначая запись результата в процессе решения (результат);
• 3) записывая результат, т. е. ответ на требование;
• 1) показывая метод, способ перехода от условия к выполнению требования задачи"[9].

Значит, мы можем сказать, что процесс решения задачи — это переход от условия к ответу на ее вопрос. Ответ на вопрос считается соответствующим условию, если информация в нем не противоречит информации, данной в условии.

Определяя понятие умения используем формулировку С. Е. Царевой:

«Любое умение — это качество человека, а именно: готовность его и возможность успешно осуществлять определенные действия». [10].

В методической литературе принято выделять два основных типа умения решать задачи, выявленные Л. М. Фридманом:

«1)общее умение решать задачи;

2) умения решать задачи определенного вида (частное умение)"[11].

Каждое из умений имеет свою структуру, операционный состав, компоненты.

Общее умение проявляется при решении учащимися любой незнакомой задачи, т. е. задачи такого вида, способ решения которой неизвестен ему.

Частное умение заключается в распознавании вида задач и применении известного теоретического материала и правила решения «таких» задач.

В основе этого подхода лежат классификации задач по видам и типам.

Используя эти характеристики можно предположить, что общее умение складывается из следующих компонентов:

• 1) знаний о задачах, структуре задач, процессе и этапах ее решения, методах и способах, приемах решения;
• 2) умений выполнять каждый из этапов решения любым из методов и способов решения, используя любой из приемов, помогающих решению.

А соответственно необходимо для обучения общему умению решать задачи:

• 1) формировать знания о задачах, методах и способах решения, о процессе решения, этапах этого процесса, о содержании и целях каждого этапа;
• 2) выработка умения разбиения задачи на составные части, использовать различные методы решения, применять разнообразные приемы, помогающие понять задачу, составить план ее решения, выполнить его, проверить правильность, осознанно выполнять каждый из этапов решения.

Частное умение решать задачи, описывает С. Е. Царева, «состоит из следующих компонентов:

• 1) знания о видах и способах решения задач каждого вида;
• 2) умения «узнать» задачу данного вида, выбрать соответствующий ей способ решения и выполнить его на данной задаче. Следовательно, обучая умению решать задачи определенного вида, работа организуется по следующему плану:
• 1) формирование знаний о видах задач, способах и образцах решения задач конкретных видов;
• 2) решение большого количества задач с применением этих знаний"[10].

Непосредственное сравнение этих подходов и анализ психолого-педагогической и методической литературы позволяет говорить о преимуществе первого при обучении младших школьников. Н. А. Менчинской установлено, что «разучивание решения типовых задач не помогает, а мешает формированию общих умений и навыков, необходимых для решения задач любого вида. Поэтому начинать обучение решению задач целесообразнее с общего подхода.

Обучение решению задач сориентировано на три ступени:

• 1) подготовительную;
• 2) ознакомительную;
• 3) закрепление"[5].

На первой же ступени учителю необходимо четко поставить цели формирования таких знаний, умений, навыков, которые учащиеся используют при решении задачи любого вида, типа. С. Е. Царева выделяет следующее:

• 1) «формирование у учащихся основных познавательных действий, представлений о ключевых отношениях мира: отношение целого и части, равенства и неравенства;
• 2) формирование представлений о числах и действиях с ними» [10].

При этом выполняется работа по решению простых задач на сложение и вычитание (возможно в этот период без записи арифметического действия), на установление отношений равенства и неравенства. После выполнения заданий достаточно большого числа, на основе уже имеющегося опыта у учащихся проводится систематизация и обобщение знаний.

Например: Детям предлагается практическое задание.

«Положите 6 треугольников на парту, затем еще 2 квадрата. Покажите, сколько геометрических фигур вы положили?».

Данное задание учитель не называет «задачей». Ответ на вопрос может быть получен как путем «пересчитывания», так и путем «присчитывания». Затем, данная ситуация переводится на язык арифметических действий, более высокий уровень оперирования числами, который связан с усвоением смысла арифметических действий.

Для овладения умением переводить предметные действия на язык математических знаков полезно использовать схему, которая сопровождает предметные действия и иллюстрации:? +? = ?

«В какое „окошко“ впишем число 6? Число 2? Число 8?».

При формировании умения, о котором идет речь, следует идти не только от предметных действий к математическим знакам, но и, наоборот.

Например: Даны записи: 6 + 2 = 8, 6 — 2 =4.

Учитель выполняет сначала одни действия: выставляет на наборное полотно 6 предметов, затем убирает 2 и спрашивает: «Какой записи соответствует то действие, которое я выполнила?». Затем предлагает ситуацию, которая соответствует другой записи.

Вторая ступень — формирование понятия «задача». На этой ступени важно не только разъяснить школьникам особенности понятия «задача», но и на усвоение ее структуры и осознание процесса решения.

Для осознания структуры задачи используется прием сравнения текстов. С этой целью дается задание: «Сравни, чем похожи тексты задач? Чем отличаются? Какую задачу ты можешь решить? Какую не можешь? Почему?».

Для этого, по предложению Н. Б. Истоминой, используются тексты задач:

" - с недостающими или лишними данными;

• — с противоречивым условием или вопросом;
• — - с вопросом, в котором спрашивается о том, что уже известно"[6].

Обобщая, можно с уверенностью сказать, что с целью формирования умения выбирать арифметические действия для решения задач, предполагаются задания, в которых используются следующие приемы:

• 1) выбор схемы;
• 2) выбор вопросов;
• 3) выбор выражений;
• 4) выбор условия к данному вопросу;
• 5) выбор данных;
• 6) изменение текста задачи в соответствии с данным решением;
• 7) постановка вопроса, соответствующего данной схеме;
• 8) объяснение выражений, составленных по данному условию;
• 9) выбор решения задачи.

На ступени закрепления применяются также различные приемы, направленные на формирование у них умений, необходимых для решения как простых, так и для подготовки к решению составных задач. Например, методический прием постановки вопроса к данному условию, с одной стороны, способствует усвоению структуры задачи, с другой — формирует у учащихся умение правильно оценить, на какой вопрос можно ответить, исходя из определенных данных.

Учитывая, что данное умение неодинаково успешно у всех, работу в этом направлении следует проводить заблаговременно на доступном для детей материале, т. е. на простых задачах. Особое место в работе по подготовке к решению составных задач занимают задачи с двумя вопросами. В таких задачах, сначала нужно выяснить на какой вопрос дети могут ответить первым. Данный прием позволяет понять взаимосвязь этих вопросов между собой.

Особое место в формировании умения решать задачи отводится выбору метода решения. Такие авторы, как Н. Б. Истомина, С. Е. Царева, выделяют следующие методы:

«- арифметические метод — с помощью выполнения последовательно-арифметических действий;

• — алгебраический метод — решение с помощью составления и решения уравнений;
• — практический метод — решение путем практического выполнения описываемых в задаче действий с реальными предметами или с их предметными или графическими моделями;
• — логический метод — решение с помощью логического рассуждения;
• — графический метод — решение путем построения модели ситуации задачи и отыскания ответа на вопрос.

Каждому из методов учащиеся обучаются по определенной схеме:

• 1) накопление учащимися практического опыта применения данного метода по указанию учителя;
• 2) осознание метода, выявление элементов действий и операций, входящих в его состав;
• 3) организация учебной деятельности, направленной на усвоение и освоение метода;
• 4) накопление опыта решения задач данным методом, осознание его особенностей"[6, 10].

Одновременно с работой по усвоению методов решения задач, рассматривается вопрос о формах записи решения. По мнению Царевой С. Е. «считается необходимым в процессе обучения ставить и обсуждать вопрос об отношениях между содержанием знаний и способами, средствами и формами его выражения"[10]. Рассматривая письменное выполнение плана решения задачи, автор описывает его приемы. Арифметический метод предполагает:

" - запись в виде выражения с записью шагов его составления и в итоге полученного равенства;

• — запись в виде выражения, без записи шагов по составлению данного выражения;
• — записи по действиям с пояснением;
• — записи по действиям без пояснения;
• — записи по действиям с вопросами.

Запись алгебраического метода наблюдается в виде:

• — уравнения и его решения;
• — записи шагов составления уравнения и его решения"[10].

Таким образом, опираясь на источники, можно смело утверждать, что задачи, решаемые школьниками в младших классах, занимают одну из важнейших ступеней в их обучении. Существует множество различных определений понятию текстовой задачи, огромное количество классификаций и методов их решения.

Итак, текстовая задача — это математическая задание, в котором есть хотя бы один объект, являющийся реальным предметом. Она представляет собой словесную модель ситуации, явления, события, процесса и т. п. Как в любой модели, в текстовой задаче описывается не все событие или явление, а лишь его количественные и функциональные характеристики. В каждой задаче можно выделить взыскательную модель: систему взаимосвязанных условий и требований. Все задачи можно разделить на группы.

Также в систему входят сложные задачи (содержащие систему двух и более взаимосвязанных соотношений), называемые методистами «составными».

Принято выделять два основных типа умения решать задачи, выявленные Фридманом Л. М. — «общее и частное"[11].

Обучение решению задач, как указывает Стойлова Л. П. сориентировано на этапы:

«I. — подготовительный,.

II. — ознакомления,.

III. — закрепление" [9].

Таким образом, решение задачи — это не только ответ на ее вопрос. Это сложный процесс, в основе которого лежит большое число математических и методических действий.

Следуя требованиям программы, младшие школьники должны овладеть навыками решения арифметических задач. Поэтому каждый учитель начальных классов обязан хорошо владеть методическими знаниями и умениями качественно осуществлять этот процесс.