Методические приемы обучения младших школьников решению тестовых задач с пропорциональной зависимостью

«В традиционном российском школьном обучении математике текстовые задачи всегда занимали особое место. С одной стороны, практика применения текстовых задач в процессе обучения во всех цивилизованных государствах идет от глиняных табличек Древнего Вавилона и других древних письменных источников, то есть имеет родственные корни. С другой — пристальное внимание учителей к текстовым задачам, которое было характерно для России, почти исключительно российский феномен.

Известно, что исторически долгое время математические знания передавались из поколения в поколение в виде списка задач практического содержания вместе с их решениями. Первоначально обучение математике велось по образцам. Ученики, подражая учителю, решали задачи на определенное правило. [7]" - так описывает работу по обучению школьников решению задач Ю. М. Колягин. Но современное образование давно отошло от таких методов обучения, они не возможны сейчас. Рассмотрим в своей работе наиболее эффективные условия для обучения учащихся начальной школы решению задач определенного вида — задач с пропорциональной зависимостью, которые являются для детей наиболее сложными.

По мнению Н. Б. Истоминой: «Одна из причин возникающих у детей трудностей в процессе решения этих задач заключается в том, что понятие „пропорциональная зависимость“ не является предметом специального усвоения» [6].

Методисты М. А. Бантова, Г. В. Бельтюкова, подробно раскрывая методику работы с задачами с пропорциональной зависимостью утверждают то, что «связи между пропорциональными величинами раскрываются с помощью решения простых задач на нахождение одной из величин по данным, соответствующим значениям двух других величин (например, задачи на нахождение стоимости по известным цене и количеству)» [2]. Составим такие задачи в соответствии с теми процессами и характеризующими их величинами, которые мы изложили в предыдущем параграфе исследования:

• 1) Ручка стоит 8 рублей. Дима купил 3 такие ручки. Сколько денег заплатил Дима за покупку?
• 2) Вася купил 2 пирожка с мясом, заплатив за них 18 рублей. Какова цена пирожка?
• 3) Таня купила блокноты, заплатив 24 рубля. Сколько блокнотов купила Таня, если цена каждого — 6 рублей?

При решении подобных простых задач с пропорциональными величинами целесообразно использовать такие методические приемы обучения решению текстовых задач, которые способствуют формированию у учащихся представлений о пропорциональной зависимости величин. Некоторые из них мы уже указывали в первом параграфе исследования.

В числе приемов, которые советуют применять математики Л. Н. Скаткин, Т. К. Жикалкина можно назвать:

• — - изменение одного из данных задачи;
• — - сравнение результатов решения задач, в которых изменяется одно из данных;
• — - интерпретация задачи в виде схемы, запись задачи в таблице;
• — - анализ текстов задач с недостающими и лишними данными [6].

Например, учащимся можно предложить задачи с недостающими данными, при анализе которых они, пользуясь житейскими представлениями, сами употребляют термин «зависит».

Задача: Маша купила 5 тетрадей в клетку и 2 блокнота. За что она заплатила денег больше, за тетради или за блокноты?

Анализируя текст этой задачи, учащиеся могут обнаружить, что в них не хватает данных, и что ответить на вопрос задачи они не могут. Учащиеся ответят: «Это зависит от того, сколько стоит 1 тетрадь и 1 блокнот» и т. д. Для разъяснения учащимся смысла понятия «зависит», по нашему мнению, необходимо проследить, как изменяется одна величина в зависимости от изменения другой при постоянной третьей. Для этой цели можно воспользоваться приведенной задачи, дополнив ее условие.

Задача: В палатку привезли 6 ящиков апельсинов. Сколько килограмм апельсинов привезли в палатку?

Учащиеся быстро обнаруживают, что ответить на вопрос задачи нельзя, так как неизвестна масса одного ящика. Выделенные величины полезно зафиксировать в таблице, т. е. задачу мы будем моделировать, интерпретируя ее в виде таблице :

Дети могут дополнить условие и решить задачу. Затем надо проследить, как будет изменяться общая масса в зависимости от изменения массы одного ящика при постоянном их количестве или в зависимости от изменения количества ящиков при постоянной массе одного ящика. Для этого также целесообразно использовать таблицу:

Рассматривая предлагаемую таблицу, стоит обсудить вопросы:

• 1) Какая величина не изменяется?
• 2) Какие величины изменяются?
• 3) Во сколько раз масса шести ящиков больше, чем масса двух ящиков?
• 4) Во сколько раз масса четырех ящиков меньше, чем масса двенадцати ящиков?

Аналогичные наблюдения следует провести при условии изменения количества ящиков, но при постоянной массе одного.

Затем полезно рассмотреть обратную ситуацию, предложив школьникам такую задачу:

24 кг помидоров разложили в 2 ящика, в 4 ящика, в 6 ящиков, в 3 ящика, в 8 ящиков. Сколько килограммов помидоров в одном ящике?

При анализе данной таблицы выясняется:

• 1) Какая величина не изменяется?
• 2) Какие величины изменяются?
• 3) Как они изменяются?

Зависимость между количеством ящиков и массой одного ящика при постоянной общей массе можно смоделировать с помощью схемы. Для этого в тетради ученики могут изобразить 5 отрезков по 24 клетки, каждый из которых они делят на 2, на 4, на 6, на 3, на 8 одинаковых частей.

Анализ схемы позволит детям осознать зависимость между количеством ящиков и массой одного ящика при постоянной общей массе.

Использование перечисленных нами методических приемов (изменение одного из данных, интерпретация задачи в виде таблицы) при решении простых задач подготовит учащихся к решению составных задач с пропорциональными величинами.

Для того чтобы дети не подходили формально к решению этих задач, необходимо варьировать в их сюжетах постоянную величину. Тогда запись задачи в таблице и ее схематическая интерпретация будут восприниматься ребенком с необходимостью, и активизировать его мыслительную деятельность. В противном случае он будет ориентироваться на образец.

Естественно, такой подход к решению задач с пропорциональными величинами пишут С. А. Зайцева и И. Б. Румянцева, возможен в том случае, «если с самого начала знакомства с задачей велась целенаправленная работа по формированию у младших школьников умений анализировать текст задачи, выявлять в нем математические отношения, устанавливать взаимосвязь между данными и искомыми величинами и соотносить текстовую и схематическую модель задачи» [5].

Кроме этого, авторы советуют «при решении задач на нахождение четвертого пропорционального использовать различные способы ее решения.

1. Способ прямого приведения к единице"[5].

Этот способ состоит в том, что сначала узнают значение единицы одной из пропорциональных величин, затем значение указанного в условии количества. К единице приводят величину, для которой даны оба значения. Рассмотрим на примере. учитель обучение учащийся решение.

Задача: На 6 одинаковых платьев израсходовали 30 м ткани. Сколько ткани потребуется на изготовление 3 таких платьев?

В этой задаче известны два значения количества и одно значение общего расхода. При решении способом прямого приведения к единице сначала находим расход на 1 платье: (30: 6) • 3 = 15 (м).

В качестве тренировочных учащиеся выполняют творческие задания на составление задач по выражениям, например 84: 6 • 10, после того как учитель предложит тему, т. е. укажет, о каких величинах пойдет речь.

2. Способ обратного приведения к единице.

Среди задач на нахождение четвертого пропорционального (на тройное правило) встречаются те, которые наиболее рационально решать способом обратного приведения к единице. С ним также следует познакомить детей. Он сводится к нахождению соответствующего значения единицы той величины, для которой в условии указано лишь одно данное (одно значение). Она выявляется при записи в виде таблицы.

Сопоставим два способа решения одной и той же задачи.

Из таблицы видно, что дано одно значение времени, и два числа, обозначающих объем работы, т. е. сшитых детских платьев.

Решая способом обратного приведения к единице нужно узнать, сколько за один час можно сшить таких платьев.

Сравним два способа решения.

Задача: Для засолки 12 кг огурцов разложили в 6 одинаковых банок. Сколько потребуется таких банок, чтобы разложить 24 кг огурцов?

Ученики могут пытаться решить эту задачу способом обратного приведения к единице: узнать массу огурцов в 1 банке (12: 6 = 2 (кг)), а затем определить число банок, которое потребуется, чтобы засолить 24 кг (24: 2 = 12 (б.)).

Анализируя условие задачи, учащиеся убеждаются, что нельзя узнать, сколько требуется банок для засола 1 кг огурцов. Дети, более внимательные, вместе с учителем устанавливают зависимость между величинами: с увеличением массы возрастает и количество необходимых банок. Школьники определяют, сколько раз по 12 содержится в 24 кг, т. е. во сколько раз 24 больше 12, значит и банок получится во столько же раз больше.

Решение: 6 • (24: 12) = 12 (б.)

Проанализируем способ решения задачи на пропорциональное деление на примере следующей задачи.

Задача: Двум семьям нужно уплатить в месяц за газ 70 рублей. В одной семье 4 человека, а в другой 3 человека. Сколько должна уплатить в месяц каждая семья?

В ходе решения этой задачи требуется 70 рублей представить в виде суммы двух слагаемых пропорционально числу людей каждой семьи. После того как будет вычислено, что всего в двух квартирах проживают 3 + 4 = 7 человек, предстоит ответить на следующие вопросы:

• 1) 7 человек должны уплатить 70 руб. Сколько должны уплатить 4 человека?
• 2) 7 человек должны уплатить 70 руб. Сколько должны уплатить 3 человека?

Составлены две задачи на нахождение четвертого пропорционального.

Подвести учащихся к самостоятельному решению задач на пропорциональное деление можно через преобразование задач на нахождение четвертого пропорционального или в результате составления задачи по рисунку:

• — Что могут обозначать квадраты? (Ящики.)
• — Что обозначает число 70 кг? (Массу продуктов.)
• — Составьте задачу.

Дети способны предложить, например, такой вариант: «С одной грядки собрали 4 одинаковых ящика огурцов, а с другой 3 таких же ящика. Всего собрали 70 кг огурцов. Сколько огурцов собрали с каждой грядки?»

Решение задачи можно записать в виде выражений:

• 70: (4 + 3) • 4
• 70: (4 + 3) • 3

Также можно использовать данные способы и при решении задач на нахождение неизвестного по двум разностям.

При решении задач на пропорциональное деление, в содержание которых входят цена, количество, стоимость, приходится сумму двух значений количества предметов распределять прямо пропорционально двум числам. Если в каждом из рассмотренных случаев заменить сумму двух количеств их разностью, можно получить четыре различных вида задач с пропорциональными величинами. Одним из данных в них будет разность двух значений какой-либо из указанных выше величин. Таким образом, мы получили задачи на нахождение неизвестного по двум разностям.

Пока…

Учитель начальных классов должен сформировать навык у учащихся решения задач. Этого требует программа. А для качественного решения этой проблемы необходимо применять наиболее эффективную методику работы. Нами были выявлены следующие условия, помогающие учителю выполнить эту работу наиболее успешно:

• — формировать у школьников знания о задачах, методах и способах решения, о процессе решения, этапах этого процесса, о содержании и целях каждого этапа;
• — вырабатывать умения разбиения задачи на составные части, использовать различные методы решения, применять разнообразные приемы, помогающие понять задачу, составить план ее решения, выполнить его, проверить правильность, осознанно выполнять каждый из этапов решения;
• — формировать умения решать задачи последовательно, ориентируясь на такие этапы:
  • 1) подготовительный,
  • 2) ознакомление с определенным видом задач,
  • 3) закрепление умений;
• — познакомить учащихся подробно с рассматриваемыми процессами в задачах с пропорциональной зависимостью и величинами их характеризующими;
• — использовать в методике обучения решению задач с пропорциональной зависимостью общий подход, который складывается из следующих компонентов:
  • а) знаний о задачах, структуре задач, процессе и этапах ее решения, методах и способах, приемах решения,
  • б) умений выполнять каждый из этапов решения любым из методов и способов решения, используя любой из приемов, помогающих решению;
• — процесс решения каждой задачи должен состоять из пяти этапов:
  • 1) ознакомление с содержанием задачи,
  • 2) поиск ее решения (выбор арифметических действий для решения),
  • 3) составление плана решения,
  • 4) запись решения и ответа,
  • 5) проверка решения;
• — применять в процессе обучения решению задач интересующего нас вида разнообразные методические приемы, помогающие работать над задачей на каждом этапе процесса ее решения;
• — вести работу по формированию навыка решения задач на пропорциональную зависимость целенаправленно и систематически.