Понятие числа и методика их изучения

Многозначные числа в обучении математике младших школьников по учебнику Л.Г. Петерсона

Нумерация многозначных чисел и действия над ними выделяются в особый концентр потому, что нумерация чисел за пределами 1 000 имеет свои особенности: многозначные числа образуются, называются, записываются с опорой не только на понятие разряда, но и на понятие класса. Необходимо раскрыть это важнейшее понятие нашей системы счисления.

Задача изучения данной темы состоит в том, чтобы расширить у детей знания десятичной системы счисления, структуры многозначного числа, натуральной последовательности чисел и на этой основе сформировать у детей умение правильно читать и записывать многозначные числа в пределах класса миллионов.

Основным содержанием этой темы являются следующие вопросы:

• 1. Ознакомление учащихся с новыми для них счетными (разрядными) единицами и введение понятия «класс»; усвоение разрядного и классного состава числа путем упражнений в образовании чисел из разрядных и классных единиц и разложения чисел на разрядные слагаемые, в сложении и вычитании чисел на основе знания их десятичного состава.
• 2. Изучение натуральной последовательности чисел за пределами тысячи, особенно при переходе из одного разряда или из одного класса в другой.
• 3. Чтение и запись многозначных чисел.
• 4. Усвоение терминологии, связанной с формируемыми понятиями.

Из перечня основных вопросов, составляющих содержание дайной темы, видно, что изучение ее связано с усвоением ряда отвлеченных понятий, нуждающихся в конкретизации. Так, должны быть конкретизированы десятичная основа нашей системы счисления, поместное значение цифры, место разрядов и классов и др. Этой цели служат следующие наглядные пособия:

• а) нумерационная таблица, или таблица разрядов и классов, с «карманами» для вставки цифр, которая облегчает ученику его первые шаги в овладении умением читать и записывать многозначные числа;
• б) демонстрационный абак, который особенно полезен на первых уроках (при изучении вопросов устной нумерации) для показа образования числа и его разложения на разрядные числа.

Ученики должны иметь у себя ученические счеты и абаки такого же типа, что и демонстрационные, только меньшего размера. Изучение данной темы полезно связать с жизнью, с конкретным материалом — числовыми данными, характеризующими развитие промышленности, сельского хозяйства и культуры в своем крае, городе.

К изучению данной темы ученики приступают с хорошим знанием нумерации трехзначных чисел, т. е. чисел первого класса. Это знание и нужно положить в основу изучения нумерации чисел класса тысяч.

Пользуясь откладыванием чисел на классных счетах, ученики получают три новые для них счетные (разрядные) единицы — тысячи, десятки тысяч, сотни тысяч. И здесь же учитель сообщает, что ранее известные три разряда (единицы, десятки, сотни) составляют класс единиц, а вновь полученные три разряда (единицы тысяч, десятки тысяч, сотни тысяч) составляют класс тысяч.

Далее подробно выясняется, что общего и что различного в этих классах.

Общее: в каждом классе по три разряда; название разрядов (единицы, десятки, сотни в классе единиц; единицы тысяч, десятки тысяч, сотни тысяч в классе тысяч). Отношение соседних разрядных единиц (10); в каждом классе 10 единиц низшего разряда образуют одну единицу следующего, высшего разряда.

Что различного в этих классах: в классе единиц счет ведется единицами, в классе тысяч — тысячами; счетная единица первого класса — простая единица; счетная единица второго класса — тысяча. Единицами считают от 1 до 999, тысячами — от 1 тысячи до 999 тысяч.

Эти сведения приобретают более конкретный характер, когда они записаны в нумерационной таблице:

Данная таблица подчеркивает единообразие в построении классов; вместе с тем в ней видно и то, что различает эти классы.

Чтобы у детей сложилось правильное представление о натуральной последовательности чисел за пределами тысячи, на первом или на втором уроке нужно провести упражнение в счете: в присчитывании и отсчитывании по единице и группами единиц — по 5, 10, 50, 100 и т. д.

После этого следует остановиться на нумерации чисел класса тысяч, т. е. круглых тысяч, например: 268 тысяч, 306 тысяч, 500 тысяч, 420 тысяч, и провести упражнения:

в образовании таких чисел из данных разрядных чисел;

в чтении чисел класса тысяч, сначала записанных в нумерационной таблице, потом — без таблицы;

в записи чисел, состоящих из круглых тысяч (под диктовку учителя);

в выполнении действий над числами второго класса, причем эти числа даются сначала в таком виде: 320 тыс. + 200 тыс.; 600 тыс. — 400 тыс.; 18 тыс.4, а потом в обычной их записи:

• 7 000 + 9 0004 000 8
• 40 000 — 2 500 036 000: 9

После этого изучается нумерация любых четырех-, пяти-, шестизначных чисел, в которых все или только некоторые разряды обоих классов (в том числе и класса единиц) заполнены разрядными числами, например 516 824; 40 068 и др.

Переход, к каким числам может быть сделан путем постепенного «заполнения» разрядными числами класса единиц, представленного нулями.

Сколько получится, — спрашивает учитель, — если к 325 тысячам (325 000) прибавить 8 единиц? 48 единиц? 648 единиц?

Ответы учащихся записываются на доске, и в результате получается шестизначное число, в котором оба класса представлены значащими цифрами:

• 325 тыс. — 325 000
• 325 тыс.8 ед. — 325 008
• 325 тыс.48 ед. — 325 048
• 325 тыс.648 ед. — 325 648

Полученное число (325 648) подвергается подробному анализу: в нем два класса; в каждом классе по три разряда; в классе тысяч 325 единиц, — значит, в числе 325 тысяч; в классе единиц 648. Все число читается так: 325 тысяч 648. Вслед за этим идут упражнения в чтении и записи аналогичных чисел. Уяснению структуры многозначного числа, его разрядного и по классного состава во многом способствуют:

• а) примеры на сложение и вычитание, решаемые на основе знания десятичного состава числа, например:
  • 25 000 + 4000 18 420 — 4 205 460 — 400
  • 30 000 + 500 76 200 — 6 000 16 903−16 000
• б) разложение данного числа на его разрядные слагаемые и обратная операция — запись выражения (суммы) в виде одного числа, например:
  • 65 040 — 60 000 + 5 000 + 40
  • 4 000 + 700 + 30 + 8 = 4 738