Расчет цепей с источниками постоянных воздействий

Контрольная работа № 1

Расчет цепей с источниками постоянных воздействий Вариант 11, индивидуальный номер 3

1.1 Задание

1. По заданному номеру варианта изобразить цепь, выписать значения параметров элементов.

2. Записать необходимое количество уравнений по первому и второму законам Кирхгофа, подставить численные значения всех коэффициентов. Полученную систему уравнений не решать.

3. Определить токи во всех ветвях цепи и напряжение на источнике тока методом контурных токов или методов узловых потенциалов.

4. Составить баланс мощностей и оценить погрешность расчета.

5. Рассчитать ток в одной из ветвей методом эквивалентного источника напряжения или методом наложения.

Рисунок 1.1.

Дано: Е₂ =25 В;Е₇ =50В; J₅ = 4A; R₁ = R₃ = R₅ = R₇ = 3,2 Ом; R₂ = R₄ = R₆ = 4 Ом.

Решение

1. С целью упрощения расчетной схемы, параллельно включенные сопротивления R₃ и R₄ заменим эквивалентным сопротивлением R₃₄:

последовательно включенные сопротивления R₁ и R₃₄ (рис. 1.2) заменим эквивалентным сопротивлением R₁₃₄:

Ом.

После упрощения схема будет иметь вид, изображенный на рис. 1.3.

Рисунок 1.2.

Рисунок 1.3.

2.Определим количество ветвей p, электрических узлов m и независимых (какие отличаются хоть бы одной новой ветвью, но внутри которых нет ветвей) контуров цепи. Для схемы, приведенной на рис. 1.1, имеем: семь ветвей (p = 7); четыре узла (m = 4) — A, B, C, D. Количество независимых контуров: k = p — (m-1) = 4.

Дальше произвольно задаемся направлениями действия токов в ветвях (I₁-I₆).

При решении задачи по методу законов Кирхгофа для цепи, который содержит p=7 ветвей и m=4 узлов составляем систему из p = 7 уравнений. При этом (m -1)=3 уравнения составляем по первому, и k=4 уравнения — по второму закону Кирхгофа. Для схемы рис. 1.1 система уравнений имеет такой вид:

І₃ + І₅ ?J₅? І₆ = 0 — для узла А;

І₁? І₃? І₄ = 0 — для узла В;

? І₁ — І₂ + J₅ = 0 — для узла С;

?R₁І₁ + R₄ І₄ + R₅ J₅ = 0- для контура І;

R₂І₂ + R₅ J₅? R₆ І₆ = Е₂ — для контура ІІ;

R₆ І₆ = Е₇ — для контура ІІІ.

R₃І₃? R₄ І₄ = 0 — для контура ІІІ.

Рисунок 1.4.

3. Решаем задачу методом контурных токов (рис. 1.4). Произвольно задаемся направлениями действия токов I_I, I_II, I_III в независимых контурах (направлениями обхода контуров) и составляем систему из k = p- (m-1)= 3 уравнения по второму закону Кирхгофа. При этом токи в ветвях, которые являются общими для двух контуров, определяем как алгебраическую сумму соответствующих контурных токов. Система уравнений для контуров расчетной схемы имеет следующий вид:

(R₁₃₄ + R₅)І_І + R₅І_ІІ = ?R₅J₅;

R₅І_І + (R₂ + R₅+ R₆)І_ІІ? R₆І_ІІІ = Е₂;

?R₆І_ІІ + R₆І_ІІІ = Е₇.

После подстановки значений R₁…R₆, E₂, E₇ и решения системы относительно токов (А) в ветвях цепи получим:

7,18І_І + 3,2 І_ІІ =? 12,8;

3,2 I_І + 11,2І_ІІ? 4І_ІІІ = 25;

? 4І_ІІ + 4І_ІІІ = 50.

Систему уравнений решим при помощи программы решения системы уравнений методом Гаусса с выбором главного элемента.

І_І = ?8,012; І_ІІ = 13,967; І_ІІІ = 26,467.

Токи (А) в ветвях, которые принадлежат одному контуру, равняются соответствующим контурным токам:

І₁ = І_І = ?8,012; І₂ = І_ІІ = 13,967.

Токи (А) в ветвях, которые являются общими для двух контуров, определяем по первому закону Кирхгофа:

І₅ = І_І + І_ІІ = ?8,012 + 13,967= 5,955;

І₆ = І_ІII? І_ІІ = 26,467? 13,967= 12,5

4.Определим напряжение на резисторах R₃ и R₄:

Находим токи I₃ и I₄ согласно закону Ома (рис. 1.1):

; .

4. Мощность, развиваемая источниками:

Р_ист = Р₂ + Р₇ = Е₂ •І₂ + Е₇ •І_III + J²₅ •R₅ = 25•13,967 + 50•26,467 + 4²•3,2 = =1672,525 Вт.

Мощность, потребляемая потребителями:

Р_потр = I₁² · R₁ + I₂² · R₂+ I₃² · R₃ + I₄² · R₄+ I₅² · R₅ + I₆² · R₆ = 8,012²· 3,2 + 13,967²· 4+ +4,46²· 3,2 +3,56²· 4 + 5,955²· 3,2 + 12,5²· 4 =1678,5492 Вт.

Р_ист Р_потр

Небаланс составляет

.

Поскольку небаланс меньше 1%, то расхождение мощностей принимается.

5. Определяем ток в резисторе R₆ методом эквивалентного генератора (эквивалентного активного двухполюсника). Ток в резисторе R₆ методом эквивалентного генератора найдем, рассмотрев схему с обрывом в его цепи:

Рисунок 1.5.

По методу узловых потенциалов:

В;

А.

ток цепь напряжение мощность

Контрольная работа № 2

Расчет цепей с источниками гармонических воздействий Вариант 11, индивидуальный номер 3

2.1 Задание

1. По заданному номеру варианта изобразить цепь, выписать значения параметров элементов.

2. Записать необходимое количество уравнений по первому и второму законам Кирхгофа, подставить численные значения всех коэффициентов. Полученную систему уравнений не решать.

3. Определить токи во всех ветвях цепи и напряжение на источнике тока методом контурных токов или методов узловых потенциалов.

4. Составить баланс активных и реактивных мощностей.

5. Записать мгновенные значения токов ветвей и напряжение на источнике тока.

6. Рассчитать ток в одной из ветвей методом эквивалентного источника напряжения или методом наложения.

7. Определить потенциалы всех точек произвольно выбранного замкнутого контура, содержащего 3 и более ветви, построить на комплексной плоскости векторную топографическую диаграмму напряжений и токов для выбранного контура.

Дано:;; R₁= R₃= R₅= 70,5 Ом; R₂=R₄= 63 Ом,

L₂ =123 мГн, C₅ — 130,5 мкФ.

Рисунок 2.1.

Решение

1. По заданным значениям индуктивности L и емкости С рассчитываем реактивные сопротивления участков цепи:

Х_L2= 2? f L₂ = 2· 3,14·50·123·10^-3? 39 Ом;

Х_С5 = (2?f С₅)^-1 = (2· 3,14·50·130,5·10^-6)^-1? 24 Ом.

Определяем комплексы сопротивлений (Ом) соответствующих участков цепи:

Представление сопротивлений участков в виде комплексов дает основания привести расчетную схему к виду, изображенному на рисунок 2.2.

Рисунок 2.2.

2. Выберем положительные направления токов в ветвях и направления обхода контуров.

Топологический анализ схемы (рис. 2.2.):

N_II = p — q + 1- n_ит = 5 — 3 + 1 — 1 = 2.

При решении задачи по методу законов Кирхгофа для цепи, который содержит p=5 ветвей и m=3 узла составляем систему из p = 5 уравнений. При этом (m -1)=2 уравнения составляем по первому, и k=3 уравнения — по второму закону Кирхгофа. Для схемы рис. 2.2 система уравнений имеет такой вид:

— для узла А;

— для узла В;

— для контура 11;

— для контура 22;

— для контура 33.

3. Составим контурные уравнения для своей расчетной схемы замещения, используя выражение ЭДС и сопротивлений комплексными числами.

где

Ом, Ом,

Ом,

; Ом.

Контурные эдс равны:

После численной подстановки имеем:

Решаем данную систему целесообразно с применением правила Крамера.

Определители системы:

Токи, и находим по формулам:

.

В соответствии с условно принятыми положительными направлениями (см. рис. 2.2) вычислим токи ветвей:

4. Комплекс полной мощности S_ист (ВА) источников, их активную Р_ист и реактивную Q_ист составляющие определяем по формуле:

Р_ист = 668,56Вт и Q_ист= 20,88 вар.

Комплекс полной мощности S_п (ВА) потребителей цепи определяем как сумму полных мощностей всех потребителей добавлением их активных Р_п (Вт) и реактивных Q_п (вар) составляющих:

Р_п= 663,17 Вт и Q_п= 20,86 вар.

Задачу считают решенной правильно, если относительные разногласия активных и реактивных составляющих S_ист и S_п не преувеличивают 1,0%:

Баланс сходится.

5. Поскольку угловая частота равна? = 2? f, а амплитуда связана с действующим значением с помощью соотношения, следовательно,

6. Определяем ток I₂ методом эквивалентного источника напряжения. Ток в найдем, рассмотрев схему с обрывом в его цепи:

Рисунок 2.4.

Ток в резисторе R₄

где

7. Определим потенциалы всех точек выбранного замкнутого контура (рис. 2.4).

Рисунок 2.4.

Находим потенциалы точек. Примем По результатам расчетов, на комплексной плоскости строим топографическую диаграмму напряжений и векторную диаграмму токов ветвей схемы.

Строим векторную диаграмму токов (рис. 2.5) и топографическую диаграмму напряжений (рис. 2.6). Сначала строится векторная диаграмма токов. Для построения выбираем масштаб по осям. Наносим рассчитанные вектора токов на комплексную плоскость в соответствии с выбранным масштабом.

Рисунок 2.5

Рисунок 2.6.

1. Евдокимов Ф. Е. Теоретические основы электротехники. — М.: Высшая школа, 1999.

2. Касаткин А. С. Электротехника / А. С. Касаткин, М. В. Немцов. — М.: Высшая школа, 1999.

3. Частоедов Л. А. Электротехника. — М.: Высшая школа, 1989.

4. Волынский В. А. и др. Электротехника /Б.А. Волынский, Е. Н. Зейн, В. Е. Шатерников: Учеб. пособие для вузов. — М.: Энергоатомиздат, 2007. — 528 с., ил.

5. Касаткин А. С., Немцов М. В. Электротехника: Учеб. пособие для вузов. — 4-е изд., перераб. — М.: Энергоатомиздат, 2007. — 440 с., ил.