Расчет частичных сумм и спектральных характеристик ряда Фурье для явной функции

Курсовая работа по математическому анализу

Тема: Подсчет частичных сумм и спектральных характеристик ряда Фурье для явной функции

радиотехнический сигнал спектральный синусоидальный

1.Модель физического процесса

2.Решение задачи с теоретическими выкладками

3.Пример решения задачи

4.Пример решения задачи в среде Matlab R2009a

1.Модель физического процесса

Математической моделью радиотехнического сигнала может служить некоторая функция времени f (t). Эта функция может быть вещественной или комплексной, одномерной или многомерной, детерминированной или случайной (сигналы с помехами). В радиотехнике одна и та же математическая модель с равным успехом описывает ток, напряжение, напряженность электрического поля и т. п.

Рассмотрим вещественные одномерные детерминированные сигналы Множества функций (сигналов) принято рассматривать как линейные функциональные нормированные пространства, в которых введены следующие понятия и аксиомы:

1) выполнены все аксиомы линейного пространства;

2) скалярное произведение двух действительных сигналов определяется следующим образом:

3) два сигнала называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю;

4) система ортогональных сигналов образует бесконечномерный координатный базис, по которому можно разложить любой периодический сигнал, принадлежащий линейному пространству;

Среди разнообразных систем ортогональных функций, по которым можно разложить сигнал, наиболее распространенной является система гармонических (синусоидальных и косинусоидальных) функций:

Представление некоторого периодического сигнала в виде суммы гармонических колебаний с различными частотами называется спектральным представлением сигнала. Отдельные гармонические компоненты сигнала образуют его спектр. С математической точки зрения спектральное представление эквивалентно разложению периодической функции (сигнала) в ряд Фурье.

Значение спектрального разложения функций в радиотехнике обусловлено рядом причин:

1) простота изучения свойств сигнала, т.к. гармонические функции хорошо изучены;

2) возможность генерирования произвольного сигнала, т.к. техника генерирования гармонических сигналов достаточно проста;

3) простота передачи и приема сигнала по радиоканалу, т.к. гармоническое колебание является единственной функцией времени, сохраняющей свою форму при прохождении через любую линейную цепь. Сигнал на выходе цепи остается гармоническим с той же частотой, изменяется лишь амплитуда и начальная фаза колебания;

4) разложение сигнала по синусам и косинусам позволяет использовать символический метод, разработанный для анализа передачи гармонических колебаний через линейные цепи.

В качестве модели физического процесса рассмотрим электрокардиограмму работы сердца.

Рис

2.Решение задачи с теоретическими выкладками

Задача 1:

Опишем с помощью рядов Фурье, периодически повторяющийся импульс на участке электрокардиограммы, так называемый комплекс QRS.

Рис Комплекс QRS можно задать следующей кусочно-линейной функцией Где

Данную функцию можно продолжить периодически с периодом T=2l.

Ряд Фурье функции:

Где

Определение 1:Функция называется кусочно-непрерывной на отрезке [а, b], если она непрерывна во всех точках этого отрезка, кроме конечного числа точек, в которых существуют ее конечные односторонние пределы.

Определение 2: Функция называется кусочно-гладкой на некотором отрезке, если она сама и ее производная кусочно-непрерывны.

Теорема 1 (Признак Дирихле): Ряд Фурье кусочно-гладкой на отрезке функции f (x) сходится в каждой точке непрерывности к значению функции в данной точке и к значению в каждой точке разрыва.

Наша функция удовлетворяет условиям теоремы.

Для заданной функции получаем следующие коэффициенты ряда Фурье:

Комплексная форма ряда Фурье

Для представления ряда в комплексной форме воспользуемся формулами Эйлера:

Введем обозначения:

Тогда ряд можно переписать в виде Кроме того коэффициенты комплексного ряда Фурье можно получить и непосредственно, вычисляя их по формуле Запишем в комплексной форме ряд Фурье заданной функции

Спектральные характеристики ряда

Выражение в ряде Фурье называется n-й гармоникой. Известно, что где или

Совокупности, называется соответственно амплитудным и фазовым спектром периодической функции.

Графически спектры изображаются в виде отрезков длины, проведенных перпендикулярно оси, на которую наносится значение n=1,2 … или .

Графическое изображение соответствующего спектра называется амплитудной или фазовой диаграммой. На практике чаще всего применяют амплитудный спектр.

3.Пример решения задачи

Задача 2: Рассмотрим конкретный пример задачи для выбранной модели физического процесса.

Продолжим эту функцию на всю числовую ось, получим периодическую функцию f(x) c периодом T=2l=18 (Рис. 1.).

Рис. 1. График периодически продолженной функции Вычислим коэффициенты Фурье заданной функции.

Запишем частичные суммы ряда:

;

Рис. 2. Графики частичных сумм ряда Фурье С ростом n графики частичных сумм в точках непрерывности приближаются к графику функции f(x). В точках разрыва значения частичных сумм приближаются к .

Построим амплитудную и фазовую диаграммы.

с учетом четверти.

Таблица

Рис

4.Пример решения задачи в среде Matlab R2009a

Задача 3: В качестве примера рассмотрим полностью интервалы PR и QT.

Рис Для данной функции построить графики частичных сумм, а так же амплитудную и фазовую диаграммы.

Возьмем конкретные значения параметров для нашей задачи:

Скрипт для построения требуемых графиков и диаграмм.

Скрипт позволяет решать ряд подобных задач путем выбора параметров и координат точек Q, R, S.

%ПОДСЧЕТ ЧАСТИЧНЫХ СУММ И СПЕКТРАЛЬНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК РЯДА ФУРЬЕ ДЛЯ ЯВНОЙ

%ФУНКЦИИ

%Задача 3

%Спектральный анализ.

global L I1 I2 Q R S I3 I4 I5 P T w v a b c d q r Qy Ry Sy nCase

L=18;

I1=6; I2=10; Q=11; Qy= -2; R=12; Ry=17; S=13; Sy=-4; I3=15; I4=20; I5=26;

P=2; T=3; ExprNum=9;

N=250;

Ns=30;

flag =0;

while flag == 0

k=1;

while (k<15)

k = menu ('Перемена параметров ', …

sprintf (' Параметр1 P = %g', P),…

sprintf (' Параметр2 I1 = %g', I1),…

sprintf (' Параметр3 I2 = %g', I2),…

sprintf (' Параметр4 Qx = %g', Q),…

sprintf (' Параметр5 Qy = %g', Qy),…

sprintf (' Параметр6 Rx = %g', R),…

sprintf (' Параметр7 Ry = %g', Ry),…

sprintf (' Параметр8 Sx = %g', S),…

sprintf (' Параметр9 Sy = %g', Sy),…

sprintf (' Параметр10 I3 = %g', I3),…

sprintf (' Параметр11 I4= %g', I4),…

sprintf (' Параметр12 T = %g', T),…

sprintf (' Параметр13 I5 = %g', I5),…

sprintf (' Параметр13 Ns = %g', Ns),…

' Продолжить ');

if k==1,

P = input ([sprintf ('Текущее значение P = %g', P) …

' Новое значение P= ']);

end

if k==2,

I1 = input ([sprintf ('Текущее значение I1 = %g', I1) …

' Новое значение I1= ']);

end

if k==3,

I2 = input ([sprintf ('Текущее значение I2 = %g', I2) …

' Новое значение I2= ']);

end

if k==4,

Q = input ([sprintf ('Текущее значение Qx = %g', Q) …

' Новое значение Qx= ']);

end

if k==5,

Qy = input ([sprintf ('Текущее значение Q = %g', Qy) …

' Новое значение Qy= ']);

end

if k==6,

R = input ([sprintf ('Текущее значение Rx = %g', R) …

' Новое значение Rx= ']);

end

if k==7,

Ry = input ([sprintf ('Текущее значение Ry = %g', Ry) …

' Новое значение Ry= ']);

end

if k==8,

S = input ([sprintf ('Текущее значение Sx = %g', S) …

' Новое значение Sx= ']);

end

if k==9,

Sy = input ([sprintf ('Текущее значение Sy = %g', S) …

' Новое значение Sx= ']);

end

if k==10,

I3 = input ([sprintf ('Текущее значение I3 = %g', I3) …

' Новое значение I3= ']);

end

if k==11,

I4 = input ([sprintf ('Текущее значение I4 = %g', I4) …

' Новое значение I4= ']);

end

if k==12,

T = input ([sprintf ('Текущее значение T = %g', T) …

' Новое значение T= ']);

end

if k==13,

I5 = input ([sprintf ('Текущее значение I5 = %g', I5) …

' Новое значение I5= '])

end

if k==14,

Ns = input ([sprintf ('Текущее значение SumN = %g', Ns) …

' Новое значение SumN= '])

end

end

%Применение параметров

w=Qy/(Q-I2);

v=Qy*I2/(I2-Q);

a=(Ry-Qy)/(R-Q);

b=(Qy*R-Q*Ry)/(R-Q);

c=(Sy-Ry)/(S-R);

d=(Ry*S-R*Sy)/(S-R);

q=Sy/(S-I3);

r=I3*Sy/(I3-S);

Ts=2*L/N;

t=0:Ts:2*L;

Dim=length (t);

y=zeros (1,Dim);

u1=floor (I1*N/2/L)+1;

u2=floor ((I2-I1)*N/2/L)+1;

u3=floor ((Q-I2)*N/2/L)+1;

u4=floor ((R-Q)*N/2/L)+1;

u5= floor ((S-R)*N/2/L)+1;

u6= floor ((I3-S)*N/2/L)+1;

u7= floor ((I4-I3)*N/2/L)+1;

u8= floor ((I5-I4)*N/2/L)+1;

u9= floor ((2*L-I4)*N/2/L)+1;

for i=1:u1

y (i)=P*sin (pi*t (i)/I1);

end

for i=u1:u2

y (i)=0;

end

for i=(u2+u1):(u3+u2+u1)

y (i)=w*t (i)+v;

end

for i= (u3+u2+u1): (u4+u3+u2+u1)

y (i)=a*t (i)+b;

end

for i=(u4+u3+u2+u1): (u5+u4+u3+u2+u1)

y (i)=c*t (i)+d;

end

for i=(u5+u4+u3+u2+u1): (u6+u5+u4+u3+u2+u1)

y (i)=q*t (i)+r;

end

for i=(u6+u5+u4+u3+u2+u1): (u7+u6+u5+u4+u3+u2+u1)

y (i)=0;

end

for i=(u7+u6+u5+u4+u3+u2+u1): (u8+u7+u6+u5+u4+u3+u2+u1)

y (i)=T*sin (pi*(t (i)-I4)/(I5-I4));

end

figure

plot (t, y,'LineWidth', 2), grid, set (gca,'FontName','Arial Cyr','FontSize', 16);

title ('График процесса'); xlabel ('Время (с)'); ylabel ('Y (t)');

pause

%График частичной суммы

global n

n=0;

for j=1:ExprNum

nCase=j;

switch j

case 1

a0=quad (@f, 0, I1);

case 2

a0=a0+quad (@f, I1, I2);

case 3

a0=a0+quad (@f, I2, Q);

case 4

a0=a0+quad (@f, Q, R);

case 5

a0=a0+quad (@f, R, S);

case 6

a0=a0+quad (@f, S, I3);

case 7

a0=a0+quad (@f, I3, I4);

case 8

a0=a0+quad (@f, I4, I5);

case 9

a0=a0+quad (@f, I5, 2*L);

end

end

a0=a0/L;

an=zeros (1,Ns);

bn=zeros (1,Ns);

for i=1:Ns

n=i;

for j=1:ExprNum

nCase=j;

switch j

case 1

an (i)=quad (@f, 0, I1);

bn (i)=quad (@g, 0, I1);

case 2

an (i)=an (i)+quad (@f, I1, I2);

bn (i)=bn (i)+quad (@g, I1, I2);

case 3

an (i)=an (i)+quad (@f, I2, Q);

bn (i)=bn (i)+quad (@g, I2, Q);

case 4

an (i)=an (i)+quad (@f, Q, R);

bn (i)=bn (i)+quad (@g, Q, R);

case 5

an (i)=an (i)+quad (@f, R, S);

bn (i)=bn (i)+quad (@g, R, S);

case 6

an (i)=an (i)+quad (@f, S, I3);

bn (i)=bn (i)+quad (@g, S, I3);

case 7

an (i)=an (i)+quad (@f, I3, I4);

bn (i)=bn (i)+quad (@g, I3, I4);

case 8

an (i)=an (i)+quad (@f, I4, I5);

bn (i)=bn (i)+quad (@g, I4, I5);

case 9

an (i)=an (i)+quad (@f, I5, 2*L);

bn (i)=bn (i)+quad (@g, I5, 2*L);

end

end

an (i)= an (i)/L;

bn (i)= bn (i)/L;

end

x=t;

fn=zeros (1, length (x));

fn=fn+a0/2;

for i=1:Ns

n=i;

fn=fn+an (i)*cos (n*pi*x/L)+bn (i)*sin (n*pi*x/L);

end

figure

plot (t, y, x, fn,'LineWidth', 2), grid, set (gca,'FontName','Arial Cyr','FontSize', 16);

title ('График сигнала и частичной суммы'); xlabel ('Время (с)'); ylabel (sprintf ('Sn (t)'));

pause

%Построение амплитудной диаграммы

A=zeros (1, Ns);

wn=pi/L;

Gn=wn:wn:wn*Ns;

for i=1:Ns

A (i)=sqrt (an (i).^2+bn (i).^2);

end

figure

stem (Gn, A,'.'), grid, set (gca,'FontName','Arial Cyr','FontSize', 16);

title ('Амплитудная диаграмма сигнала'); xlabel ('n'); ylabel ('An');

pause

%Построение фазовой диаграммы сигнала

Fi=zeros (1, Ns);

for i=1:Ns

if (an (i)>0)

Fi (i)=atan (bn (i)/an (i));

end

if ((an (i)<0)&&(bn (i))>0)

Fi (i)=atan (bn (i)/an (i))+pi;

end

if ((an (i)<0)&&(bn (i))<0)

Fi (i)=pi-atan (bn (i)/an (i));

end

if ((an (i)==0)&&(bn (i))>0)

Fi (i)=pi/2;

end

if ((an (i)==0)&&(bn (i))<0)

Fi (i)=-pi/2;

end

end

figure

stem (Gn, Fi,'.'), grid, set (gca,'FontName','Arial Cyr','FontSize', 16);

title ('Фазовая диаграмма сигнала'); xlabel ('n'); ylabel ('Fi');

pause

close Figure 1;

close Figure 2;

close Figure 3;

close Figure 4;

kon=0;

kon=input ('Закончить работу-<3>, продолжить — ');

if kon==3,

flag=3;

end

end

1. Фихтенгольц, Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: в 3 т., М., 1997. 3 т.

2. Воднев, В. Т., Наумович, А. Ф., Наумович, Н. Ф., Основные математические формулы. Минск, 1998

3. Харкевич, А. А, Спектры и анализ. Москва, 1958

4. Лазарев, Ю. Ф., Начала программирования в среде MatLAB. Киев 2003.

5. Демидович, Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу, М., 1988.