Разработка факультативного курса «Применение метода интервалов при решении неравенств»

• Оглавление

Глава 1. Психолого-педагогические основы организации факультатива по математике в старших классах.

§ 1. Общая характеристика развития старшего школьника.

§ 2. Некоторые особенности учебной деятельности старших школьников.

§ 3. Актуализация внеурочной деятельности старших школьников.

§ 4. Факультатив как дона из форм внеурочной работы по учебным предметам.

ГЛАВА 2. Разработка факультативного курса «Применение метода интервалов при решении неравенств».

§ 1. Изложение метода интервалов в школьных учебниках.

§ 2. Структура факультативного курса «Применение метода интервалов при решении неравенств».

§ 3. Содержание факультативного курса «Применение метода интервалов при решении неравенств».

Занятие № 1.

Занятие № 2.

Занятие № 3.

Занятие № 4.

Занятие № 5.

Занятие № 6.

Занятие № 7.

Занятие № 8.

Занятие № 9.

Занятие № 10.

Заключение

.

Библиография

В современной школе в процессе обучения математике больший акцент делается на решении уравнений различных видов по сравнению с решением неравенств и уж тем более с решением последних при помощи метода интервалов. Учащиеся изучают различные схемы сведения неравенств к равносильным системам и совокупностям. Данный способ эффективен при решении «простых» неравенств, рассматриваемых в школьном курсе. В более сложных случаях, например, в таких, которые предлагаются на вступительных экзаменах в вузы, даже «сильные» ученики порой оказываются в затруднительном положении, так как им приходится производить громоздкие вычисления при решении тех самых систем и совокупностей. Мало кто из учителей знакомит на уроках учащихся с другими способами решения неравенств, облегчающими поиск решения, одним из которых является метод интервалов. Именно поэтому выбранная нами тема дипломной работы представляется весьма актуальной.

Таким образом, целью дипломной работы является разработка системы упражнений в рамках факультативного курса для учащихся 11 классов, раскрывающей всевозможные способы применения метода интервалов при решении неравенств.

В связи с этим необходимо решить следующие задачи:

— составить психолого-педагогическую характеристику старших школьников, выявить особенности их учебной деятельности;

— определить роль и место факультативных занятий в рамках обучения в школе;

— проанализировать методическую, педагогическую литературу по теме дипломной работы (в частности действующие учебники по алгебре и началу анализа для 10 -11 классов);

— отобрать содержание факультативного курса «Применение метода интервалов при решении неравенств»;

— разработать план факультатива «Применение метода интервалов при решении неравенств» и конспекты конкретных занятий.

Глава 1. Психолого-педагогические основы организации факультатива по математике в старших классах

§ 1. Общая характеристика развития старшего школьника

Старший школьный возраст, или возраст ранней юности, охватывает период развития примерно от 15 до 18 лет и соответствует времени обучения учащихся в старших классах школы.

Юношеский возраст — этап формирования самосознания и собственного мировоззрения, этап принятия ответственных решений .

Отвечая самому себе на вопросы «Кто я? Какой я? К чему я стремлюсь?», молодой человек формирует: 1) самосознание — целостное представление о самом себе, эмоциональное отношение к самому себе, самооценка своей внешности, умственных, моральных, волевых качеств, осознание своих достоинств и недостатков, на основе чего возникают возможности целенаправленного самосовершенствования, самовоспитания; 2) собственное мировоззрение как целостную систему взглядов, знаний, убеждений, своей жизненной философии, которая опирается на усвоенную ранее значительную сумму знаний и сформировавшуюся способность к абстрактно-теоретическому мышлению, без чего разрозненные знания не складываются в единую систему; 3) стремление заново и критически осмыслить все окружающее, утвердить свою самостоятельность и оригинальность, создать собственные теории смысла жизни, любви, счастья и т. п. [32, с. 152)

Развитие самосознания создает необходимые предпосылки для самовоспитания, приобретающего в старшем школьном возрасте весьма широкий характер. Задачи самовоспитания у старшего школьника не ограничивается, как обычно у подростка, воспитанием отдельных качеств, преодолением тех или иных недостатков. В этом возрасте самовоспитание имеет целью формирование определенного психологического облика в целом.

Для юношества свойственны максимализм суждений, своеобразный эгоцентризм мышления: разрабатывая свои теории, юноша ведет себя так, как если бы мир должен был подчиняться его теориям, а не теории — действительности. Стремления доказать свою независимость и самобытность сопровождаются различными поведенческими реакциями: «пренебрежительного отношения» к советам старших, недоверие и критиканство по отношению к старшим поколениям, иногда даже открытое противодействие. Но в такой ситуации юноша вынужден опираться на моральную поддержку ровесников, и это приводит к типичной реакции «повышенной подверженности» (неосознанная внушаемость, сознательный конформизм) — влиянию ровесников, которая обусловливает единообразие вкусов, стилей поведения, норм морали (молодежная мода, жаргон, субкультура).

Характерной чертой нравственного развития школьников старшего возраста является усиление сознательных мотивов в их поведении. Заметно развиваются в этом возрасте волевые качества — целеустремленность, решительность, настойчивость, самостоятельность и инициативность, умение контролировать свое поведение и владеть собой. Повышается интерес к важным моральным проблемам: цель в жизни, счастье, любовь, дружба и т. д.

Для ранней юности характерна устремленность в будущее. Если в 15 лет жизнь кардинально не изменилась, и старший подросток остался в школе, он тем самым отсрочил на два года выход во взрослую жизнь и, как правило, сам выбор дальнейшего пути. В этот относительно короткий срок необходимо создать жизненный план — решить вопросы, кем быть (профессиональное самоопределение) и каким быть (личностное или моральное самоопределение). Жизненный план — не то же самое, что подростковые туманные мечты о будущем. Когда планы сводятся к намерению учиться, заниматься в будущем интересной работой, иметь верных друзей и много путешествовать, это еще нельзя назвать жизненной перспективой. Старшеклассник должен не просто представлять свое будущее в общих чертах, а осознавать способы достижения поставленных жизненных целей.

В выпускном классе дети сосредоточиваются на профессиональном самоопределении. Оно предполагает самоограничение, отказ от подростковых фантазий. Старшекласснику приходится ориентироваться в различных профессиях, что совсем не просто, поскольку в основе профессии лежит не свой собственный, а чужой опыт — сведения, полученные от родителей, друзей, знакомых, их телепередач и т. д. Кроме того, нужно верно оценить свои объективные возможности — уровень учебной подготовки, здоровье, материальные условия семьи и, главное, свои способности и склонности.

Таким образом, старший школьник включается в новый тип ведущей деятельности — учебно-профессиональную, правильная организация которой во многом определяет его становление как субъекта последующей трудовой деятельности, его отношение к труду.

«Важнейшее психологическое новообразование данного возраста — умение школьника составлять жизненные планы, искать средства их реализации» (Д.И. Фельдштейн).

Старшеклассник прощается с детством, со старой, привычной жизнью. Оказавшись на пороге истинной взрослости, он весь устремлен в будущее, которое притягивает и тревожит его. Без достаточной уверенности в себе, принятия себя он не сможет сделать нужный шаг, определить свой дальнейший путь. Поэтому самооценка в ранней юности выше, чем в подростковом возрасте. Вообще юность — период стабилизации личности. В это время складывается система устойчивых взглядов на мир и свое место в нем — мировоззрение. Известны связанные с этим юношеский максимализм в оценках, страстность в отстаивании своей точки зрения. Центральным же новообразованием периода становится самоопределение, профессиональное и личностное. Старшеклассник решает, кем быть и каким быть в своей будущей жизни.

§ 2. Некоторые особенности учебной деятельности старших школьников

В.А. Сухомлинский отмечал: «Из практики воспитательной работы многим учителям хорошо известно такое непонятное с первого взгляда явление: чем старше становится ученик, тем труднее ему учится… Причина этого явления в подавляющем большинстве случаев — неумение пользоваться обобщающими понятиями в целях познания окружающей действительности, а неумение это рождается потому, что обобщающие понятия, выводы, умозаключения не формируются путем исследования явлений и фактов, а заучиваются. Запоминание заучивание обобщений, не выведенных из жизненной практики, не основанных на анализе фактов, приводит к тому, что ученик не может пользоваться приобретенными с таким трудом знаниями» Сухомлинский В. А. Умственный труд и связь школы с жизнью. «Народное образование», 1959, № 12, с. 45.

Для того чтобы ученик эффективно учился, он должен совершать не любые действия, а вполне определенные. Встает вопрос: почему ученик совершает именно эти действия, а не другие, что побуждает его совершать эти действия, что направляет и регулирует его деятельность в процессе обучения? Иными словами, что мотивирует — побуждает и направляет — деятельность ученика?

В этом необходимо разобраться потому, что учитель должен научиться управлять деятельностью учащихся в процессе обучения, а для этого он должен уметь формировать у них нужную мотивацию. Ведь в противном случае, если этого не делать, становиться вполне реальной опасность, о которой говорил В. А. Сухомлинский:

«Все наши замыслы, все поиски и построения превращаются в прах, если нет у ученика желания учиться» (Сухомлинский В.А. О воспитании. М., 1979, с. 78).

Поэтому учитель должен вызвать у учащихся такое желание, а это значит, что он должен формировать у них соответствующую мотивацию.

Под мотивацией понимают обычно совокупность побуждений к деятельности. [33, с. 68]

Любая деятельность вызывается несколькими побуждениями, среди которых доминирует обычно одно, то есть деятельность всегда полимотивированна. При этом сам человек большей частью не осознает всех своих побуждений к данной деятельности и может даже заблуждаться, считая ими совсем не те, которые фактически таковыми являются (так называемые защитные мотивы).

Однако когда деятельность уже началась, то она всегда имеет определенную цель. Цель — это то, чего сознательно хочет достигнуть человек в результате этой деятельности. Но между целью деятельности и ее побуждениями не всегда существует полное соответствие. Когда оно имеется, то говорят, что эта деятельность имеет смысл; в противном случае, когда цель деятельности и вызываемые эту деятельность побуждения не соответствуют друг другу, то говорят, что деятельность не имеет смысла, лишена для данного человека смысла.

Для тех учащихся, которые интересуются процессом решения, хотят овладеть умениями и способами решения подобных задач, даже для тех из них, кого в первую очередь интересует отметка или похвала за решение, эта деятельность имеет определенный смысл. А вот для тех учащихся, которые решают задачу главным образом в силу имеющейся у них установки на выполнение требований учителя или в силу боязни неприятностей от родителей, учителя, решение задачи не имеет смысла, и потому можно ожидать, что в недалеком будущем они могут перестать решать задачи, даже когда учитель прямо этого потребует.

Для того, чтобы потребность вызвала определенную деятельность, должен найтись соответствующий ей предмет, который становиться побуждением к конкретной деятельности и носит название мотива.

Если нет мотива, то потребность вызывает у человека лишь состояние нужды, страдание, которые сами по себе не могут вызвать определенную деятельность. И лишь когда потребность опредмечивается в мотиве, то последний и вызывает определенную деятельность. [33, с. 70]

Еще одним из видов побуждений, входящих в мотивацию деятельности, является интерес. В данном случае его следует рассматривать как «основную психологическую потребность личности в определенных предметах и видах деятельности как источниках желанных переживаний и средствах достижения желанных целей» Додонов Б. И. Эмоция как ценность. М., 1978, с. 159. Следовательно, за интересом стоит специфическая потребность, потребность в определенных эмоциональных переживаниях.

Каким же образом потребность, мотив, интерес вызывают определенную деятельность? Это происходит не автоматически, не вдруг. Когда человек получает информацию об определенных побуждениях — потребности, мотиве, интересе, она перерабатывается с помощью мышления и эмоций.

С помощью мышления человек оценивает разные побуждения, сопоставляет их, соотносит с имеющимися у него убеждениями, идеалами, стремлениями, учитывает эмоциональные оценки этих побуждений и уже после этого дает «команду», толчок к деятельности, устанавливая ее цель. С помощью эмоций также оценивается информация о побуждениях, но иначе, а именно на языке чувств, переживаний.

Эмоциональные переживания выполняют не только функцию оценки ценностей тех или иных объектов для удовлетворения потребности, оценки соответствия деятельности поставленной цели и т. д., но в ряде случаев они становятся самостоятельной ценностью, ради достижения которой человек выполняет зачастую не меньшую работу, чем ради удовлетворения естественных потребностей. Мы имеем в виду деятельность человека ради достижения удовольствия, наслаждения, развлечения и др. эмоциональных переживаний. Во всех этих случаях эмоциональные переживания, чувства выступают в роли мотива, ради достижения которого у человека возникает особая специфическая потребность.

Для формирования у учащихся нужной мотивации учения, стойкого и серьезного желания учиться, учитель математики должен, опираясь на имеющейся у учащихся потребности (потребности в активной деятельности, в эмоциональном насыщении, в самоутверждении в коллективе и т. д.), вызвать у них нужную деятельность и сделать так, чтобы эта деятельность приносила им самые положительные переживания, удовлетворяла их интересы, развивала их, вселяла в учащихся веру в возможность преодоления всех трудностей, веру в свои способности и радость и гордость за свои успехи.

При этом следует иметь в виду, что нужные потребности и мотивы могут быть сформированы у учащихся только в процессе их собственной деятельности. Вне деятельности, одними принуждениями к нужной мотивации стойкого желания учиться сформировать нельзя. А для этого необходимо, чтобы содержание обучения, цели и задачи, которые ставит учитель перед учащимися, имели для них ясно понимаемый и лично значимый смысл. [33, с. 75]

Если мотивом деятельности ученика является какое-то внешнее по отношению к этой деятельности побуждение (оценка, принуждение, похвала и т. д.), то он является только объектом этой деятельности. В качестве субъекта деятельности в этом случае выступает учитель, так как он сознательно задает цель деятельности, он направляет и регулирует деятельность ученика.

Если же мотив деятельности ученика совпадает с ее объективной целью, т. е. когда ученик сознательно ставит перед собой цель научиться решать подобные задачи, то в этом случае он является не только объектом, но и субъектом этой деятельности.

Итак, ученик всегда является объектом деятельности в процессе обучения, а субъектом этой деятельности он становится тогда, когда сознательно принимает объективные цели деятельности за свои личные цели. Очевидно, что в последнем случае обучение является наиболее эффективным, только в этом случае учитель может легко и с удовлетворением полностью осуществить цели и задачи обучения.

Учителю необходимо стремиться к тому, чтобы каждый ученик становился субъектом деятельности в процессе обучения. А для этого нужно, чтобы все стороны учебно-воспитательного процесса, его содержание, организация и методы содействовали такому становлению, были прямо направлены на воспитание ученика — субъекта своей деятельности.

Интерес старшеклассников к учебным предметам определяется тем, в какой мере учитель сумеет связать свой предмет с жизнью. Необходимо и еще одно условие — творческая активность учащихся на уроке. Это — основная линия преодоления нередко наблюдающегося в старших классах падения интереса к учению.

Однако если у старшеклассников и развивается положительное отношение к учению, это не означает, что у них создается одинаковое отношение ко всем предметам. Кроме того, в процессе учебной деятельности у юношей и девушек ярко проявляется избирательность как межпредметная, так и внутри предмета, которая в значительной мере определяется их склонностью к будущей деятельности, осознанием необходимости знаний в данной области для будущей профессии.

Интересуясь тем или иным предметом, старшеклассники в содержании любимого учебного предмета выделяют, по их мнению, самое нужное для будущей деятельности и ставят цель — глубоко изучить и познать именно этот раздел. Это приводит к тому, что порой они неоправданно исключают из своего поля зрения очень важные разделы, считая их несущественными и не имеющими значения для познания существа избранной области знаний. На уроке такое отношение школьников выражается в том, что ученик отвлекается во время работы, небрежно выполняет задания по данному разделу.

Избирательное отношение старшеклассника к учебным предметам выражается и в направленности его интересов, и в сосредоточенности на уроках.

Избирательное отношение старшеклассника к учебным предметам выражается и в направленности его интересов, и в сосредоточенности на уроках.

Умение сосредотачиваться, как правило, воспитано уже у большинства старшеклассников. Если нужно, ученик 10−11 класса будет внимателен несмотря на сильные побочные раздражители. И. В. Страхов правильно отмечает, что у старшеклассников развитие произвольного внимания находится в прямой зависимости от развития логического мышления, от умения мыслить последовательно и доказательно. Страхов И. В. Воспитание внимания школьника.- М., Учпедгиз, 1958. Логическое развитие мысли определяет и направляет внимание старшего школьника, его внимание в значительно меньшей степени (чем у младшего школьника и подростка) зависит от внешних впечатлений, действующих на него в процессе учебной работы, от эмоциональных переживаний.

Однако внимание, связанное с эмоциональными переживаниями, занимает значительное место и у учащихся старших классов.

И.В. Страхов подчеркивает, что непосредственность и живость реагирования характерна и для старших школьников. Но в отличие от подростков, в этом возрасте эмоциональные состояния становятся более устойчивыми, и происходит дальнейшее обогащение нравственных, интеллектуальных и эстетических чувств. Следовательно, как отмечает И. В. Страхов, эмоциональная основа внимания старших школьников становится более многосторонней, затрагивающей различные стороны личности. Страхов И. В. Воспитание внимания школьника.- М., Учпедгиз, 1958.

Одной из характерных особенностей учебной деятельности старшеклассников является ее активизация и, до известной степени, самостоятельность. Все большее и большее значение приобретают уроки типа лекций, самостоятельное выполнение лабораторных и других практических работ, рефератов, все чаще и чаще старшему школьнику приходится самостоятельно разбираться в изучаемом материале.

Мышление старших школьников приобретает все более активный самостоятельный и творческий характер; юноши и девушки обращают большое внимание на аргументированность и доказательность тех или иных положений. Принимать на веру сказанное учителем или прочитанное в учебнике старший школьник не желает, слепо следовать авторитетам не в его правилах. Он стремиться убедиться в истинности того, с чем ему приходиться знакомиться на уроках. И напрасно некоторые учителя обвиняют старшеклассников в скептицизме, недоверии. Следует не только удовлетворять, но и поощрять эту свойственную старшему школьнику и полезную для его умственного развития требовательность к убедительной аргументированности, обоснованности и доказательности усваиваемых знаний.

Разумеется, наряду с этим старшеклассников надо убеждать в том, что не всегда разумно требовать логического обоснования тех или иных положений. Есть целый ряд требований и правил, предъявляемых обществом своим членам (некоторые из них, в частности, основаны на традициях), которые надо исполнять безоговорочно. [17, с. 35]

Содержание уроков и новый характер учебной деятельности в старших классах предъявляют новые требования к мыслительной деятельности школьников. Старшеклассники уже умеют абстрагировать и обобщать изучаемый учебный материал. На основе этой способности мыслительной деятельности у школьников старших классов формируется теоретическое мышление, направленное на познание общих законов окружающего мира, законов природы и общественного развития. Интерес к учебным предметам постепенно перерастает в интерес к науке, к вопросам теории и определенным отраслям знания. Поэтому большое значение для формирования теоретического мышления имеет внеурочная работа, в частности факультативная, которая углубляет, расширяет кругозор учащихся.

§ 3. Актуализация внеурочной деятельности старших школьников

Современная российская школа уже не может и не должна использовать образовательные технологии, тормозящие творческую активность, инициативу и самостоятельность учащихся, использовать экстенсивные пути и способы развития личности ребенка. Многочисленные новации учителей в последние годы направлены на обновление педагогического процесса в общеобразовательной школе, которое невозможно представить без широкомасштабного развития системы внеурочных занятий школьников.

Одним из видов внеурочной работы является внеурочная работа по учебным предметам, являющаяся важным компонентом системы урочно-внеурочной деятельности школьников. В руках педагога-профессионала эта работа является эффективным средством обучения, воспитания и развития учащихся. Внеурочную работу по учебным предметам можно рассматривать как одну из фаз образования, обеспечивающую его индивидуализацию и дифференциацию. В этой фазе школьный педагог должен стремиться не только к углублению знаний, расширению способов деятельности, но главное — к созданию условий для реализации способностей старшеклассников, для побуждения у учащихся потребности в творческом стиле жизнедеятельности и системном самосовершенствовании, для формирования у них опыта освоения эмоционально-ценносных отношений и духовной культуры. [13, с. 27]

Знание потребностей старшеклассника позволяет учителям выбирать оптимальные формы урочной и внеурочной деятельности, конкретные задания для формирования, развития у учащихся творческого стиля жизнедеятельности.

У большинства старшеклассников мотивация к урочно-внеурочной деятельности связана с условиями осуществления таковой. К числу условий, делающих урочно-внеурочную работу привлекательной, старшеклассники относят: работа без большого напряжения; хорошая морально-психологическая атмосфера (нет конфликтов со сверстниками, педагогами и т. п.); неформальное общение с учителями; вариативность содержания, вариативность форм работы; соответствие работы индивидуальным интересам; справедливость в оценке процесса и результатов деятельности.

Зная потребности ученика, можно «вычислить» задание, которое требуется данному школьнику для его успешного развития, обучения и воспитания. Большое внимание в этой работе учитель должен уделить стимулированию у школьников познавательных интересов и потребностей. Познавательный интерес для многих школьников является «стартовой площадкой» для саморазвития личности. Учителю целесообразно так «подать» задание, чтобы ученик убедился в его интересности, содержательности, личной и социальной полезности, значимости для учения, для самореализации школьника.

Изменения, происходящие на современном этапе социального развития нашего общества и школы, делают более актуальной внеурочную работу по учебным предметам. Выделим некоторые из основных факторов актуализации данной работы старшеклассников. [13]

Психологический (личностный) фактор. Современный школьник уже не хочет и не может «готовиться к жизни» в изоляции от окружающего мира, людей. Он желает реализовать свои индивидуальные потенции в настоящее время. Школьник начинает искать смысл жизни. Он проверяет свои силы: интеллектуальные, физические, духовные. Проверка ведется широким фронтом, в основном в неформальной деятельности и общении. Во внеурочной работе школьники надеются отыскать успех, компенсировать неудачи в учении, общении со сверстниками, взрослыми. Они стремятся найти пути к самоуважению и любви, к окружающему их природно-социальному миру, способы и средства самопознания и самореализации. Внеурочные занятия создают условия для индивидуализации личности.

Педагогический фактор. Урок, оставаясь важной формой учебно-воспитательного процесса, не может в полной мере гуманизировать жизнедеятельность ребенка, его отношения с педагогами. Нормативные учебные программы, реализуемые на уроках, не обеспечивают реальную индивидуализацию обучения и воспитания школьников. Урок, при всех его достоинствах, не может разформализовать отношения педагогов и учащихся, обеспечить продуктивное их сотрудничество. Урочные формы не позволяют в полной мере проявить инициативу и самодеятельность детей, а учителю творчески использовать огромный арсенал методов воспитания и развития личности ребенка. Внеурочная работа, интегрируясь с уроком, обеспечивает учителя многообразием моделей организации учебно-воспитательной работы, которые могут всецело удовлетворить и коммукативные потребности школьников.

Психолого-педагогический фактор. Во внеурочной деятельности ученики получают возможность углубить и расширить знания, апробировать приобретенные умения и навыки, в том числе исследовательские и прикладные, познавательные, получить от школьного педагога квалифицированную помощь в интересующей области науки. На внеурочных занятиях учащиеся получают возможность составлять планы проведения кружковых или факультативных занятий, программы различных внеурочных мероприятий, а также проводить занятия и консультации для сверстников. Внеурочные занятия стимулируют развитие интеллектуальной, волевой, эмоциональной, мотивационной сфер личности, отношений партнерства.

Социальный фактор. Внеурочная работа, обладая значительными возможностями для развития неформальных отношений, индивидуальных способностей, ориентирующаяся на детскую изобретательность, импровизацию, фантазию, служит средством предупреждения и преодоления асоциальной деятельности подростков и юношей, оттягивает их от криминальной среды, увлекает личностно и социально значимыми делами, стимулирует у ребят интерес к жизни во всех ее проявлениях.

В современной педагогической практике можно выделить как позитивные, так и негативные аспекты в организации внеурочной работы подростков и старшеклассников по учебным предметам.

Среди первых отметим:

— усиление внимания учителей к внеурочной работе по учебным предметам;

— попытки интегрировать данную работу с урочной;

— привлечение к организации внеурочных занятий школьников, педагогов учреждений дополнительного (внешкольного) образования, ученых вузов, НИИ, а также родителей учащихся и др.

Отметим также негативные аспекты в организации внеурочной работы. К ним относятся:

— бессистемность организации данной работы;

— отсутствие стабильности в работе с определенными группами учащихся;

— использование в большинстве случаев традиционных форм занятий (однообразность «утомляет» подростков и старшеклассников, отторгает их от данных занятий);

— «отсечение» слабоуспевающих и трудновоспитуемых школьников от внеурочной работы по учебным предметам («усечение» воспитательной и развивающей функций данной работы);

— недостаточное развитие индивидуальной внеурочной деятельности учащихся;

— недостаточное использование инициативы и самодеятельности подростков и старшеклассников;

— недостаточная расформализация отношений между педагогами и школьниками и др.

Работа становится привлекательной для старшеклассников, когда они ощущают взаимодоверие и уважение, расширяют и углубляют деловые контакты со взрослыми, пополняют в общении с ними арсенал способов совместной деятельности. Внеурочная работа строится на основе неформального взаимодействия учителя и учащихся. Внеурочные занятия по учебным предметам являются прекрасным «индикатором» профессиональной подготовки и мастерства педагога, его личностных качеств. Авторитаризм учителя во внеурочной работе блокирует инициативу, самодеятельность, творчество старшеклассников, отторгает ребят от первоначально интересовавшей деятельности. [12, с. 32]

Не привлекает старшеклассников и внеурочная работа, ориентирующая на освоение уже известного материала, известными же способами. Учащиеся данного возраста стремятся во внеурочной работе углубить знания, расширить умения, установить дружеские и деловые контакты с педагогами, одноклассниками и т. п.

В школьной практике учитель имеет возможность по своему усмотрению в зависимости от конкретных условий организации внеурочной работы определить ее цель и задачи. По мнению Казаренкова В. И. [7], стратегической целью организации внеурочной работы школьников по учебному предмету является создание условий для развития и саморазвития личности школьника (посредством создания развивающей среды жизнедеятельности, обеспечивающей индивидуальное развитие старшеклассника). Задачами могут выступать:

— формирование творческого стиля жизнедеятельности школьника;

— расширение и углубление знаний и способов деятельности учеников;

— формирование потребности в самообразовании и самовоспитании.

Во внеурочной деятельности необходимо решать задачи общего развития школьников с учетом их возрастных особенностей.

Основные задачи развития в ранней юности:

— обретение чувства личной тождественности и целостности (идентичности);

— профессиональное самоопределение целей и выбор будущей профессии;

— развитие готовности к жизненному самоопределению, что предполагает достаточный уровень развития ценностных представлений, волевой сферы, самостоятельности и ответственности.

Успешное решение во внеурочной работе задач общего развития учащихся зависит не только от качеств профессиональной подготовки учителя (психологической, педагогической, методической), но так же от его личных качеств, общей культуры.

Внеурочная деятельность по учебным предметам строится системно на основе единства обучения, воспитания и развития школьников. В программах и планах работы учитываются индивидуальные интересы, потребности, способности и возможности старшеклассников, их возрастные особенности. Педагогу, организующему внеурочные занятия по учебным предметам, следует помнить важное методологическое положение педагогической теории А. С. Макаренко: человек не воспитывается по частям. [13, с. 37]

Нашей школой накоплен богатый опыт по организации внеурочной работы по математике. Широкое распространение получили такие формы внеурочной работы, как олимпиада, математический вечер, математический кружок (для учащихся 5 — 7 классов), факультатив (для учащихся 8 — 11 классов) и т. д. Последнюю из перечисленных форм внеурочной работы мы и рассмотрим в следующем параграфе данной работы.

§ 4. Факультатив как дона из форм внеурочной работы по учебным предметам

Как новая форма учебной работы факультативные занятия были введены ноябрьским (1966) Постановлением ЦК КПСС и Совета Министров СССР «О мерах дальнейшего улучшения работы средней общеобразовательной школы». В этом постановлении были определены цели и задачи факультативных занятий, общий порядок их организации.

На первом этапе своей истории математическим факультативам был присущ временный характер, так как в них был введен материал, который в последующем включался в основной школьный курс математики. Необходимость обновления факультативных курсов по математике стала очевидной, когда в 1976 — 1977 годах новые программы по математике были введены во всех классах общеобразовательных средних школ страны.

Факультатив — одна из форм внеурочной работы, которая проводится на строго добровольных началах, и поэтому их наличие в школе, как правило, свидетельствует о достаточно высоком уровне развития познавательных интересов у части учащихся.

Основная задача факультативных занятий — учитывая интересы и склонности учащихся, расширить и углубить усвоение ими программного материала, ознакомить школьников с некоторыми общими идеями современной математики, раскрыть приложения математики на практике.

Кроме того, на факультативные курсы возлагается и следующая задача — улучшать подготовку учащихся к вступительным экзаменам в средние специальные учебные заведения и вузы. Но если эта задача становится главной, то занятия сводятся к прямому натаскиванию (в форме решения многочисленных задач, предлагавшихся на вступительных экзаменах в различные вузы). Это дискредитирует саму идею факультативных курсов, занятия к тому же малоэффективны. Иное дело, если учитель организует предварительную самостоятельную работу учащихся (вне занятий) по решению задач, а на факультативных занятиях вместе со школьниками определяет наиболее рациональную методику поиска решения, устанавливает границы применимости того или иного метода решения, учит предупреждать наиболее типичные ошибки в решении, в его записи и обосновании, учит находить эффективные приемы самоконтроля, сопоставлять различные способы решения одной и той же математической задачи, оценивать их достоинства и недостатки. В этом случае сознательное и глубокое усвоение содержания, идей, методов школьного курса является в то же время лучшей подготовкой к вступительным экзаменам в высшие и средние специальные учебные заведения.

Практика школы показывает, что на разных этапах обучения на факультативах должно быть различное соотношение расширения и углубления содержания общего курса математики. Если для любознательного семиклассника, интересующегося математикой, расширение школьной тематики является желательным, причем тем в большей степени, чем он подготовлен по основному курсу, то для одиннадцатиклассника, как правило, всякое расширение, существенно выводящее за пределы общего курса, всякое изучение материала, которое не войдет в содержание выпускных экзаменов, является нежелательным. В этом последнем случае неучет позиции старшеклассников часто приводит к распаду факультативных групп.

Напротив, как показывают данные специального изучения степень сформированности интересов старшеклассников такова, что их уже не может удовлетворить факультатив типа кружка, им необходима более серьезная систематическая работа. При ее организации необходимо учитывать не только степень развития интересов учащихся к изучению математики, но и направленность этих интересов, связанную с профориентационными аспектами.

Полезно на внеклассных и факультативных занятиях рассматривать такие вопросы, которые вызывали бы слияние известных ученикам фактов в более крупные логические связки, требовали бы систематизации и обобщения, например, такие: «Совместное решение уравнений и неравенств», «Применение метода интервалов при решении неравенств» и др. Особое значение имеют подобные темы для формирования научного мышления учащихся, для усвоения ими методов творческого математического исследования, для развития их интереса к изучению математики.

В условиях занятий учителя с группой учащихся большое значение приобретает умение учителя активизировать самостоятельную математическую деятельность учащихся, рационально сочетать свои вопросы, задания, объяснение с их индивидуальной и совместной учебной работой.

При изучении факультативного курса учитель может использовать такие виды самостоятельной работы, как доклады учащихся и их обсуждение, подготовка докладов, изготовление наглядных пособий, чтение математической литературы.

Самостоятельная работа эффективна при выполнении двух условий: контроль со стороны учителя, самоконтроль и оказание своевременной помощи отстающим.

Контроль представляет собой процесс обеспечения достижения учащимися и педагогами своих целей. Контроль можно рассматривать и как процесс, при помощи которого педагог определяет, правильны ли его решения и не нуждаются ли они в определенной корректировке. Контроль за выполняемой участниками факультативных занятий работой позволяет выявить проблемы и скорректировать осуществляемые ими виды деятельности и совместную деятельность до того, как эти проблемы станут неуправляемыми.

Кроме того, важное место в занятиях старшеклассников занимает самоконтроль, осуществляющийся через формирование правильной самооценки у ребят. Поэтому самоконтроль очень важен для всех учащихся, но особенно для школьников, не имеющих склонности к самостоятельной деятельности.

Опыт показывает, что как на уроках, так и на внеклассных и факультативных занятиях можно применять такие современные средства обучения, как предметные модели математические книги (на уроках — это прежде всего учебники), дидактические материалы с печатной основой и т. п., и даже такие технические средства обучения, как кинопроекторы, кодоскопы и другие контролирующие и обучающие устройства. Все они призваны облегчить (улучшить) передачу учебной информации учащимся, создать благоприятные условия для индивидуальной работы учащихся, ее проверки и оценки, способствовать общеклассному обсуждению и индивидуальному исправлению ошибок и недочетов.

К сожалению, содержание факультативных курсов математики создание информационных средств ТСО почти обошло стороной. Поэтому для факультативных занятий желательно использовать главным образом самодельные демонстрационные таблицы, плакаты, раздаточный дидактический материал (в том числе и карточки с печатной основой информационного, обучающего, контролирующего типов), полезно выпускать математические стенгазеты и оформлять специальные стенды (например, с полным описанием всех этапов решения задачи на построение или с образцами письменной записи решения задач различных типов, в том числе и нестандартных).

Итак, анализ психолого-педагогической литературы по теме дипломной работы показал, что в современных условиях факультативная работа по различным учебным предметам, в том числе и по математике, является достаточно актуальной. Эффективность этой работы в большей мере зависит от учета психологических особенностей учащихся. Поэтому в основу разработки факультативного курса «Применение метода интервалов при решении неравенств» были положены рассматриваемые выше психолого-педагогические основы организации факультатива по математике в старших классах.

ГЛАВА 2. Разработка факультативного курса «Применение метода интервалов при решении неравенств»

§ 1. Изложение метода интервалов в школьных учебниках

Рассмотрим на примере нескольких учебниках изложение интересующей нас темы. В учебнике Башмакова М. И. метод интервалов рассматривается в начале 10 класса применительно к неравенствам вида f (x)>0, когда функцию y = f (x) можно представить как произведение линейных множителей. Сущность метода излагается следующим образом:

1) найти корень каждого множителя и нанести все корни на числовую ось;

2) исследовать знак произведения на каждом из получившихся отрезков числовой оси.

Далее дается схематическая таблица описанных выше шагов решения неравенств. Так же автор рекомендует использовать в ходе решения неравенств методом интервалов следующее правило: если все линейные множители различны (имеют разные корни), то произведение будет менять знак при переходе от одного интервала числовой оси к соседнему (знаки будут чередоваться). Поэтому достаточно определить знак на одном каком-нибудь интервале (обычно это крайний правый интервал). Непосредственное применение данного правила иллюстрируется на конкретных примерах. Оговариваются и основные правила обобщенного метода интервалов (сам термин не вводится): если число множителей левой части неравенства четное, то при переходе через их общий корень произведение не будет менять знак; если же число одинаковых множителей нечетно, то знак будет меняться.

В учебнике Виленкина Н. Я. авторы вводят метод интервалов так же в начале 10 класса, но через описание общего случая решения линейных неравенств вида

(ах + b)…(ax + b)<0.

Делается вывод о том, что все произведение, стоящее в левой части неравенства, может изменить знак лишь при переходе через одну из точек (один из корней линейного множителя): они делят числовую ось на несколько интервалов, на каждом из которых произведение знака не меняет. Поэтому достаточно взять на каждом интервале «пробную точку» и узнать знак выражения в этой точке — тот же знак оно будет иметь на всем интервале.

Существуют и другие подходы к введению метода интервалов в арсенал знаний, умений и навыков старшеклассников. Так, например, автор Колмагоров А. Н. рассматривает метод интервалов после введения понятий функция (в том числе после понятия непрерывности функции на интервале), производная (изучение этого материала отнесено ко второй половине 10 класса). Учащимся объясняют, что именно на свойстве непрерывных функций сохранять постоянный знак на заданном промежутке основан метод решения неравенств с одной переменной (метод интервалов). Далее описывается сам метод интервалов: «Пусть функция f непрерывна на интервале (a; b) и обращается в нуль в конечном числе точек этого интервала. По сформулированному свойству непрерывных функций этими точками (a; b) разбивается на интервалы, в каждом из которых непрерывная функция f сохраняет постоянный знак. Чтобы определить этот знак, достаточно вычислить значение функции f в какой-либо одной точке из каждого такого интервала».

В учебниках по алгебре и началу анализа для 10 — 11 классов таких авторских коллективов, как Мордкович А. Г., Алимов Ш. А. нет теоретического материала по методу интервалов, т.к. это отнесено для ознакомления в средней школе.

Анализ системы упражнений, предлагаемой авторами учебников, показал, что напрямую идея метода интервалов (а так же обобщенного метода интервалов) используется лишь при решении рациональных и дробно-рациональных неравенств. Неравенства других же видов (иррациональные, логарифмические и др.) решаются путем составления систем и совокупностей неравенств (включающих различные условия существования функций и т. п.), равносильных исходным неравенствам, а сам метод интервалов применяется лишь для окончательного определения множества решения. Данный способ является, естественно, верным, но не всегда оправданным. В некоторых случаях удобнее изначально использовать метод интервалов (обобщенный). Поэтому для заданий на факультативном курсе «Применение метода интервалов при решении неравенств» были подобраны именно такие примеры и составлена система упражнений по ознакомлению учащихся с данным способом решения (сущность которого будет рассмотрена на одном из предложенных занятий).

§ 2. Структура факультативного курса «Применение метода интервалов при решении неравенств»

Предлагаемый ниже факультативный курс рассчитан для проведения в 11 классе (второго полугодия) по одному занятию в неделю. Весь факультатив состоит из 10 занятий, разбитых на 4 блока, на которых рассматривается применение метода интервалов при решении неравенств следующих видов:

1) рациональные неравенства (занятие № 1) и дробно-рациональные неравенства (занятия № 2−4);

2) иррациональные неравенства (занятия № 5−7);

3) показательные неравенства (занятие № 8) и логарифмические неравенства (занятие № 9);

4) неравенства с параметрами (занятие № 10).

В начале каждого из занятий рассматриваются либо решения простейших неравенств, либо приводятся утверждения о равносильных переходах в неравенствах с целью систематизации знаний учащихся по теме.

В конце каждого из занятий предлагаются задания для самостоятельного выполнения с различным уровнем сложности, а так же задания, отмеченные (*), решения которых не является обязательным. Для того, чтобы проверить качество работы на факультативе и качество уровня подготовки учащихся, после занятий № 4, № 7 предложены задания для домашней самостоятельной работы, после занятия № 10 — итоговая домашняя самостоятельная работа. По результатам самостоятельных работ каждый учащийся может получить рекомендации учителя по дальнейшему изучению данной темы.

Уточним, что подобранная система упражнений подразумевает наличие у учащихся базовых ЗУН по решению уравнений и неравенств рассматриваемых видов, знание свойств линейных, показательных, логарифмических функций.

Так как в организации факультатива и его разработке могут принимать участие сами старшеклассники, то система упражнений может изменяться и дополняться.

§ 3. Содержание факультативного курса «Применение метода интервалов при решении неравенств»

Занятие № 1

1. Преобразование неравенств.

Решением неравенства называется множество значений переменной, при которых данное неравенство становится верным числовым неравенством.

Два неравенства называются равносильными на множествах, если множества их решений совпадают.

Утверждения о равносильности неравенств.

1. .

2., если .

3., если .

4., если .

2. Метод интервалов для рациональных неравенств.

Для решения рациональных неравенств вида

(1)

Или

(2),

где — данные числа, удовлетворяющие условию, применяется метод интервалов, в основе которого лежит следующее свойство двучлена: точка делит числовую ось на две части — справа от точки двучлен положителен, а слева от точки — отрицателен. [26]

Суть метода интервалов состоит в следующем: на числовой оси отмечают числа, которые разбивают ее на промежутки; в промежутке справа от ставят знак +, затем, двигаясь справа налево, при переходе через очередную точку меняют знак, т. е. в промежутке левее ставят знак —, затем знак + и т. д. Тогда множеством решений неравенства (1) будет объединение промежутков, в каждом из которых поставлен знак +, а множеством решений неравенства (2) будет объединение промежутков, в каждом из которых поставлен знак — .

Для решения рациональных неравенств вида

(3)

или

(4),

где — данные числа, удовлетворяющие условию, применяется тот же самый метод интервалов, но с одной лишь оговоркой: если при решении неравенств (1), (2) на числовой оси отмечались «пустые» (незакрашенные) точки в силу строгости неравенств, то в данном случае необходимо изображать «закрашенные» точки, т.к. удовлетворяют неравенствам (3) или (4).

3. Решить неравенства:

1) (x — 2)(x — 3)(x — 12)0 Ответ: .

2) Ответ: .

Р е ш е н и е.

1) (x — 2)(x — 3)(x — 12)0

Отметим на числовой оси точки 2, 3, 12 (пустые), которые разбивают ее на четыре промежутка:. На каждом из этих промежутков левая часть исходного неравенства сохраняет постоянный знак.

_ _ _

2 3 12

На крайнем правом промежутке знак левой части неравенства положителен. При переходе через знак меняется на противоположный, т. е. на промежутке (3;12) знак левой части неравенства отрицателен и т. д. В результате получаем следующий вид кривой знаков

_ _ _

2 3 12

Значит решением неравенства является объединение интервалов и .

Ответ: .

2)

Необходимо привести данное неравенство к виду (4), для чего выражение разложим на линейные множители; выражения и преобразуем к виду,; уравнение действительных корней не имеет, а это значит, что при любых значениях, и данный множитель не влияет на знак неравенства. Таким образом, исходное неравенство равносильно следующему:

.

Разделив на отрицательное число, получим уже равносильное ему неравенство, записанное в стандартном виде (3):

.

Изобразим на числовой оси точки (закрашенные) и проведем кривую знаков.

?? ?? ?

0 1

Решением неравенства является объединение трех интервалов.

Ответ: .

4. Обобщенный метод интервалов для рациональных неравенств.

Иногда рациональные неравенства степеней более высоких, чем два, путем равносильных преобразований приводят к виду

(5)

Или

(6),

где — натуральные числа, — различные действительные числа, такие что .

Такие неравенства могут быть решены с помощью так называемого обобщенного метода интервалов, в основе которого лежит следующее свойство двучлена: точка делит числовую ось на две части, причем:

а) если четное, то выражение справа и слева от точки сохраняет положительный знак, б) если нечетное, то выражение справа от точки положительно, а слева от точки отрицательно.

Суть обобщенного метода интервалов состоит в следующем: на координатной оси отмечают числа, в промежутке справа от ставят знак +, затем, двигаясь справа налево, при переходе через очередную точку, меняют знак, если — нечетное число, и сохраняют знак, если — четное число. После этого множество решений определяется, как в обычном методе интервалов. [26]

Аналогично поступают и при решении нестрогих неравенств рассматриваемого вида:

(7)

или

(8),

где — натуральные числа, — различные действительные числа, такие что. Но, опять же, с тем отличием, что при решении неравенств вида (5), (6) на числовой оси отмечают незакрашенные точки, исключая их из решения, а при решении нестрогих неравенств — точки включаются в общее решение (точки на числовой оси отмечают закрашенными).

5. Решить неравенства:

3) Ответ: .

4) Ответ:.

5) Ответ: .

6) Ответ: [-1;2].

Р е ш е н и е.

3)

Перепишем исходное неравенство в виде (5):

.

Отметим на числовой оси точки 4,5,8 (незакрашенные), которые разбивают ее на четыре промежутка. На крайнем правом из полученных промежутков знак левой части неравенства положителен, т.к. множитель имеет нечетную (первую) степень, то при переходе через точку меняем знак на отрицательный (кривая знаков будет проходить под осью). Множитель имеет четную (вторую) степень, значит, на интервале сохраняем отрицательный знак. При переходе через точку знак левой части неравенства поменяем на противоположный, т.к. множитель имеет нечетную (третью) степень, т. е. кривая знаков на промежутке будет проходить над числовой осью.

_ _ _

4 5 8

Ответ: .

4)

Прежде чем использовать для решения обобщенный метод интервалов, необходимо привести исходное неравенство к виду (7):