Реализация протокола квантовой криптографии с помощью перемещенных состояний света

Рассмотрим протокол квантовой криптографии, основанный на использовании дуальных перемещенных состояний света. Под словом дуальный подразумевается, что два оптических состояния в двух мода распространяются одновременно в двух параллельных линиях связи в квантовом канале. Алиса подготавливает два ансамбля перемещенных состояний с различными амплитудами перемещения.

(6.2.1).

где.

(6.2.2).

(6.2.3).

(and) с дуальными перемещенными состояниями, которые определяются как.

(6.2.4).

(6.2.5).

(6.2.6).

(6.2.7).

где, в общем случае,. Состояния и —- это перемещенные состояния вакуума и единичного фотона (2.2.1) и —- это оператор перемещения (2.2.2). Параметры Алисы, and, and являются секретными и спрятаны от Боба и Евы. Состояния и (перемещенные единичные фотоны с различными амплитуда перемещения) могут нести битовые значения may (или, соответственно). Поэтому данные состояния называются битовыми. В то время как состояния и не несут какой-либо информации Бобу и поэтому называются маскирующими (или ложными). Стоит отметить, что идея маскирующих импульсов напоминает использование decoy импульсов [219].

Данный протокол КК работает следующим образом. Алиса запускает одно из четырех возможных состояний (6.2.4)-(6.2.7) в двужильный оптический канал связи в случайной последовательности. Боб подготавливает свою измерительную систему так, как это показано на Рис. 6.1. Данная измерительная система включает в себя уравновешенный пучковый делитель, который описывается матрицей.

. (6.2.8).

Данный пучковый делитель преобразует входные состояния в следующие выходные.

(6.2.9).

(6.2.10).

(6.2.11).

(6.2.12).

где в формулах (6.2.9−6.2.12) для простоты принято .

Для того чтобы однозначно различать выходные состояния (6.2.9−6.2.12) друг от друга с помощью современных фотодетекторов, работающих по принципу вентеля (присутствие—-отсутствие фотонов), Боб использует метод, показанный на рисунке 6.2. Так пучковый делитель на Рис. 6.2 производит следующие преобразования с выходными состояниями, , соответственно. Если на рисунке 6.1 либо оба фотодетектора и либо оба фотодетектора и регистрируют одновременно приходящие фотоны, тогда Боб точно знает, что он входное состояние, посылаемое к нему, было или, соответственно. Если пары детекторов, и, не регистрируют одновременные клики, то тогда невозможно однозначно различить такие входные состояния. Из формул (6.2.9−6.2.12) и рисунка 6.2 следует, что регистрация трех одновременных кликов детекторами на Рис. 6.1 однозначно идентифицируются Бобом как битовые значения секретного кода (и, соответственно). Все остальные события с менее чем тремя одновременными кликами признаются как не несущие никакой полезной информации и должны быть отброшены. Стоит отметить, что измерительная схема на рисунке идентична той, что была использована в разделе 5.2 (рисунок 5.2) при обсуждении протокола плотного кодирования с перемещенными фотонными состояниями. И данное обстоятельство не вызывает удивления, поскольку идентичные идеи используются при распознавании откликов от перемещенных фотонных состояний. В данном смысле протоколы плотного кодирования и квантовой криптографии с перемещенными состояниями становятся похожими друг на друга, несмотря на то, что в целом это различные протоколы.

Схематическое изображение протокола КК, основанного на использовании дуальных перемещенных состояний. Алиса подготавливает дуальные перемещенные состояния и пересылает их Боб, у которого есть возможность извлечь значение бита секретного кода при условии что ему было послано именно битовое состояние. Иначе Боб получает не убедительный результат и отбрасывает его. Боб открыто объявляет номера тех импульсов, из которых он извлек информацию. Узнав номера данных импульсов, которые разделены временным интервалом, Алиса также получает в свое распоряжение секретный код.

Пример того как различать между собой когерентное состояние (а) и одиночный фотон (б). Когерентное состояние в основном дает два клика, за исключением небольшой вероятности, когда регистрируется только один клик. Чем больше амплитуда используемых перемещенных состояний, тем меньше вероятность такого события.

Предложенная схема детектирования состояний —- это пример так называемых обобщенных POVM измерений [65], примененных к перемещенным фотонным состояниям. Боб не может однозначно определить какое ему было послано перемещенное состояние или перемещенный вакуум или перемещенный единичный фотон. Поэтому время от времени Бобу не удается извлечь информацию из посланного сообщения. Но если ему удается извлечь значение посылаемого ему бита, то он делает это с единичной вероятностью. Стоит отметить некоторые детали данного протокола КК. Перед тем как посылать импульсы света Бобу, Алиса нумерует их. Боб получает данные импульсы и тоже их нумерует. Таким образом устанавливается однозначное соответствие между посылаемыми и принимаемыми импульсами света. В тот момент, когда Боб однозначно извлекает значение бита из присылаемых к нему импульсов света (регистрирует три одновременных клика), между ним и Алисой устанавливается один в один корреляция в значениях битов. Бобу только необходимо объявить номера таких импульсов (но не результат своих измерений), чтобы и Алиса смогла разделить с ним данный секретный код. Автоматически все другие результаты отбрасываются. Это позволяет Алису и Бобу разделить между собой следующую общую информацию.

(6.2.13).

где —- обусловленные вероятности для Боба извлечь битовое значение при условии, что Алиса послала ему состояния и, соответственно, и [6.23]. Хотя данный протокол КК допускает возможность и, даже более того, Алиса может даже менять амплитуды каждого посылаемого дуального импульса, при условии что фазовые соотношения между состояниями в параллельных линиях связи остаются неизменными, данные случаи не рассматриваются в данной главе. Тем не менее, стоит отметить, что такая возможность дает дополнительные степени защиты от самых изощренных атак Евы. Естественно предположить, что Алиса посылает состояния and с равными вероятности, что дает возможность для Алисы и Боба разделить бит взаимной информации как это следует из формулы (6.2.13).

Известно, что методы квантовой криптографии не могут предотвратить прослушивание, но дают возможность обнаружить прослушивание канал связи не легитимным пользователем. Данный факт связан с тем, что прослушивание (измерение) разрушает начальные состояния, используемые Алисой, и тем самым вносит дополнительные ошибки в статистику распределенных значений битов. Поэтому, перед тем как Боб публично объявит номера (но не результаты своих измерений) импульсов, на которых он успешно извлек битовые значения, Алиса и Боб должны пожертвовать частью кода, чтобы оценить выходные статистические распределения. Фактически, есть три параметра, с помощью которых можно судить о возможном присутствии прослушивания в канале связи. Первый такой параметр —- это выходные распределения битовых и безрезультатных значений, которые имеют следующие значения в случае отсутствия прослушивания.

(6.2.14).

(6.2.15).

. (6.2.16).

Отметим, что ни Боб ни Ева не могут знать выходные распределения битовых и безрезультатных значений, так как параметры и выбраны Алисой согласно ее собственной стратегии и спрятаны от других участников данного протокола. Ева может только слышать разговор между Алисой и Бобом через публичный канал связи, но не может подкорректировать выходные распределения битовых и безрезультатных значений, распределенных между Алисой и Бобом.

Другой важный параметр, чье изменение может указать Алисе и Бобу на присутствие Евы на линии связи —- это маскировочное значение. Данный параметр, который является частотой появления битовых значений на выходе, в то время как Алиса послала Бобу маскирующие значения. По определению данные маскирующие состояния не могут давать битовые значения. Данная маскирующая вероятность всегда должна быть равна нулю в отсутствии прослушивания со стороны Евы.

Окончательно, Алиса и Боб могут также публично сравнить битовые значения на выбранном подмножестве кода, которым они не будут пользоваться. Это есть третий параметр, который используется для определения возможного прослушивания со стороны Евы. Для примера, очевидно, что единичный фотон не детектируется в моде, если Алиса посылает Бобу состояние и наоборот. Таким образом, данные параметры могут служить как индикаторы присутствия или отсутствия прослушивания на линии связи. Если значения данных параметров не совпадают с идеальными, тогда Алиса и Боб могут утверждать, что прослушивание на линии связи обнаружено ими и оборвать свое общение. Отметим, что возможно проверить канал связи на возможное его прослушивание, даже не жертвуя частью кода. На самом деле, Боб может назвать номера импульсов, из которых он смог извлечь значения битов. Это даст возможность сразу же Алисе и Бобу оценить выходные распределения и сравнить их с идеальными. После этого они могут принять решение использовать полученный ими код для кодирования или отбросить его.

Сравним данный протокол с протоколом B92 [12]. В разделе 2.2 обсуждалось, что неограниченный набор перемещенных фотонных состояний составляют полный набор базисных состояний. Это означает, что перемещенный единичный фотон с некоторой амплитудой может быть разложен в ряд по перемещенным состояниям с отличной амплитудой (2.2.16).

(6.2.17).

где. Применяя данную формулу к состояниям (6.1.4) и (6.1.6), имеем. Другими словами, рассматривается случай, где используемые состояния или или суперпозиция (6.2.17). Предположим, что в наличии имеются так называемые «оптические ножницы», чтобы «вырезать» все члены суперпозиции (6.2.17), кроме первых двух. Тогда, после применения данной процедуры, имеем два состояния и () в двух-уровневой системе. Такое рассмотрение в двух-уровневой системе соответствует каналу связи, известному как a binary erasure channel с возможными исходами, , и (означает безрезультатный исход) или тоже самое B92 протокол [12]. Таким образом, рассматриваемый протокол КК —- это обобщение известного протокола B-92 protocol на случай не ограниченного набора базисных состояний, реализованного на перемещенных состояниях фотонов. Когерентное состояние обеспечивает безрезультатный исход и оптическая схема на Рис. 6.1 есть POVM с входными перемещенными состояниями (6.2.2) и (6.2.3).

Обсудим возможность сгенерировать на практике состояния (6.2.2) и (6.2.3) на практике. Отчасти подобные вопросы обсуждались в Главе 4, где речь шла о спонтанном параметрическом преобразовании. Типичная возможная идея генерации единичного фотона состоит в следующем. Волна накачки рассеивается в кристалле, что ведет к генерации новых фотонов с меньшей частотой в сигнальной и холостой модах, так называемого бифотона. Если в одной из мод, например в холостой, поставить фотодетектор, то регистрация клика гарантированно извещает экспериментатора о том, что в сигнальной волне существует единичный фотон. Именно такой эксперимент был продемонстрирован в работе [125]. В реальности, как было показано в данной работе, генерируется не единичный фотон, а смешанное состояние единичного фотона и вакуума, где —- эффективность генерации единичного фотона. При этом избежать не желательной генерации второго члена не удается на современном уровне развития технологий. Но оказывается, что данное обстоятельство и необходимо для протокола квантовой криптографии на перемещенных фотонных состояниях. Алисе только необходимо оценить эффективность генерации единичного фотона на ее экспериментальной установке.

Таким образом, не желательное воздействие несовершенства экспериментальных приборов является желательным для данного протокола. После того как статистическая смесь вакуума и единичного фотона сгенерирована, Алисе необходимо только промодулировать (наложить амплитуду перемещения) данное состояние. Для данной цели Алиса использует пучковый делители с произвольными параметрами и, значения которых знает только она, (и —- коэффициенты прозрачности и отражения, соответственно), чтобы смешать ее состояние с когерентным состоянием в вспомогательной моде. Окончательное состояние получается если мы возьмем след по состояниям в вспомогательной моде. Пучковый делитель действует на единичный фотон как поглощающий отражатель, уменьшая эффективность выхода единичного фотона в раз. Также пучковый делитель вызывает перемещение состояния, что позволяет Алисе окончательно генерировать статистическую смесь перемещенных фотонных состояний.

. (6.2.18).

Данное состояние может быть состоянием (6.2.2), при условии что, , и. Но в реальном КК с перемещенными состояниями состояние (6.2.2) формируется посредством добавки еще состояния (6.2.5) с некоторой вероятностью к сгенерированному состоянию (6.2.18). Та же самая процедура применима, чтобы генерировать состояние (6.2.3), если используются другие значения коэффициентов вероятности и амплитуды перемещения. Источник единичных фотонов, экспериментально реализованный в [125] более чем достаточен для реализации данного протокола КК. Стоит отметить, что любой не авторизированный пользователь может попытаться оценить значение эффективности приготовления начального состояния, но едва ли он сможет угадать уменьшающий множитель и амплитуды состояний, которые изначально известны только Алисе (дополнительные секретные параметры).