Протокол плотного кодирования с перемещенными квантовыми кубитами

Плотное кодирование информации. Обзор литературы

В Главе 1 отмечалось, что использование методов квантовой механики позволяет реализовать или улучшить такие протоколы, которые не могут быть выполнены с помощью классических технологий [65]. В Главе 1 было дано краткое описание наиболее известных квантовых протоколов. Рассмотрим более подробно два известных квантовых протокола близких по своей природе, а именно, протокол квантовой телепортации [8] и протокол плотного кодирования [15]. Не случайно, что оба данных протокола были предложены приблизительно в одно и тоже время. Идея протоколов квантовой телепортации и плотного кодирования тесно связана с именем сотрудника IBM Чарльзом Беннетом (C Bennett). В настоящее время считается, что он является одним из самых известных со-авторов первых работ по квантовой информатике и одним из основателей данного научного направления.

В основе данных квантовых протоколов лежит идея квантовых запутанных состояний из двух частиц, каждая из которых рассматривается в двух-мерном Гильбертовом пространстве. Всего существует 4 таких максимально запутанных не зависимых состояний, известных еще как Бэлловские состояния [65].

(5.1.1).

(5.1.2).

(5.1.3).

. (5.1.4).

Бэлловские состояния упоминались в разделе 1.6 (1.6.5−1.6.5), где кратко говорилось о квантовых протоколах с качественной точки зрения. Соответственно, в настоящем разделе используются немного отличные обозначения. В настоящем разделе речь идет о Бэлловских состояниях в общем виде без привязки к какой-либо физической среде. В протоколах квантовой телепортации и плотного кодирования одно из четырех Бэлловских состояний используется в качестве квантового канала связи. Для данной цели две частицы одного и того же максимально запутанного состояния распределяются между получателем и отправителем. Как правило в качестве отправителя выступает Алиса, а получателем является Боб.

Предположим, что Алиса хочет переправить Бобу информацию о своей частице, которая находится в не известном состоянии.

(5.1.5).

где и —- комплексные амплитуды, удовлетворяющие условию. В общем случае Алиса может напрямую переслать свою частицу Бобу, но допустим, что прямая пересылка не возможна. Согласно рисунку 1.4, чистое состояние кубита (5.1.5) определяется двумя параметрами на сфере Блоха. Алиса ничего не знает про свой кубит поэтому не может переслать Бобу соответствующую информацию. Алиса может выполнить измерение своего кубита в компьютерном базисе. Единственное, что она получит в результате измерения либо состояние с вероятностью, либо состояние с вероятностью. Естественно, что она не может выполнить еще одно измерение на своем кубите, чтобы попытаться получить больше информации о своем кубите, так как это противоречит теореме о невозможности клонирования кубитов (no cloning theorem) [35]. Чтобы выполнить свою задачу, Алиса должна обратиться к протоколу квантовой телепортации.

Предположим, что ранее Алиса и Боб смогли установить между собой квантовый канал связи (5.1.2), где частица в моде принадлежит Алисе, в то время как Боб имеет в своем распоряжении частицу в моде. Общее состояние, которое принадлежит одновременно Алису и Бобу, является тензорным произведение двух состояний.

. (5.1.6).

Состояние (5.1.6) является разделенным (не запутанным). Можно показать, что состояние (5.1.6) может быть преобразовано в суперпозицию четырех максимально запутанных состояний (5.1.1−5.1.4).

. (5.1.7).

Преобразованное состояние является также разделенным, что уже не является очевидным фактом. Тем не менее преобразованная форма (5.1.7) позволяет понять суть протокола квантовой телепортации. Из выражения (5.1.7) видно, что Алиса имеет дело в своем распоряжении с максимально запутанными состояниям (5.1.1−5.1.4). Если Алиса способна провести полный набор Белловсикх измерений, то тогда Боб получает в свое распоряжение с одинаковой вероятностью одно из четырех состояний.

(5.1.8).

(5.1.9).

(5.1.10).

. (5.1.11).

Соотношения (5.1.8−5.1.11) означают, что Боб получает в свое распоряжение не одно из четырех чистых состояний, а ансамбль этих состояний, который описывается матрицей плотности.

. (5.1.12).

Раскрывая скобки и приводя подобные члены в (5.1.12), можно показать, что состояние (5.1.12) преобразуется в.

(5.1.13).

где —- единичный оператор. Выражение (5.1.13) означает, что Боб получает в свое распоряжение частицу в состоянии с максимальной неопределенностью, то есть частицу, которая не несет никакую информацию о начальном состоянии (5.1.5).

Для успешной реализации протокола квантовой телепортации Алиса должна снабдить Боба дополнительной информацией, а именно классической информацией в два бита. Рассмотрим как Алиса может получить два бита классической информации при выполнении полного набора Бэлловских измерений. Для реализации Бэлловских измерений Алиса должна иметь в своем распоряжении одно-кубитовое преобразование (преобразование Адамара) и двух-кубитовый controlled-NOT гейт, о котором уже говорилось в разделе 2.1. Два кубита используются в controlled-NOT гейте. Один из кубитов является управляющим или контролирующим (controlled qubit), а другой контролируемым (target gate). Состояние управляющего кубита не меняется. Выходное состояние контролируемого кубита зависит от состояния управляющего кубита. Базисное состояние контролируемого кубита меняется на противоположное при условии, что состояние контролируемого кубита было. Базисное состояние контролируемого кубита не меняется при условии, что состояние контролируемого кубита было .

Последовательное применение controlled-NOT гейта и преобразования Адамара позволяет Алисе получить 4 возможных варианта двух-битовой информации как.

(5.1.14).

(5.1.15).

(5.1.16).

(5.1.17).

где символ используется для обозначения controlled-NOT гейта. После выполнения Белловского измерения на своих двух частицах и получения одного из возможных наборов двух-битовой информации Алиса пересылает свой результат Бобу по разрешенному классическому каналу связи. Боб, получив два бита классической информации, знает какой тип преобразования, он должен применить к своей частицей, чтобы окончательно преобразовать ее в исходное Алисино состояние (5.1.5). В частности, Боб не предпринимает никаких действий в случае получения следующей двух-битовой информации (5.1.14) (общий фазовый сдвиг на не влияет на состояние частицы). Боб должен применить фазовый сдвиг на к своей частице в случае получения двух-битовой информации (5.1.15). Другой случай имеет место в случае, если Алиса отправит Бобу двух-битовую информацию (5.1.16). В данном случае Боб должен воспользоваться унитарным перестановочным преобразованием, которое заменяет исходные базисные состояния на противоположные. И наконец, четвертый возможный случай связан с получением Бобом двух-битовой информации (5.1.17). В данном случае Боб должен применить к своей частице последовательность двух операций: перестановочную и сдвиговую, чтобы восстановить исходное состояние Алисы (5.1.5).

На данном этапе протокол квантовой телепортации успешно завершается. Вероятность успеха телепортировать не известное квантовое состояние (5.1.5) равна. Именно необходимость отправить Бобу два бита классической информации показывает, что скорость передачи состояния по протоколу квантовой телепортации по крайней мере не превышает скорости света. Хотя в протоколе квантовой телепортации имеет место мгновенное изменение состояния, находящегося на значительном расстоянии от измеряемого кубита, в процессе измерения и получения определенного результата измерения (spooky action [2]), сам протокол выполняется с ограниченной скоростью. Отметим только, что параметры кубита и остаются не известными кому-либо как в процессе телепортации, так и после завершения протокола. Алиса не получает никакой информации о телепортируемом кубите в процессе выполнения протокола. В процессе выполнения Белловского измерения Алисина частица (частица в моде) теряет начальную информацию (5.1.5), так как она находится в состоянии запутанности с частицей в моде (5.1.7), которое измеряется. Поэтому состояние (5.1.5) разрушается в распоряжении Алисы. Взамен некоторое состояние (5.1.8−5.1.11) появляется в руках Боба. Поэтому в процессе выполнения протокола квантовой телепортации не происходит нарушения фундаментальной теоремы квантовой механики о невозможности клонирования кубитов (no cloning theorem) [35].

В основу протокола плотного кодирования также положены идеи Белловских состояний и полного набора Белловских измерений. По данной причине протокол квантовой телепортации и плотного кодирования можно назвать «родственными» друг другу. Но на этом сходство данных протоколов заканчивается. Протокол плотного кодирования работает по другому сценарию. В частности, не известное состояние (5.1.5), которое нужно телепортировать, уже не используется. В протоколе плотного кодирования выбирается одно из Белловских состояний (5.1.1−5.1.4) в качестве квантового канала связи. Допустим, что выбрано состояние (5.1.4). Одна частица данного состояния находится в распоряжении Алисы, а другая в руках Боба. Алиса манипулирует своей частицей, чтобы преобразовать исходный квантовый канал (5.1.4) в три других возможных состояния (5.1.1−5.1.3). Действительно, Алиса способна преобразовать состояние (5.1.4) в три других состояния исключительно локальными унитарными преобразованиями. Как и в случае протокола квантовой телепортации фазовый сдвиг на и перестановочное преобразование используются Алисой. Так Алиса может ничего не делать со своей частицей. И тогда состояние двух частиц (5.1.4), распределенных между Алисой и Бобом, останется неизменным. Алиса может применить оператор фазового сдвига на к состоянию (5.1.4), чтобы преобразовать общий квантовый канал в состояние (5.1.3).

(5.1.18).

где —- оператор фазового сдвига на. Алиса может закодировать свою информацию посредством оператора перестановки, что ведет к следующему преобразованию.

(5.1.19).

где —- оператор перестановки. Общий знак в (5.1.19) не влияет на окончательные выводы. Последний случай имеет место в случае последовательного применения Алисой операторов фазового сдвига на и оператора перестановки к частице, находящейся в ее распоряжении,.

. (5.1.20).

Таким образом, Алиса способна преобразовать исходное состояние (5.1.4) в три других состояния (5.1.1−5.1.3) посредством ее локальных унитарных преобразований. После локальных манипуляций со своей частицей Алиса пересылает ее Бобу, который проводит уже полный набор Белловских измерений уже на двух частицах, что отражено формулами (5.1.14−5.1.17). Алиса посылает Бобу всего лишь одну частицу, но Боб уже получает бита информации. В случае отсутствия изначально распределенного квантового канала между Алисой и Бобом одна частица несет с собою только один (не два) бит информации. По этой причине протокол обмена информацией с использованием максимально запутанных состояний и Белловсикх измерений данных состояний назван протоколом плотного кодирования. Одна частица переносит два бита классической информации. Различие между двумя протоколами очевидно. Алиса пересылает Бобу два бита классической информации по классическому (вполне возможно защищенному) каналу связи в протоколе квантовой телепортации. В протоколе плотного кодирования Алиса пересылает Бобу одну частицу, которая может быть испытать не желательное взаимодействие с внешней средой и потерять часть информации. Алиса выполняет полный набор Белловких измерений в протоколе квантовой телепортации. В тоже время в протоколе плотного кодирования Боб (получатель) выполняет Белловское измерение на своей частице и частице, присланной Алисой.

Протоколы квантовой телепортации и плотного кодирования являются фундаментальными и являются неотъемлемой частью квантовой механики. Данные протоколы в принципе не осуществимы на классических объектах, так как в классической физике не существует такого понятия как запутанность (максимально запутанное состояние). Поэтому практическая реализация данных протоколов является важной задачей не только с практической точки зрения, но и с фундаментальной точки зрения для подтверждения корректности использования правил и понятий квантовой механики. К тому же протокол плотного кодирования может представлять интерес для большей передачи данных с наименьшим количеством носителей.

С точки зрения абстрактного рассмотрения кубитов и запутанных состояний без привязки к какой-либо физической системе выполнение протоколов квантовой телепортации и плотного кодирования не вызывает сомнений. Естественно задать вопрос какая физическая система может быть лучше приспособлена для реализации данных протоколов квантовой информации на практике. Отчасти обсуждение данных вопросов представлено в Главе 1. Как уже отмечалось, оптические квантовые протоколы являются перспективными с точки зрения реализации их на практике, так как оптические состояния могут хорошо сопротивляться влиянию декогерентности. Но в работе [202] было показано, что только частичный набор Белловских измерений, которые могли бы различать четыре запутанных фотонных состояния, может быть реализован методами линейной оптики. Авторы работы [202] рассматривали максимально запутанные состояния вида (4.1.4), в которых запутанность происходит между взаимными поляризациями двух фотонов. Было показано, что унитарные операции, связанные с линейными оптическими элементами, могут отличить друг от друга только два состояния. Измерительный результат других двух состояний не отличим друг от друга. Невозможность реализации полного набора Белловских измерений на запутанных фотонных состояниях ведет к уменьшению вероятности успешно осуществить тот или иной квантовый протокол методами линейной оптики.

Так, например, эксперимент показал, что успешная квантовая телепортация не известного поляризационно-фотонного кубита возможна в случаев [9], в то время как в оставшихся случаях (тоже в случаев) начальное состояние просто разрушалось, но квантовая телепортация не известного состояния не происходила в силу невозможности отличить друг от друга результаты измерения. Та же самая причина лежит в основе того, что протокол плотного кодирования позволяет получить бита на один переданный фотон вместо битов на один фотон в теоретическом идеальном случае [203]. Стоит только отметить, что невозможность выполнения полного набора Белловских измерений запутанных фотонных состояний методами линейно оптики является препятствием, которое ведет к уменьшению вероятности успеха различных возможных блоков квантовых компьютеров [204−206]. По данной причине данные квантовые гейты являются вероятностными. Вероятность успеха таких гейтов, как правило, равна. Отметим, что в работе [207] была предложена и экспериментально реализована идея полного Белловского измерения запутанных фотонных состояний с помощью кристаллов с квадратичной нелинейностью. В результате успешной реализации полного набора Белловских измерений удалось телепортировать фотонный кубит с единичной вероятностью успеха. Но в данной работе имеются свои трудности. Другое направление развития протоколов телепортации —- это телепортация когерентного кубита (раздел 1.5) с помощью одного из состояний (1.6.7, 1.6.8), выбранного в качестве квантового канала. В разделе 1.6 сжато говорилось о телепортации квантового кубита [53−55]. Основная трудность в выполнении такого протокола заключается в сложности реализации преобразования Адамара. В идеальном теоретическом рассмотрении кубичная среда может быть использована для осуществления данного элементарного гейта. В настоящее время практическая реализация преобразования Адамара для когерентного кубита в среде с кубичной нелинейностью невозможна из-за влияния эффекта декогерентности на распространяющийся кубит. Главы 2 и 3 были посвящены вопросам реализации преобразования Адамара для изначально Гауссовых состояний света методами линейной оптики без привлечения нелинейного взаимодействия. Квантовая телепортация непрерывных квантовых величин таких как координата и момент частицы сперва была предложена в [208]. Реалистическая модель для выполнения квантовой телепортации квадратурных компонент с помощью двух-модового сжатого вакуума (3.1.52) с ограниченным значением степени сжатия была предложена в [209]. На основе данного теоретического предложения была выполнения телепортация произвольного когерентного состояния с точностью [5.9]. Протокол плотного кодирования позволяет увеличить емкость коммуникационного канала [211]. Протокол плотного кодирования с непрерывными величинами (квадратурными компонентами) была рассмотрена в [212, 213].

В настоящей главе рассматривается протокол плотного кодирования, основанный на использовании перемещенных фотонных состояний. Дополнительная степень свободы, а именно амплитуда перемещенных состояний, позволяет реализовать протокол плотного кодирования в новой интерпретации отличной от первоначального предложения [15]. Стоит отметить, что данная интерпретация протокола плотного кодирования основана именно на физических свойствах оптических состояний. Как и в известном протоколе плотного кодирования используется квантовый канал связи между Алисой и Бобом. Суперпозиция вакуума и единичного фотона в двух модах, каждая из которых сдвинута на отличную друг от друга величину, принимается за квантовый канал, распределенный между Алисой и Бобом. Данный канал представлял бы из себя единичный фотон, который занимает одновременно две моды, в случае нулевых значений амплитуды перемещения. Такой единичный фотон, занимающий одновременно две моды.

(5.1.21).

представляет пример запутанности, создаваемой одним фотоном (одно-фотонная запутанность). Если на состояние (5.1.21) дополнительно накладываются отличные амплитуды перемещения, то можно говорить, что запутанность создается именно между базисными элементами (вакуум и единичный фотон) из различных наборов фотонных состояний (2.2.5, 2.2.6) с отличными амплитудами перемещения. Это напоминает состояние (3.4.5), в котором запутанность создается между поляризациями двух фотонов. Алиса модулирует только фазовые соотношения на своем перемещенном кубите. Алиса также пересылает свою частицу Бобу, который декодирует ее с помощью частицы, находящейся в его распоряжении. Но Алисина частица представляет из себя перемещенное состояние, а именно, или когерентное состояние (1.4.1) или перемещенный единичный фотон (2.2.24, 2.2.28, 2.2.29). Боб способен раскодировать все 5 сообщений с использованием только оптических линейных элементов. В рассматриваемом протоколе носитель информации —- это не элементарная частица (фотон), а перемещенная частица, которая включает в себя многофотонные состояния как и в случае передачи информации по классическому каналу связи. В «классическом» протоколе плотного кодирования [15] одна частица (предполагается, что это фотон [203]) переносит два бита информации. В рассматриваемом протоколе носителем информации является «частица», которая представляет собой суперпозицию фотонных состояний чья энергия (раздел 2.2) больше энергии единичного фотона. Данная глава базируется на двух работах [214, 215]. В работе [214] данный протокол был изначально рассмотрен. Скорость передачи информации в терминах количество битов на один пересылаемый фотон была рассчитана. В работе [215] была предложена усовершенствованная версия протокола плотного кодирования с перемещенными состояниями. Соответствующий анализ приведен в терминах передачи информации на одну перемещенную «частицу».