Расчет доверительного интервала для математического ожидания

На ста самолетах замерено давление в баллоне воздушной системы (в ат.):

Содержание работы

Найти оценки математического ожидания и дисперсии случайной величины Х Найти доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии соответствующие заданной доверительной вероятности (1-)=0,85.

Оценить вероятность попадания случайной величины Х в заданный интервал 0,8×1,1x.

Для этой вероятности найти доверительный интервал, соответствующий заданной доверительной вероятности (1-)=0,8.

Построить гистограмму и эмпирическую функцию распределения случайной величины Х Найти и построить доверительные области для плотности распределения f (x) и функции распределения F (X), соответствующие заданной доверительной вероятности (1-)=0,85 для f (x) и (1-)=0,9 для F (X).

Сгладить гистограмму и эмпирическую функцию распределения подходящим законом распределения Используя критерии согласия ч² и Колмогорова проверить правдоподобие гипотезы о совпадении выбранного распределения с истинным законом при заданном уровне значимости р=0,01.

Решение

Находим точечные оценки математического ожидания и дисперсии, учитывая, что n=100.

Выборочное среднее:

Рассчитываем доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии, предварительно задав доверительную вероятность (1-б)=0,85. Тогда по формуле:

По таблице Лапласа находим е_б=1,44.

Доверительный интервал для математического ожидания:

Mx1 = 1002.22- 1,44 М.

Mx₂=1002.22+1,44 М.

Доверительный интервал для дисперсии:

Dx₁ = = 9042.94 Dx₂=.

= 13 651.05.

следовательно, искомые доверительные интервалы будут иметь вид:

• 987.1597 MX 1017.280 316 9042.938 DX 13 651.04565
• 3. Находим точечную оценку вероятности попадания случайной величины Х в интервал. Т.к. в этот интервал попало m=82 экспериментальных значения, то искомая оценка будет равна:

4. Рассчитываем доверительный интервал для вероятности Р (х), оцененной в предыдущем пункте.

Пусть в этом случае доверительная вероятность равна (1-б)=0,8. Тогда е_б=1,28, а искомый интервал имеет вид.

• 5. Построим гистограмму и эмпирическую функцию распределения случайной величины Х
• 1) Для построения гистограммы Г (х) заключаем все экспериментальные данные в интервал (711;1352) и разбиваем его на 10 равных разрядов, каждый из которых длинной 64.1.

Значение гистограммы Г (x) находим по формуле :

.

где — число экспериментальных точек, попавших в этот разряд ;

— его длина.

величина интервала:

количество разрядов: k = 10.

величина разряда:

Затем рассчитываем следующую таблицу:

Значение гистограммы Г (х).

	нижняя граница.	верхняя граница.
			ni
		775,1.		0.01.	0.156.
	775.1.	839.2.		0.04.	0.624.
	839.2.	903.3.		0.11.	0.1 716.
	903.3.	967.4.		0.21.	0.3 276.
	967.4.	1031.5.		0.24.	0.3 744.
	1031.5.	1095.6.		0.21.	0.3 276.
	1095.6.	1159.7.		0.13.	0.2 028.
	1159.7.	1223.8.		0.03.	0.468.
	1223.8.	1287.9.
	1287.9.			0.02.	0.312.

График гистограммы представлен на рис.1:

2) Построение эмпирической функции распределения случайной величины.

Соответствующую эмпирическую функцию рассчитываем по формуле:

.

где — число экспериментальных точек, лежащих левее Х.

Таблица значений F (x):

График эмпирической функции распределения случайной величины представлен на рис. 2:

• 6. Находим доверительные области для распределения f (х) и функции распределения F (х)
• 1) Построение доверительной области для плотности распределения f (x) соответствующей заданной доверительной вероятности (1-)=0,85
• — для каждого разряда находим частоту попадания случайной величины Х

где n_i — число экспериментальных точек, попавших в i-ый разряд Это было определено в (5) пункте.

• — находим доверительную вероятность (1-б₁) для построения доверительной области на каждом разряде:
  • (1-б₁) = 1 — б/r, r = 12 — число разрядов, включая полубесконечные.
  • (1- б)=0,85 б=0,15
  • (1-б₁) = 1 — б/r=1−0,15/12=0,9875
• — находим величину е_б из условия: 2Ц (е_б) = 1 — б₁, Ц (е_б) — функция Лапласа

Ц (е_б) = (1 — б₁)/2 = 0,9875/2=0.49 375.

дисперсия доверительный интервал ожидание По таблице для функции Лапласа находим е_б = 2,5.

— для каждого разряда гистограммы находим доверительную область для вероятности попадания случайной величины в этот разряд по формулам в (4) пункте.

— для каждого разряда гистограммы находим доверительную область для плотности распределения: и (для полубесконечных разрядов считаем, что они лежат в доверительной области).

Рассчитываем и строим следующую таблицу.

Гистограмма с доверительной областью изображена на рис. 3:

• 2) Построение доверительной области для функции распределения F (x):
  • — (1 — б) = 0,90 по таблице Колмогорова = 1,23

— максимальное расхождение D истинной функции распределения и эмпирической функции: D =.

— искомая область выражается следующим образом:

F (x).

Функция распределения является вероятностью, следовательно, доверительная область для нее не может распространяться ниже нуля и выше единицы.

рассчитываем доверительную область для функции распределения F (х).

Таблица доверительных границ для F (x):

График эмпирической функции распределения F (x) с доверительной областью представлен на рис.4:

7. Сглаживание гистограммы и эмпирической функции распределения подходящим законом распределения Из формы гистограммы следует, что гипотетическим распределением может быть нормальное распределение с функцией:

где Ф (u) — функция Лапласа.

и с плотностью:

где — исправленная дисперсия.

1) Определим F_г(Х) для каждого Х, полученные результаты занесем в таблицу:

i.
	678.95.	— 3.90 962 988.	— 0.49 903.	0.97.
	743.05.	— 2.47 806 749.	— 0.49 344.	0.656.
	807.15.	— 1.865 171 993.	— 0.4686.	0.0314.
	871.25.	— 1.252 276 495.	— 0.3944.	0.1056.
	935.35.	— 0.639 380 997.	— 0.2389.	0.2611.
	999.45.	— 0.264 855.	— 0.012.	0.488.
	1063.55.	0.586 409 998.	0.2224.	0.7224.
	1127.65.	1.199 305 496.	0.3849.	0.8849.
	1191.75.	1.812 200 993.	0.4649.	0.9649.
	1255.85.	2.425 096 491.	0.49 245.	0.99 245.
	1319.95.	3.37 991 989.	0.49 865.	0.99 865.
	1384.05.	3.650 887 486.	0.49 989.	0.99 989.

Эмпирическая F (X) и гипотетическая F_г(Х) функции распределения представлены на рис.5:

2) Определим fг (x) для каждого Х, полученные результаты занесем в таблицу:

i.
	678.95.	0.3 213.
	743.05.	0.177 046.	0.156.
	807.15.	0.670 073.	0.624.
	871.25.	0.1 741 883.	0.1 716.
	935.35.	0.3 110 119.	0.3 276.
	999.45.	0.3 814 137.	0.3 744.
	1063.55.	0.3 212 748.	0.3 276.
	1127.65.	0.1 858 739.	0.2 028.
	1191.75.	0.73 862.	0.468.
	1255.85.	0.201 598.
	1319.95.	0.3 779.	0.312.
	1384.05.	0.487.

График для плотности распределения представлен на рисунке 6:

• 8. Используя критерии согласия ч2 и Колмогорова проверим правдоподобие гипотезы о совпадении выбранного распределения с истинным законом при заданном уровне значимости р=0,01
• 1) Для проверки гипотезы H₀:F (x)=F_Г (х) выбираем например уровень значимости б=0,01 и используем вначале критерий согласия ч². Его экспериментальное значение, согласно формуле:

i.
		646.9.		— 2.78 452.	— 0.49 723.	— 3.39 741.	— 0.49 966.	0.243.	0.243.
	0.01.		775.1.	— 2.17 162.	— 0.485.	— 2.78 452.	— 0.49 723.	0.1 223.	0.407.
	0.04.	775.1.	839.2.	— 1.55 872.	— 0.4406.	— 2.17 162.	— 0.485.	0.0444.	0.436.
	0.11.	839.2.	903.3.	— 0.94 583.	— 0.3264.	— 1.55 872.	— 0.4406.	0.1142.	0.154.
	0.21.	903.3.	967.4.	— 0.33 293.	— 0.1293.	— 0.94 583.	— 0.3264.	0.1971.	0.844.
	0.24.	967.4.	1031.5.	0.279 962.	0.1103.	— 0.33 293.	— 0.1293.	0.2396.	6.68 E-07.
	0.21.	1031.5.	1095.6.	0.892 858.	0.3133.	0.279 962.	0.1103.	0.203.	0.241.
	0.13.	1095.6.	1159.7.	1.505 753.	0.4345.	0.892 858.	0.3133.	0.1212.	0.639.
	0.03.	1159.7.	1223.8.	2.118 649.	0.483.	1.505 753.	0.4345.	0.0485.	0.7 057.
		1223.8.	1287.9.	2.731 544.	0.49 683.	2.118 649.	0.483.	0.1 383.	0.1 383.
	0.02.	1287.9.		3.34 444.	0.49 952.	2.731 544.	0.49 683.	0.269.	0.111 389.
			1416.1.	3.957 335.	0.5.	3.34 444.	0.49 952.	0.48.	0.48.

ч²_э= 1.654 896.

А его гипотетическое значение при выбранном уровне значимости б=0,01 и числе степеней свободы s=12−1-2=9 согласно условию равно ч²_б=21,666. Таким образом, и, следовательно, гипотеза Н₀ по критерию согласия ч² является правдоподобной.

2) Теперь проверим ту же самую гипотезу с помощью критерия согласия Колмогорова. Максимальное различие между гипотетической и эмпирической функциями распределения в этом случае равно (см. рис. 5).

откуда получаем экспериментальное значение критерия Колмогорова:

Гипотетическое значение того же самого критерия при уровне значимости б=0,01 (см. табл. Колмогорова) равно л_б=1,63. Таким образом и, следовательно, гипотеза Н₀ является правдоподобной также и по критерию Колмогорова.