Метод контурных токов

Метод контурных токов базируется на уравнениях второго закона Кирхгофа для независимых контуров, где — общее число ветвей цепи. Для выбранных независимых контуров вводятся обозначения и задаются положительные направления комплексных амплитуд кольцевых контурных токов , — номер контура (используется двойная индексация, чтобы не путать контурные токи с токами ветвей).

Через контурные токи выражаются токи всех ветвей цепи и по закону Ома определяются напряжения ветвей, а затем записываются уравнения второго закона Кирхгофа для контуров, не содержащих идеальные источники тока. Для контуров с идеальными источниками тока записываются уравнения связи контурных токов и тока источника.

Система содержит уравнений для комплексных амплитуд контурных токов. По найденным контурным токам определяются искомые токи или напряжения ветвей.

Проведем расчет цепи, схема которой показана на рис. 2.2 при указанных для нее исходных данных. Схема цепи с обозначенными контурными токами приведена на рис. 2.8.

Рис. 2.8.

В цепи узла и ветвей, тогда по методу контурных токов необходимо составить уравнения.

Выразим напряжения ветвей через контурные токи. Для тока можно записать и тогда по закону Ома получим. Ток определяется токами (он совпадает по направлению с током) и (он протекает в противоположном направлении), в результате получим и по закону Ома. Аналогично можно записать, и .

По второму закону Кирхгофа необходимо записать три уравнения:

Подставляя выражения для напряжений ветвей, получим систему уравнений метода контурных токов в виде.

Из последнего уравнения выразим ток :

.

и подставим его в два первых уравнения. В результате после группирования получим систему из двух уравнений вида.

Из второго уравнения после преобразования получим.

.

тогда из первого уравнения найдем ток :

.

Проведя алгебраические преобразования, получим выражение для контурного тока :

.

и далее для остальных контурных токов:

.

.

и далее определяем токи ветвей. Нетрудно убедиться, что результаты совпадают с ранее полученными выражениями.