Расчёт плоской рамы на устойчивость

Контрольная работа

" Расчёт плоской рамы на устойчивость"

Задача 10

Расчёт плоской рамы на устойчивость

Задание

Рис.

Исходные данные:

?=F₁/F₂, l₁ = 12 м, l₂ = 12 м, h₁ = 12 м, I₁: I₂ = 1,0

Для данной рамы требуется:

Определить значение критических сил, используя метод перемещений.

Решение

1. Степень кинематической неопределимости системы

За основные неизвестные в расчёте по методу перемещений принимаются независимые угловые и линейные перемещения расчётных узлов. Число основных неизвестных называется степенью кинематической неопределимости системы и вычисляется по формуле

канонических уравнений плоский рама

n_k = n_? + n_?, где

n_? — степень угловой подвижности узлов — число неизвестных углов поворота жёстких внутренних (неопорных) узлов, равное числу таких узлов плоской системы;

n_? — степень линейной подвижности узлов — число независимых неизвестных линейных перемещений всех узлов системы, включая опорные.

Для определения n_? можно использовать вспомогательную шарнирную систему, получаемую из заданной рамы введением цилиндрических шарниров во все жёсткие узлы — внутренние и опорные.

В рассматриваемой раме расчётным является узел B. Узел — жёсткий, поэтому n_? = 1. Она имеет одну степень свободы — для превращения её в геометрически неизменяемую требуется наложить на один из расчётных узлов одну линейную связь. Следовательно,

n_? = n_л.с.= 1, и рама дважды кинематически неопределима (n_k = n_? + n_? = 1+ 1 = 2). За основные неизвестные принимаются угол поворота жёсткого узла B (обозначаем их Z₁) и горизонтальное линейное перемещение Z₂ узла C.

Рис.

Формирование основной системы

Основную систему получаем наложением на жёсткий узел B угловой связи (подвижное защемление), а также — горизонтальной (по направлению основного неизвестного Z₂) линейной связи под номером 2.

ОСМП

Рис

Для основных неизвестных приняты следующие правила знаков:

— положительный угол поворота Z₁ — по ходу часовой стрелки;

— положительное линейное перемещение Z₂ — вправо.

Канонические уравнения

Канонические уравнения метода перемещений (КУМП), получаем систему уравнений для определения Z₁, Z₂ в каноническом виде:

Свободные члены уравнений при расчёте на устойчивость равны нулю, тк нагрузки условные, а дополнительные связи накладываются на уравновешенную систему.

Для определения коэффициентов r_jk при неизвестных z_k необходимо знать погонные жёсткости i_j = EI_j / l_j и коэффициенты продольных сил сжатых элементов

Погонные жёсткости стержней рамы:

Коэффициенты продольных сил сжатых элементов при

Построение эпюр изгибающих моментов в основной системе. Эпюры в единичных состояниях ОСМП

Задаём равное единице смещение первой (k = 1) введённой связи — угол поворота Z₁ = 1 — и представляем вызванное им деформированное состояние основной системы. При этом деформируются элементы АВ, ВС, СД, примыкающие к узлу С, их концевые сечения поворачиваются на один и тот же угол (условие совместности перемещений / деформаций). Стойка АВ испытывает изгиб со смещением от действия силы F₁ (продольно-поперечный изгиб). Поэтому эпюра носит нелинейный характер.

Коэффициенты канонических уравнений — реакции r₁₁ введённых связей в первом единичном состоянии, находим из условия равновесия узла В.

Для определения r

Коэффициенты канонических уравнений во втором (от Z₂ = 1) единичном состоянии основной системы.

Для определения r

Рис.

Решение системы канонических уравнений метода перемещений

Если оба неизвестных отличны от нуля и определитель равен нулю.

Это решение характеризует потерю устойчивости исходной формы равновесия системы и возникновение качественно новой формы равновесияс изгибом стержней. Именно это состояние и представляет практический интерес. Раскрыв определитель получаем уравнение устойчивости:

В данной задаче уравнение имеет вид

Решаем уравнение устойчивости

при

при

При изменении знака функция переходит через ноль. Значит корень уравнения D (?₁) = 0 расположен в интервале от 1 до 2.

при

При помощи линейной интерполяции определяем значение ?₁

Вычисляем критические значения продольных сил в стойках и соответствующие критические силы P_1кр и P_2кр :

Определяем приведённые длины стоек

?_j — коэффициент приведения длины;

Приведённые длины используют при выполнении практических расчётов.