Распределение вероятностей экономических факторов

Задача1.

Предприятие состоит из трех независимо работающих подразделений. Предполагается, что вероятность их рентабельной работы в течение времени t соответственно равна 0,6; 0,7 и 0,8. Найти вероятность того, что в течение времени t рентабельными будут: а) все подразделения, б) два подразделения.

Решение.

Пусть событие Аi — «iое подразделение рентабельно в течении времени t».

Тогда.

а) Найдем вероятность того, что в течении времени t будут рентабельны все подразделения (событие А).

б) Найдем вероятность того, что в течении времени t будут рентабельны два подразделения (событие В).

Так как все три события являются независимыми, то искомая вероятность равна Ответ: а) 0,336, б) 0,452.

Задача 2.

Задана плотность распределения вероятностей f (x) непрерывной случайной величины Х. Требуется:

1) определить коэффициент А.

2) найти функцию распределения F (x).

3) схематично построить графики F (x) и f (x).

4) найти математическое ожидание и дисперсию Х.

5) найти вероятность того, что Х примет значение из интервала (2, 3).

Решение.

1) Определим коэффициент, А из условия:

т е. .

Плотность распределения примет вид.

2) Найдем функцию распределения :

1) если, то ;

2) если, то ;

3) если, то.

Следовательно.

4) Построим графики функций F (x) и f (x).

4) Вычислим ,.

Дисперсию вычислим по формуле.

D (X) = M (X 2) — M 2(X), где.

5) Найдем вероятность того, что Х примет значение из интервала (2;3).

Ответ: 1) 2) 4).

5).

Задача 3.

Заданы математическое ожидание, а = 3 и среднеквадратическое отклонение? = 2 нормально распределенной случайной величины. Требуется.

1) написать плотность распределения вероятностей f (x) и схематично построить ее график;

2) найти вероятность того, что Х примет значение из интервала (2; 8).

Решение.

1) Непрерывная случайная величина Х имеет нормальный закон распределения с параметрами, а и ?, если ее плотность вероятности имеет вид Построим график f (x).

2) Вероятность того, что Х примет значение из интервала (2;8) найдем по формуле Ответ: ,.

Задача 4.

Производится некоторый опыт, в котором случайное событие, А может появиться с вероятностью р. Опыт повторяют в неизменных условиях n раз.

n = 900; p = 0,5. Определить вероятность того, что в 900 опытах событие, А произойдёт в большинстве опытов.

Решение.

Необходимо найти вероятность того, что событие произойдёт не менее, чем в 451 опыте из 900. Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:

где.

.

Подставляя в формулу данные задачи, получаем:

Ответ: 0,4721.

Задача 5.

В результате 10 независимых измерений некоторой случайной величины Х, выполненных с одинаковой точностью, получены опытные данные, приведенные в таблице. Предполагая, что результаты измерений подчинены нормальному закону распределения вероятностей, оценить истинное значение Х при помощи доверительного интервала, покрывающего истинное значение величины Х с доверительной вероятностью 0,95.

Решение.

Поскольку в задаче имеется выборка малого объема, применим распределение Стьюдента.

Необходимо построить доверительный интервал для оценки математического ожидания, а при неизвестном значении среднеквадратического отклонения из нормально распределенной генеральной совокупности.

Требуется отыскать такое число, для которого верно равенство В этой формуле.

— выборочное среднее.

S — стандартное (среднеквадратическое) отклонение.

a — математическое ожидание.

n — объем выборки (нашем случае 10).

— величина, в сумме с доверительной вероятностью дающая 1 (в данном случае 0,05).

Величину (в нашем случае) находим по таблицам распределения Стьюдента. Она равна 2,262.

Находим выборочное среднее как среднее арифметическое.

Рассчитаем среднеквадратическое отклонение через исправленную выборочную дисперсию:

Тогда.

Получаем:

вероятность распределение среднеквадратический отклонение Истинное значение случайной величины лежит в доверительном интервале (5,79; 6,87) с доверительной вероятностью 0,95.

Ответ: (5,79; 6,87).

Задача 6.

Отдел технического контроля проверил n = 1000 партий однотипных изделий и установил, что число Х нестандартных деталей в одной партии имеет эмпирическое распределение, приведенное в таблице, в одной строке которой указано количество xi нестандартных изделий в одной партии, а в другой строке — количество ni партий, содержащих xi нестандартных изделий.

Требуется при уровне значимости? = 0,05 проверить гипотезу о том, что случайная величина Х (число нестандартных изделий в одной партии) распределена по закону Пуассона.

Решение.

Находим выборочную среднюю.

В качестве оценки параметра? распределения Пуассона выберем полученное значение выборочного среднего? = 0,9 .

Расчет теоретических частот ведем по формуле.

Расчетная таблица значений:

Получили:

Число степеней свободы k = s — r — 1, т.к. проверяется гипотеза о распределении Пуассона (т.е. проверяется один параметр), то r = 1, k = s — 2 = 4 (s = 6).

По таблице получаем:

Та как, то гипотеза о том, что случайная величина распределена по закону Пуассона может быть принята.

Ответ: гипотеза может быть принята.