Оптимальное поэтапное распределение средств между предприятиями в течении планового периода

Руководство фирмы, имеющей договор о сотрудничестве с тремя малыми предприятия, на плановый годовой период выделила для них оборотные средства в объеме 100 000 у.е. Для каждого предприятия известны функции поквартального дохода и поквартального остатка оборотных средств gi (x) в зависимости от выделенной на квартал суммы x. В начале квартала средства распределяются полностью между тремя предприятиями.

(из этих вложенных средств и вычисляется доход), а по окончанию квартала остатки средств аккyмулируются у руководства фирмы и снова распределяются полностью между предприятиями.

f1(x) = 2x, f2(x) = 3x, f3(x) = 5x, g1(x) = 0,8x, g2(x) = 0,7x, g3(x) = 0,1x .

Составить план поквартального распределения средств на год (4 квартала), позволяющего достичь максимальный общий доход за год.

Решение:

Шаг 1 (последний этап).

Т.к. по окончанию последнего этапа нас не интересуют оставшиеся средства, то оптимальное распределение здесь: все средства s выделить III предприятию, гарантирующему максимальный доход. Тогда управление на последнем этапе u=(0,0,s), а функция Беллмана этапа: B1*(s) = 5s.

Шаг 2 (предпоследний этап).

Рассматриваем чистые стратегии.

— I вариант: u (s, 0,0) (100 — I предприятию, и остаток 0,8s = 80 — третьему, как оптимальному на последнем этапе).

B2(s) = 2s + B1*(0.8s) = 2s + 5*0.8s = 6s.

— II вариант: u (0,s, 0).

B2(s) = 3s + B1*(0.7s) = 3s + 5*0.7s = 6.5s.

— III вариант: u (0,0,s).

B2(s) = 5s + B1*(0.1s) = 5s + 5*0.1s = 5.5s.

Оптимален II вариант (В2*(s) = 6.5s.

Шаг 3 (второй этап планирования).

Рассматриваем чистые стратегии.

— I вариант: u (s, 0,0).

B3(s) = 2s + B2*(0.8s) = 2s + 6,5*0,8s = 7.2s.

— II вариант: u (0,s, 0).

B3(s) = 3s + B2*(0.7s) = 3s + 6,5*0,7s = 7.55s.

— III вариант: u (0,0,s).

B3(s) = 5s + B2*(0.1s) = 5s + 6,5*0,1s = 5,65s.

Оптимален II вариант B3*(s) = 7.55s).

Шаг 4 (первый этап планирования).

Рассматриваем чистые стратегии.

— I вариант: u (s, 0,0).

B4(s) = 2s + B3*(0.8s) = (2 + 7,55*0,8)s = 8,04s.

— II вариант: u (0,s, 0).

B4(s) = 3s + B3*(0.7s) = (3 + 7,55*0,7)s = 8,285s.

— III вариант: u (0,0,s).

B4(s) = 5s + B3*(0.1s) = (5 + 7,55*0,1)s = 5,755s.

Оптимален II вариант B4*(s) = 8,285s.

На основе полученных вариантов принятия решений на каждом шаге восстанавливаем поквартальное планирование распределения средств между предприятиями.