Стробоскопический метод осреднения быстрых вращений

Далее рассмотрим стробоскопический метод^[1][2] для получения решения возмущенной системы.

Соответствующее невозмущенное уравнение имеет вид.

Предположим, что траектории невозмущенного уравнения периодичны с периодом Г (т|₀). Это существенное предположение, ограничивающее класс решаемых задач.

В теории ОДУ доказывается теорема о непрерывной зависимости решений от правых частей, т. е.

Этот факт далее будет использоваться для построения приближенного решения возмущенного уравнения.

Очевидно, что через период Т (г₀) траектория невозмущенного уравнения возвратится в ту же самую точку г]₀, возмущенного — попадет в некоторую точку причем.

Функция Р (ло) находится при помощи описанной выше теории малых возмущений, в частности она является первым членом ряда Пуассона Uj (см. формулу (4.14)). Разумеется, использовать асимптотическое разложение целесообразно лишь на небольших интервалах времени t ~ 0(Т (г|₀)). Далее, если принять за начальное условие то траектория невозмущенного уравнения вернется в точку ц_1? возмущенного — перейдет в точку.

Продолжая наши рассуждения, получим цепочку соотношений

Если соединить точки Г)?, то получится некоторая плавная кривая, вид которой во многих задачах с большим количеством осцилляций часто оказывается практически более необходим, чем полное решение и (?, ц₀).

Однако эти же точки можно получить, численно решая (методом Эйлера) обыкновенное дифференциальное уравнение или систему ОДУ.

Это уравнение имеет первый порядок точности, но е.

Численная схема будет иметь вид.

где е будет играть роль шага интегрирования. Следовательно, кривая ц (т) вычисляется путем численного интегрирования уравнения (4.53), называемого уравнением в медленном времени. Связь между медленным и физическим временем устанавливается из соотношений.

которые можно рассматривать как численные схемы для приближенного решения дифференциального уравнения.

В простейшем случае Т = const решение этого уравнения имеет вид т = et. В соответствии с теорией малых возмущений решение возмущенной задачи может быть представлено в виде ряда Пуассона:

Используя второй член разложения ряда, получим уточненное уравнение в медленном времени:

Разложим в ряд Тейлора функцию С,_к+1 в окрестности х_к: где учтено.

Приравнивая члены при е² в выражениях для Г| и получим.

Соответственно, уточненное уравнение в медленном времени будет иметь вид.

В отличие от уравнения (4.53) данное уравнение выполняется с точностью до 0(е²).

Заметим также, что термин «осреднение быстрых вращений» связан с процедурой вычисления функции Р, по формуле Пуанкаре:

которая, в свою очередь, связана с видом решения рассмотренного ранее уравнения в вариациях.

Рассмотрим применение стробоскопического метода на конкретном примере.

С помощью этого метода можно, например, получить уравнение в медленном времени для уже известной системы Ван-дер-Поля (здесь по-прежнему предполагается, что е — малый параметр):

Решение ищем в виде.

полагая ц = Г)(т), где т = et — медленное время.

Процедура осреднения на интервале 0 < t < 2л функции (1 — r|²cos²/)psim приводит к уравнению в медленном времени:

Заметим, что медленные переменные (например, л (О к последнем примере) существуют всегда, если мы предполагаем существование известного решения невозмущенного уравнения. Что касается пределов численного интегрирования задач с малым параметром по времени методами Рунге — Кутты, то они оцениваются с помощью теоремы об устойчивости этих методов, обсуждаемых в следующей главе.

• [1] О методах осреднения подробнее см. работы: Боголюбов Н. //., Митропольский Ю. Л. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974; Митропольский Ю. А. Метод усреднения в нелинейной механике. Киев: Наукова думка, 1971.
• [2] Стробоскопический метод был предложен в работе: Федоренко Р. П. Вывод и обоснование уравнений в медленном времени. Стробоскопический метод // Журнал вычислительнойматематики и математической физики. 1974. Т. 14. № 5. С. 1171 1211.