Тепловое излучение. 
квантовые свойства света

Поток энергии, испускаемый единицей площади поверхности нагретого тела по всем направлениям в пределах телесного угла 2р (энергетическая светимость тела R_m), равен.

.

где — испускательная способность тела, — циклическая частота.

Закон Стефана-Больцмана:

.

где Вт/м²К^4 — постоянная Стефана — Больцмана; T — температура.

Закон Кирхгофа: отношение испускательной способности тела к его поглощательной способности есть универсальная функция частоты и температуры f (щ, T).

Испускательная способность абсолютно черного тела, описывается формулой Планка:

где — постоянная Планка; с — скорость света; k — постоянная Больцмана. При переходе от частоты к длине волны эта функция приобретает вид:

Испускательная способность абсолютно черного тела связана с равновесной плотностью энергии теплового излучения u (щ, T) соотношением.

Закон Вина.

где — некоторая функция отношения частоты к температуре.

Для функции закон Вина имеет вид.

где некоторая функция произведения (л; T).

Закон смещения Вина:

где — длина волны, на которую приходится максимум функции; b=2,898 (м· К) — постоянная Вина.

Формула Рэлея-Джинса.

Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта.

где — частота света, — работа выхода электронов с поверхности жидкости или твердого тела, — кинетическая энергия вылетающих электронов.

Изменение длины волны рентгеновского излучения при рассеянии на свободном электроне (эффект Комптона).

свет волновой квантовый тепловое излучение.

где — длина волны рентгеновского излучения после рассеяния; - длина волны падающего излучения; - масса покоя электрона; - угол, под которым рассеивается излучение; - комптоновская длина волны.

Энергия фотона Масса фотона.

Импульс фотона.

Задача 1. Определить энергетическую светимость абсолютно черного тела в интервале длин волн =1 нм, соответствующую максимуму его испускательной способности при T=1000 К

Решение. Из закона смещения Вина определим длину волны излучения абсолютно черного тела, на которую приходится максимум излучения.

м

Интервал длин волн много меньше длины волны, поэтому энергетическую светимость можно определить как произведение испускательной способности на.

Задача 2. На металлическую пластину падает свет с длиной волны л=420 нм. Фототок прекращается при запирающем потенциале U=0,95 В. Определить скорость выбиваемых электронов и работу выхода.

Решение. Скорость электронов найдем, воспользовавшись законом сохранения энергии mV²/2=eU, где е — заряд электрона. Скорость электрона:

Работа выхода фотоэлектронов равна.

Задача 3. В опыте Комптона угол рассеивания рентгеновских фотонов равен ц=90. Энергия рассеянных фотонов Е=0,4 МэВ. Какова энергия фотонов до рассеивания? Какова энергия, импульс и скорость электронов отдачи?

Решение. Изменение длины волны в результате рассеяния на свободном электроне определяется с помощью формулы Комптона:

Длины волн выразим через энергии Е₁ и Е₀ соответствующих фотонов:

Отсюда следует, что энергия фотонов до рассеивания равна.

Энергия покоя электрона m₀c²=0,51 МэВ. Энергию фотона выразим в мегаэлектронвольтах:

МэВ

Из закона сохранения энергии следует, что кинетическая энергия электрона отдачи равна разности энергии фотона до рассеяния и после рассеяния Е_е=E₀-E₁=1,85−0,4=1,4 МэВ.

Импульс электрона найдем из закона сохранения импульса:

где и — импульс фотона до рассеяния и после рассеяния. Векторная диаграмма импульсов при рассеянии изображена на рис. 2. Из диаграммы следует, что.

Импульс фотонов представим через их энергию, выраженную в джоулях,.

кг· м/с

Скорость электронов отдачи найдем, воспользовавшись выражением для релятивистского импульса.

Отсюда следует, что.

м/с.

• 3.1 Участок поверхности нагретого тела площадью ?S за время ф излучает в пределах телесного угла 2р энергию ?W. Какова энергетическая светимость этого участка?
• 3.2 Испускательная способность тела задана уравнением
• 0, щ < щ_1,r= b, щ₁ <�щ ?щ_2,0, щ > щ_2,где b — постоянная, щ — частота излучения. Рассчитать энергетическую светимость тела.
• 3.3 Испускательная способность тела задана уравнением r_щ=r_oexp (бщ), где r_o и б постоянные. Определить энергетическую светимость тела.

• 3.4 На графике испускательной способности абсолютно черного тела выделены два узких участка, площади которых равны (рис. 3.1). Одинаковы ли на указанных частотах щ₁ и щ₂:
• 1) испускательная способность r_щ. _т;
• 2) энергетическая светимость ?R_{щ. Ф}?
• 3.5 С помощью формулы Вина показать, что наиболее вероятная частота теплового излучения пропорциональна температуре щ_вер~T.
• 3.6 С помощью формулы Вина показать, что максимальная испускательная способность теплового излучения (r_щ) _max~T⁵.

T — абсолютная температура.

• 3.7 С помощью формулы Планка показать, что в области, где hщ<, для испускательной способности абсолютно черного тела справедлив закон Рэлея — Джинса.
• 3.8 С помощью формулы Планка показать, что в области, где hщ>>kT, для испускательной способности абсолютно черного тела справедлива формула Вина.
• 3.9 Найти соотношение между величинами r_{щ. T}. и r_{л. T}. Записать формулу Планка для величины r_{л. T}.
• 3.10. Вычислить с помощью формулы Планка энергетическую светимость абсолютно чёрного тела в интервале длин волн Дл=1 нм, соответствующем максимуму испускательной способности при Т=3000 К.
• 3.11. С помощью формулы Планка показать, что максимальное значение испускательной способности абсолютно чёрного тела пропорционально абсолютной температуре в пятой степени: ~T⁵.
• 3.12. С помощью формулы Планка показать, что длина волны, на которую приходится максимум испускательной способности чёрного тела, обратно пропорциональна температуре: л₀=b/T, где b — постоянная Вина.
• 3.13. Температура поверхности Солнца равна T₀=5500 К. Принимая Солнце за абсолютно черное тело, оценить массу, теряемую им за секунду в результате излучения.
• 3.14. Для абсолютно черного тела вблизи его максимума испускательной способности рассчитать с помощью формулы Планка мощность излучения с единицы поверхности в интервале длин волн? л=1 нм. Температура тела равна 4000 К.
• 3.15. Вблизи максимума испускательной способности Солнца рассчитать с помощью формулы Планка энергию, которую оно излучает с единицы поверхности в интервале длин волн ?л=1 нм. Температура Солнца T=5500 К. Считать, что Солнце обладает свойствами абсолютно черного тела.
• 3.16. В условиях задачи 3.15 рассчитать энергию, которую излучает Солнце с единицы поверхности в интервале длин волн л?л_max.
• 3.17. В условиях задачи 3.15 рассчитать энергию, которую излучает Солнце с единицы поверхности в интервале длин волн л>л_max.
• 3.18. На экране получен спектр излучения положительного кратера вольфрамовой дуги, имеющего температуру 4000 К. Определить отношение мощностей, излучаемых кратером в интервалах длин волн от 695 до 705 нм (участок красного цвета) и от 395 до 405 нм (участок фиолетового цвета). Принять, что кратер излучает как черное тело, а поглощение в стекле и воздухе одинаково для красных и фиолетовых лучей.
• 3.19. Для абсолютно чёрного тела в области максимума испускательной способности определить мощность излучения с 1 см² его поверхности для интервала длин волн л0,01л_мах. Температура тела Т=2000 К.
• 3.20. Абсолютно чёрное тело имеет температуру t₁=200 С. Какова будет температура тела, если в результате нагревания поток излучения увеличился в 100 раз?
• 3.21. Как и во сколько раз изменится поток излучения абсолютно чёрного тела, если его максимум испускательной способности переместится из красной части видимого спектра л₁=700 нм в фиолетовую л₂=393,6 нм?
• 3.22. На 1 см² земной поверхности падает в среднем около 8,4 Дж солнечной энергии в 1 мин. Расстояние от Земли до Солнца 1,5· 10¹¹ м, диаметр Солнца 1,39 10⁹ м, температура Солнца 6000 К. Считая Солнце абсолютно чёрным телом, найти постоянную в законе Стефана-Больцмана.
• 3.23. Источником радиоизлучения Солнца в метровом диапазоне является его корона. Определить поток радиоизлучения от Солнца на Земле в полосе шириной Дщ=1 МГц вблизи длины волны л=1 м, предполагая, что это излучение является тепловым. Эффективная температура короны равна Т=10⁶ К, эффективный радиус короны r=6,95· 10⁵ км, радиус земной орбиты R=1,5· 10⁸ км.
• 3.24. Металлический шар радиусом R=1 см и теплоемкостью C=14 Дж/К при температуре T=1200 К выброшен в межпланетное пространство. Коэффициент поглощения шара A=0,4. Через какое время температура шара уменьшится вдвое?
• 3.25. По пластинке длиной l=4 см и шириной b=0,5 см проходит электрический ток I=15 А. После установления теплового равновесия температура пластинки стала равной T=2000 К. Определить напряжение, подводимое к пластинке, если коэффициент поглощения пластинки А=0,6. Считать, что температура по всей площади пластинки постоянна, а все выделяющееся тепло теряется в результате излучения.
• 3.26. Удаленный от других тел медный шарик облучен электромагнитным излучением с длиной волны л=140 нм. Определить его потенциал?
• 3.27. Небольшое идеальное отражающее зеркальце массой m=10 мг подвешено на нити длиной l=10 см. Найти угол, на который отклониться нить, если по нормали к зеркалу в горизонтальном направлении произвести «выстрел» импульсом лазерного излучения с энергией E=13 Дж.
• 3.28. Найти среднее давление лазерного импульса на поверхности тела. Длительность импульса ф=0,13 мс, средняя энергия импульса W=10 Дж, диаметр пятна d=10 мкм. Свет падает по нормали к поверхности тела, коэффициент отражения которой =0,5.
• 3.29. Сколько фотонов попадает на 1 см² поверхности Земли, перпендикулярной к солнечным лучам, за 1 мин? Солнечная постоянная щ?1,4· 10³ Дж/ (м²· с), средняя длина волны л_ср?550 нм.
• 3.30. Точечный источник монохроматического света на длине волны л=500 нм имеет мощность P=10 Вт. На каком максимальном расстоянии этот источник будет замечен человеком? Глаз человека реагирует на световой поток W=60 фотонов в секунду. Диаметр зрачка глаза человека d=0,5 см.
• 3.31. Параллельный пучок света с интенсивностью I_o падает под углом ц на плоское зеркало с коэффициентом отражения с. Определить давление света на зеркало.

• 3.32. В сферическом сосуде, из которого откачан воздух, помещены два электрода из цинка. К ним подсоединён конденсатор ёмкостью c=3,5 мкФ (рис. 3.2.). Один из электродов освещается светом с длиной волны л=0,25 мкм. Какой заряд будет находиться на конденсаторе при длительном освещении? Работа выхода электрона для цинка А=3,74 эВ.
• 3.33. На пластинку площадью S=8 см² по нормали к ее поверхности падает излучение с плотностью энергии q=1 Вт/см². Частота света н=4,6· 10¹⁵ с^-1. Какой ток может быть снят с пластинки, если считать, что каждый фотон выбивает электрон?
• 3.34. Какой частоты нужно взять свет, чтобы выбитые из вольфрамового катода электроны задерживались на расстоянии 4 см в электрическом поле напряженностью 1,7 В/см?
• 3.35. Опыт показал, что задерживающее напряжение для фотоэлектронов равно 2 В. Электрод облучили светом с длиной волны л=200 нм. Найти красную границу фотоэффекта.
• 3.36. Частота падающего света в опыте Комптона равна 4· 10¹⁸ Гц. Найти частоту света, отраженного под углом 120 к направлению его падения.
• 3.37. Длина волны падающего света в опыте Комптона равна л. Найти длину волны отраженного света, если известно, что электрон отдачи полетел под углом б=60 к первоначальному направлению распространения света и обладал импульсом .
• 3.38. На площадь S=6 см² по нормали падает монохроматический свет с плотностью потока энергии q=1,5 Вт/см². Снятый с этой площади фототок насыщения равен 0,2 А. Считая, что каждый фотон выбивает электрон, найти частоту света и энергию фотона.
• 3.39. Фотоны с длиной волны 330 нм выбивают электроны, которые могут быть задержаны на расстоянии 2 см в электрическом поле напряженностью 2 В/см. Какова работа выхода электронов из металла (в эВ)?
• 3.40. Фототок вызывается светом с длиной волны 400 нм. Красная граница фотоэффекта 800 нм. Найти запирающее напряжение для электронов.
• 3.41. Частота падающего света в опыте Комптона н₁=3· 10²² 1/с. Под каким углом рассеивается свет, если частота рассеянного света н₂=2,5· 10²² 1/с?
• 3.42. Скорость фотоэлектронов равна 3· 10⁶ м/с. Найти задерживающую разность потенциалов и частоту падающего света. Работа выхода равна 4,5 эВ.
• 3.43. Найти красную границу фотоэффекта и построить график зависимости задерживающей разности потенциалов от частоты. При длине волны света 520 нм кинетическая энергия электронов равна 2 эВ.
• 3.44. В опыте Комптона угол рассеяния фотонов равен 180. Длина волны падающих фотонов равна л=0,5 нм. Найти частоту рассеянных фотонов.
• 3.45. При облучении катода фотоэлемента ток насыщения равен 0,01 А. Длина волны света равна 500 нм. Площадь катода 2 см². Найти плотность потока энергии света.
• 3.46. Известно, что при освещении фотоэлемента светом с длиной волны л₁=400 нм вылетают электроны, которые могут быть задержаны запирающим напряжением U₁=6 В. Каково, запирающее напряжение для электрона, выбитого светом с длиной волны л₂=650 нм?
• 3.47. Красная граница фотоэффекта для катода равна 900 нм. Построить график зависимости запирающего напряжения от частоты.
• 3.48. В эффекте Комптона найти изменение длины волны рентгеновского излучения. Угол рассеяния фотонов равен 120, а их длина волны 0,5 нм.
• 3.49. Какая доля энергии фотона в эффекте Комптона приходится на электроны отдачи? Угол рассеяния для фотонов с энергией е=0,6 МэВ равен ц=р/2.
• 3.50. В опыте Комптона угол рассеяния света изменился от 90 до 180. Во сколько раз изменится сдвиг по длине волны в результате опыта?
• 3.51. Фотон с частотой щ₀ испущен с поверхности звезды, масса которой М и радиус R₀. Вычислить гравитационное смещение частоты фотона ?щ/щ₀ на очень большом расстоянии от звезды.

3.52. Два абсолютно черных шарика радиусами r₁=4 см и r₂=2 см, имеющие постоянные температуры T₁=400 К и T₂=800 К, находятся в вакууме на расстоянии d₀=0,6 м. Между шариками помещена небольшая пластинка радиусом r₀ << d₀, плоскость которой перпендикулярна к прямой, соединяющей шарики (рис. 3.3). Пластинка обладает свойствами черного тела. На каком расстоянии Х от первого шарика надо поместить пластинку, чтобы ее температура была наименьшей? Каково значение этой температуры? Фоном излучения от окружающих предметов пренебречь.

• 3.53. Распределение температуры по поверхности круглой пластинки радиусом R=0,2 м в некоторый момент времени задано уравнением, где T₀=1000 К, r — расстояние до центра пластинки. Найти поток теплового излучения с двух сторон пластинки. Считать, что она обладает свойствами абсолютно черного тела.
• 3.54. Тонкая круглая пластинка радиусом R=0,1 м в некоторый момент времени имеет температуру, распределенную по закону T ® =T₀exp (-бr²), где б=25,0 1/м², r — расстояние до центра пластинки, T₀=1000 К. Найти мощность излучения с двух сторон пластинки, считая, что она излучает как абсолютно черное тело.
• 3.55. Тонкая прямолинейная полоса шириной b=5,0 см и длиной l=1,0 м имеет в некоторый момент времени температуру, распределенную вдоль полосы по закону T=T₀ (1+x/l), где T₀=500 К, х — расстояние от одного из концов полосы. Полоса излучает как серое тело, ее коэффициент поглощения равен б=0,4. Найти поток теплового излучения с двух сторон полосы.
• 3.56. Обладающий свойствами черного тела шарик с площадью поверхности S=0,4 см² нагрет до температуры T₀=1000 К. Его поместили в вакуумную камеру, температура стенок которой T₁=250 К. Теплоемкость шарика С=5,67 Дж/К. Считая, что шарик обменивается энергией со стенками камеры только за счет излучения, найти, за какое время t он охладился до температуры T=500 К?